Câu hỏi: Hội chợ Xuân ở thành phố Vinh có một dãy gồm $15$ gian hàng lưu niệm liên tiếp nhau. Một doanh nghiệp $X$ bốc thăm chọn ngẫu nhiên $4$ gian hàng trong $15$ gian hàng trên để trưng bày sản phẩm. Xác suất để trong $4$ gian hàng được chọn của doanh nghiệp $X$ có đúng $3$ gian hàng kề nhau bằng

Giải. Số cách chọn ngẫu nhiên là $C_{15}^{4}.$

Đánh số các gian hàng từ 1 đến 15. Bộ ba gian hàng kề nhau là $1-2-3;2-3-4;3-4-5;...;13-14-15$

+ Nếu bộ ba gian hàng kề nhau là 1 – 2 – 3 thì gian hàng còn lại có thứ tự là 5, 6, …, 15 có 11 cách.

+ Nếu bộ ba gian hàng kề nhau là 13 – 14 – 15 thì gian hàng còn lại có thứ tự là 1, 2, …, 11 có 11 cách.

+ Nếu bộ ba gian hàng kề nhau là 2 – 3 – 4; 3 – 4 – 5; …; 11 – 12 – 13 (chẳn hạng 2 – 3 – 4) thì gian hàng còn lại có thứ tự 6, 7, …, 15 có 10 cách.

Vậy có tất cả $11+11+11\times 10=11\times 12$ cách chọn thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{11\times 12}{C_{15}^{4}}=\dfrac{44}{455}.$ Chọn đáp án D.

Cách 2: Bộ ba gian hàng kề nhau có số thự tứ là $k,k+1,k+2,\text{ }\left( k\in \left\{ 1,...,13 \right\} \right)$ và gian hàng còn lại có thứ tự là $m$ với $m\in \left\{ 1,...,15 \right\},m\notin \left\{ k-1,k,k+1,k+2,k+3 \right\}$

+ Nếu $k=1\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,15 \right\}\backslash \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ có 11 cách.

+ Nếu $k=13\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,15 \right\}\backslash \left\{ 12,13,14,15 \right\}$ có 11 cách.

+ Nếu $k\in \left\{ 2,...,12 \right\}\Rightarrow k-1,k,k+1,k+2,k+3\in \left\{ 1,...,15 \right\}$ nên $m=\left\{ 1,...,15 \right\}\backslash \left\{ k-1,k,k+1,k+2,k+3 \right\}$ có 10 cách.

Vậy có tất cả $11+11+11\times 10=11\times 12$ cách chọn thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{11\times 12}{C_{15}^{4}}=\dfrac{44}{455}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện:

Câu 1: Một nhóm gồm $3$ học sinh lớp $10,\text{ }3$ học sinh lớp $11$ và $3$ học sinh lớp $12$ được xếp ngồi vào một hàng có $9$ ghế, mỗi em ngồi $1$ ghế. Xác suất để $3$ học sinh lớp $10$ không ngồi $3$ ghế liền nhau bằng

Giải. Số cách xếp ngẫu nhiên 9 học sinh là 9! cách.

Ta tìm số cách xếp mà 3 học sinh lớp 10 ngồi liền nhau

Đánh số ghế từ 1 đến 9: Cặp 3 ghế liền nhau là 1 – 2 – 3; 2 – 3 – 4; …; 7 – 8 – 9 (có 7 cặp 3 ghế liền nhau)

+ Chọn lấy 1 cặp 3 ghế liền nhau rồi xếp 3 học sinh lớp 10 vào có $C_{7}^{1}3!$ cách.

+ Xếp 6 học sinh còn lại vào có 6! cách.

Vậy số cách xếp mà 3 học sinh lớp 10 ngồi liền nhau là $C_{7}^{1}3!6!$

Xác suất cần tính bằng $\dfrac{9!-C_{7}^{1}3!6!}{9!}=\dfrac{11}{12}.$ Chọn đáp án D.

Câu 2: Trong năm học $2022-2023$ khối $12$ trường THPT Hồng Lĩnh có $12$ lớp được đặt tên theo thứ tự $12A1$ đến $12A12.$ Nhằm chuẩn bị cho đợt sinh hoạt chào mừng $92$ năm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh $\left( 26/3/1931-26/3/2023 \right),$ Đoàn trường chọn ngẫu nhiên $4$ lớp $12$ đề tổ chức sinh hoạt mẫu. Tính xác suất để trong $4$ lớp được chọn có đúng $3$ lớp có số thứ tự liên tiếp nhau.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm