Một doanh nghiệp bốc thăm chọn ngẫu nhiên 4 gian hàng trong 15 gian hàng trên để trưng bày sản phẩm. Xác suất để trong 4 gian hàng được chọn của doanh nghiệp có đúng 3 gian hàng kề nhau


Câu hỏi: Hội chợ Xuân ở thành phố Vinh có một dãy gồm $15$ gian hàng lưu niệm liên tiếp nhau. Một doanh nghiệp $X$ bốc thăm chọn ngẫu nhiên $4$ gian hàng trong $15$ gian hàng trên để trưng bày sản phẩm. Xác suất để trong $4$ gian hàng được chọn của doanh nghiệp $X$ có đúng $3$ gian hàng kề nhau bằng

A. $\dfrac{22}{455}.$

B. $\dfrac{4}{55}.$

C. $\dfrac{2}{33}.$

D. $\dfrac{44}{455}.$

Giải. Số cách chọn ngẫu nhiên là $C_{15}^{4}.$

Đánh số các gian hàng từ 1 đến 15. Bộ ba gian hàng kề nhau là $1-2-3;2-3-4;3-4-5;...;13-14-15$

+ Nếu bộ ba gian hàng kề nhau là 1 – 2 – 3 thì gian hàng còn lại có thứ tự là 5, 6, …, 15 có 11 cách.

+ Nếu bộ ba gian hàng kề nhau là 13 – 14 – 15 thì gian hàng còn lại có thứ tự là 1, 2, …, 11 có 11 cách.

+ Nếu bộ ba gian hàng kề nhau là 2 – 3 – 4; 3 – 4 – 5; …; 11 – 12 – 13 (chẳn hạng 2 – 3 – 4) thì gian hàng còn lại có thứ tự 6, 7, …, 15 có 10 cách.

Vậy có tất cả $11+11+11\times 10=11\times 12$ cách chọn thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{11\times 12}{C_{15}^{4}}=\dfrac{44}{455}.$ Chọn đáp án D.

Cách 2: Bộ ba gian hàng kề nhau có số thự tứ là $k,k+1,k+2,\text{ }\left( k\in \left\{ 1,...,13 \right\} \right)$ và gian hàng còn lại có thứ tự là $m$ với $m\in \left\{ 1,...,15 \right\},m\notin \left\{ k-1,k,k+1,k+2,k+3 \right\}$

+ Nếu $k=1\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,15 \right\}\backslash \left\{ 1,2,3,4 \right\}$ có 11 cách.

+ Nếu $k=13\Rightarrow m\in \left\{ 1,...,15 \right\}\backslash \left\{ 12,13,14,15 \right\}$ có 11 cách.

+ Nếu $k\in \left\{ 2,...,12 \right\}\Rightarrow k-1,k,k+1,k+2,k+3\in \left\{ 1,...,15 \right\}$ nên $m=\left\{ 1,...,15 \right\}\backslash \left\{ k-1,k,k+1,k+2,k+3 \right\}$ có 10 cách.

Vậy có tất cả $11+11+11\times 10=11\times 12$ cách chọn thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{11\times 12}{C_{15}^{4}}=\dfrac{44}{455}.$ Chọn đáp án D.

Tự luyện: Một nhóm gồm $3$ học sinh lớp $10,\text{ }3$ học sinh lớp $11$ và $3$ học sinh lớp $12$ được xếp ngồi vào một hàng có $9$ ghế, mỗi em ngồi $1$ ghế. Xác suất để $3$ học sinh lớp $10$ không ngồi $3$ ghế liền nhau bằng

A. $\dfrac{7}{12}.$

B. $\dfrac{1}{12}.$

C. $\dfrac{5}{12}.$

D. $\dfrac{11}{12}.$

Giải. Số cách xếp ngẫu nhiên 9 học sinh là 9! cách.

Ta tìm số cách xếp mà 3 học sinh lớp 10 ngồi liền nhau

Đánh số ghế từ 1 đến 9: Cặp 3 ghế liền nhau là 1 – 2 – 3; 2 – 3 – 4; …; 7 – 8 – 9 (có 7 cặp 3 ghế liền nhau)

+ Chọn lấy 1 cặp 3 ghế liền nhau rồi xếp 3 học sinh lớp 10 vào có $C_{7}^{1}3!$ cách.

+ Xếp 6 học sinh còn lại vào có 6! cách.

Vậy số cách xếp mà 3 học sinh lớp 10 ngồi liền nhau là $C_{7}^{1}3!6!$

Xác suất cần tính bằng $\dfrac{9!-C_{7}^{1}3!6!}{9!}=\dfrac{11}{12}.$ Chọn đáp án D.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả