Cho hai ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}};B={{({{b}_{ij}})}_{n\times p}}$ trong đó ma trận $A$ có số cột bằng số dòng của ma trận $B.$ Tích của ma trận $A$ và ma trận $B$ là ma trận cấp $m\times p,$ được kí hiệu là $AB$ và được xác định bởi
$AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}&{{c_{12}}}&{...}&{{c_{1p}}}\\ {{c_{21}}}&{{c_{22}}}&{...}&{{c_{2p}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{m1}}}&{{c_{m2}}}&{...}&{{c_{mp}}} \end{array}} \right),$ trong đó ${c_{ij}} = A_i^d \times B_j^c = \left( {{a_{i1}}{a_{i2}}...{a_{in}}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{1j}}}\\ {{b_{2j}}}\\ {...}\\ {{b_{nj}}} \end{array}} \right) = {a_{i1}}{b_{1j}} + {a_{i2}}{b_{2j}} + ... + {a_{in}}{b_{nj}}.$
Phép nhân ma trận $AB$ tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận $A$ có số cột bằng số dòng của ma trận $B.$
Ví dụ 1: Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&{ - 2}\\ 2&5&4\\ { - 1}&0&{ - 3} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2&{ - 5}&1\\ 1&3&0&{ - 1}\\ { - 5}&{ - 1}&4&1 \end{array}} \right).$ Tính ma trận $AB.$
Giải. Có $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&{ - 2}\\ 2&5&4\\ { - 1}&0&{ - 3} \end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&2&{ - 5}&1\\ 1&3&0&{ - 1}\\ { - 5}&{ - 1}&4&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {11}&{11}&{ - 23}&0\\ { - 15}&{15}&6&1\\ {15}&1&{ - 7}&{ - 4} \end{array}} \right).$
Ví dụ 2: Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 0&8&{ - 5}\\ 5&6&{ - 2} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0\\ 4&{ - 7}&{ - 1}\\ 5&2&{ - 1} \end{array}} \right).$ Tính ma trận $AB$ và $BA.$
Giải. Có $AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 0&8&{ - 5}\\ 5&6&{ - 2} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0\\ 4&{ - 7}&{ - 1}\\ 5&2&{ - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{13}&0\\ 7&{ - 66}&{ - 3}\\ {19}&{ - 36}&{ - 4} \end{array}} \right)$ và
$BA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0\\ 4&{ - 7}&{ - 1}\\ 5&2&{ - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&1\\ 0&8&{ - 5}\\ 5&6&{ - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{15}&{ - 9}\\ 3&{ - 66}&{41}\\ 5&5&{ - 3} \end{array}} \right).$
Ví dụ 3: Cho các ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&6 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 8}\\ 2&3 \end{array}} \right),C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 1&{ - 2} \end{array}} \right).$
a) Chứng minh rằng $AB=AC.$
b) Có tồn tại hai ma trận $X,Y$ phân biệt sao cho $AX=AY$ và $X,Y$ khác $B,C.$
Giải. Có \[AB = AC = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ - 2}\\ {21}&{ - 6} \end{array}} \right).\]
Chọn $X=O\Rightarrow AX=O.$ Ta tìm ma trận $Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right)$ sao cho $\begin{array}{l} AX = AY = O \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&6 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right) = O\\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2c}&{b + 2d}\\ {3(a + 2c)}&{3(b + 2d)} \end{array}} \right) = O \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + 2c = 0\\ b + 2d = 0\\ 3(a + 2c) = 0\\ 3(b + 2d) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2c\\ b = - 2d \end{array} \right.. \end{array}$
Vậy với $X=O$ thì có vô số ma trận $Y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2c}&{ - 2d}\\ c&d \end{array}} \right)$ thoả mãn $AX=AY$ và $X,Y$ khác $B,C.$
Ví dụ 4: Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n\ge 2.$ Chứng minh rằng tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận $A{A}'$ bằng 0 thì $A$ là ma trận không.
Giải. Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận $A{A}'$ là \[\sum\limits_{1\le i,j\le n}{a_{ij}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}_{ij}}=0\Rightarrow A=O.\]
Ví dụ 5: Cho ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right).$ Tìm mọi ma trận $X$ thoả mãn $AX=XA.$
Giải. Đặt $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right).$
Ta có $AX = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} z&t\\ 0&0 \end{array}} \right);XA = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ z&t \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&x\\ 0&z \end{array}} \right).$
Vậy $AX = XA \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} z = 0\\ x = t\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y\\ 0&x \end{array}} \right).$
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: