Phép nhân ma trận và các tính chất


Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc Lý thuyết và một số ví dụ về Phép nhân ma trận và các tính chất:

1. Phép nhân ma trận

Cho hai ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}};B={{({{b}_{ij}})}_{n\times p}}$ trong đó ma trận $A$ có số cột bằng số dòng của ma trận $B.$ Tích của ma trận $A$ và ma trận $B$ là ma trận cấp $m\times p,$ được kí hiệu là $AB$ và được xác định bởi

$AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}&{{c_{12}}}&{...}&{{c_{1p}}}\\ {{c_{21}}}&{{c_{22}}}&{...}&{{c_{2p}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{m1}}}&{{c_{m2}}}&{...}&{{c_{mp}}} \end{array}} \right),$ trong đó ${c_{ij}} = A_i^d \times B_j^c = \left( {{a_{i1}}{a_{i2}}...{a_{in}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{1j}}}\\ {{b_{2j}}}\\ {...}\\ {{b_{nj}}} \end{array}} \right) = {a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} + ... + {a_{in}}{b_{nj}}.$

Phép nhân ma trận $AB$ tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận $A$ có số cột bằng số dòng của ma trận $B.$

Ví dụ 1: Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&{ - 2}\\ 2&5&4\\ { - 1}&0&{ - 3} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2&{ - 5}&1\\ 1&3&0&{ - 1}\\ { - 5}&{ - 1}&4&1 \end{array}} \right).$ Tính ma trận $AB.$

Giải. Có $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&{ - 2}\\ 2&5&4\\ { - 1}&0&{ - 3} \end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2&{ - 5}&1\\ 1&3&0&{ - 1}\\ { - 5}&{ - 1}&4&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{11}&{ - 23}&0\\ { - 15}&{15}&6&1\\ {15}&1&{ - 7}&{ - 4} \end{array}} \right).$

Ví dụ 2: Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 0&8&{ - 5}\\ 5&6&{ - 2} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0\\ 4&{ - 7}&{ - 1}\\ 5&2&{ - 1} \end{array}} \right).$ Tính ma trận $AB$ và $BA.$

Giải. Có $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 0&8&{ - 5}\\ 5&6&{ - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0\\ 4&{ - 7}&{ - 1}\\ 5&2&{ - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{13}&0\\ 7&{ - 66}&{ - 3}\\ {19}&{ - 36}&{ - 4} \end{array}} \right)$ và

                                                              $BA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0\\ 4&{ - 7}&{ - 1}\\ 5&2&{ - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 0&8&{ - 5}\\ 5&6&{ - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{15}&{ - 9}\\ 3&{ - 66}&{41}\\ 5&5&{ - 3} \end{array}} \right).$

Ví dụ 3: Cho các ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&6 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 8}\\ 2&3 \end{array}} \right),C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 1&{ - 2} \end{array}} \right).$

a) Chứng minh rằng $AB=AC.$

b) Có tồn tại hai ma trận $X,Y$ phân biệt sao cho $AX=AY$ và $X,Y$ khác $B,C.$

Giải. Có \[AB = AC = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 2}\\ {21}&{ - 6} \end{array}} \right).\]

Chọn $X=O\Rightarrow AX=O.$ Ta tìm ma trận $Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right)$ sao cho $\begin{array}{l} AX = AY = O \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&6 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right) = O\\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2c}&{b + 2d}\\ {3(a + 2c)}&{3(b + 2d)} \end{array}} \right) = O \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2c = 0\\ b + 2d = 0\\ 3(a + 2c) = 0\\ 3(b + 2d) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2c\\ b = - 2d \end{array} \right.. \end{array}$

Vậy với $X=O$ thì có vô số ma trận $Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2c}&{ - 2d}\\ c&d \end{array}} \right)$ thoả mãn $AX=AY$ và $X,Y$ khác $B,C.$

Ví dụ 4: Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n\ge 2.$ Chứng minh rằng tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận $A{A}'$ bằng 0 thì $A$ là ma trận không.

Giải. Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận $A{A}'$ là \[\sum\limits_{1\le i,j\le n}{a_{ij}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}_{ij}}=0\Rightarrow A=O.\]

Ví dụ 5: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right).$ Tìm mọi ma trận $X$ thoả mãn $AX=XA.$

Giải. Đặt $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right).$

Ta có $AX = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} z&t\\ 0&0 \end{array}} \right);XA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&x\\ 0&z \end{array}} \right).$

Vậy $AX = XA \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 0\\ x = t\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ 0&x \end{array}} \right).$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

  1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
  2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả