Nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

Đó là nguyên hàm $\int{\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx}$ hoặc tích phân $\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx}$ với $P(x),Q(x)$ là các đa thức.

Trường hợp đơn giản nhất của dạng toán này là nguyên hàm$\int{\dfrac{ax+b}{cx+d}dx}$ ta phân tích tử theo mẫu như sau:

$\int{\dfrac{ax+b}{cx+d}dx}=\int{\dfrac{\dfrac{a}{c}\left( cx+d \right)+b-\dfrac{ad}{c}}{cx+d}dx}=\int{\left( \dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c\left( cx+d \right)} \right)dx}=\dfrac{a}{c}x+\dfrac{bc-ad}{{{c}^{2}}}\ln \left| cx+d \right|+C$

Ví dụ 1: \[\int{\dfrac{2x+1}{x-2}dx}=\int{\dfrac{2\left( x-2 \right)+5}{x-2}dx}=\int{\left( 2+\dfrac{5}{x-2} \right)dx}=2x+5\ln \left| x-2 \right|+C.\]

Ví dụ 2: $\int {\dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}dx} = \int {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {2x - 1} \right) + \dfrac{3}{2}}}{{2x - 1}}dx} $

$ = \int {\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{2\left( {2x - 1} \right)}}} \right)dx} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{4}\ln \left| {2x - 1} \right| + C.$

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số thực dương $a$ để \[\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{2x+a}{x+a}dx}=2-2a?\]

A. $2.$

B. $0.$

C. $1.$

D. $3.$

Giải. Ta có \[\int\limits_0^1 {\dfrac{{2x + a}}{{x + a}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{2\left( {x + a} \right) - a}}{{x + a}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2 - \dfrac{a}{{x + a}}} \right)dx} = \left( {2x - a\ln \left| {x + a} \right|} \right)\left| \begin{gathered} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[=2-a\ln \left| \dfrac{a+1}{a} \right|=2-a\ln \left( \dfrac{a+1}{a} \right),\left( a>0 \right)\]

Vậy \[2-a\ln \left( \dfrac{a+1}{a} \right)=2-2a\Leftrightarrow a\left[ \ln \left( \dfrac{a+1}{a} \right)-2 \right]=0\]

\[\Leftrightarrow \ln \left( \dfrac{a+1}{a} \right)-2=0,\left( a>0 \right)\Leftrightarrow \dfrac{a+1}{a}={{e}^{2}}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{{{e}^{2}}-1}.\] Chọn đáp án C.

Áp dụng phương pháp tương tự như vậy cho các nguyên hàm dạng $\int{\dfrac{ax+b}{{{\left( cx+d \right)}^{n}}}dx}$

Ví dụ 4: \[\int{\dfrac{2x+1}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}dx}=\int{\dfrac{2\left( x+2 \right)-3}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}}dx}=\int{\left( \dfrac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{\left( x+2 \right)}^{3}}} \right)dx}\]

\[=-\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}}+C.\]

Ví dụ 5: Có bao nhiêu số thực dương $a$ để \[\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x+a+1}{{{\left( x+a \right)}^{2}}}dx}=\ln \left( \dfrac{2a+2}{a} \right)?\]

A. $2.$

B. $0.$

C. $1.$

D. $3.$

Giải. Ta có \[\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x+a+1}{{{\left( x+a \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\left( x+a \right)+1}{{{\left( x+a \right)}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{{{\left( x+a \right)}^{2}}} \right)dx}\]

\[ = \left( {\ln \left| {x + a} \right| - \dfrac{1}{{x + a}}} \right)\left| \begin{gathered} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \ln \left( {\dfrac{{a + 1}}{a}} \right) - \dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{a},\left( {a > 0} \right)\]

Vậy \[\ln \left( \dfrac{a+1}{a} \right)-\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{a}=\ln \left( \dfrac{2a+2}{a} \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a+1}=\ln 2\]

\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}+a}=\ln 2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+a-\dfrac{1}{\ln 2}=0\Rightarrow 1{{n}_{0}}\text{ }a>0.\] Chọn đáp án C.

Phương pháp chung để tìm nguyên hàm và tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ: ta căn cứ vào bậc của tử và mẫu; cùng dạng của mẫu

*Bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu trước tiên dùng phép chia đa thức $P\left( x \right)$ chia cho $Q\left( x \right)$ ta được $P\left( x \right)=T\left( x \right)Q\left( x \right)+R\left( x \right)$ hay $\dfrac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=T\left( x \right)+\dfrac{R\left( x \right)}{Q\left( x \right)}$

Phép chia đa thức các em google xem lại kiến thức Toán 8 THCS.

Nếu chia đa thức bằng MTCT các em thực hiện như sau:

Bước 1: Nhập $\dfrac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}$ và CALC với $x=1000$

Bước 2: Lấy phần nguyên của kết quả đó chính là thương $T\left( x \right)$

Bước 3: Phần dư suy từ đẳng thức $R\left( x \right)=P\left( x \right)-T\left( x \right)Q\left( x \right)$ và CALC với $x=1000$

Cách 2: Với MTCT hỗ trợ phép chia có dư (chẳng hạn 580) các em thực hiện nhanh như sau:

Bước 1: Nhập $\left( P\left( x \right) \right)\div R\left( Q\left( x \right) \right)$ và CALC với $x=1000$

Bước 2: Kết quả $T\left( x \right),R=R\left( x \right)$(phân tích ngược lại như cách trên)

*Để nhập $\div R$ các em nhấn ALPHA và dấu phân số; trong cả hai cách trên các em có thể CALC với $x=100$

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức $\dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{2x+1}$

Bước 1: Nhập $\dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{2x+1}$ và CALC với $x=1000$

Bước 2: Phần nguyên của kết quả là $T\left( x \right)=997001={{10}^{6}}-3000+1={{x}^{2}}-3x+1$

Bước 3: Phần dư là $R\left( x \right)=\left( 2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3 \right)-\left( 2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)$ và CALC với $x=1000$ cho kết quả $R\left( x \right)=2$

Vậy $\dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{2x+1}={{x}^{2}}-3x+1+\dfrac{2}{2x+1}.$

Ví dụ 2: Thực hiện phép chia đa thức $\dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}$

Bước 1: Nhập $\dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}$ và CALC với $x=1000$

Bước 2: Phần nguyên của kết quả là $T\left( x \right)=1991=2000-9=2x-9$

Bước 3: Phần dư là $R\left( x \right)=\left( 2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3 \right)-\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\left( 2x-9 \right)$ và CALC với $x=1000$ cho kết quả $R\left( x \right)=22976=23000-24=23x-24$

Vậy $\dfrac{2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-x+3}{{{x}^{2}}+2x-3}=2x-9+\dfrac{23x-24}{{{x}^{2}}+2x-3}.$

Ví dụ 3: Thực hiện phép chia đa thức $\dfrac{2{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+2x-1}{{{x}^{2}}-3x}$

Bước 1: Nhập $\left( 2{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+2x-1 \right)\div R\left( {{x}^{2}}-3x \right)$ và CALC với $x=100$

Bước 2: Kết quả $T\left( x \right)=20612=20000+600+12=2{{x}^{2}}+6x+12$ và $R\left( x \right)=3799=3800-1=38x-1$

Vậy $\dfrac{2{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+2x-1}{{{x}^{2}}-3x}=2{{x}^{2}}+6x+12+\dfrac{38x-1}{{{x}^{2}}-3x}.$

*Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, thực hiện theo 3 khả năng sau:

Dạng 1: $\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{P(x)}{\alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})...(x-{{x}_{n}})}dx}$ phân tích $\dfrac{P(x)}{\alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})...(x-{{x}_{n}})}=\dfrac{{{A}_{1}}}{x-{{x}_{1}}}+\dfrac{{{A}_{2}}}{x-{{x}_{2}}}+...+\dfrac{{{A}_{n}}}{x-{{x}_{n}}}.$

Dạng 2: $\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{P(x)}{\alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})...{{(x-{{x}_{k}})}^{s}}...(x-{{x}_{n}})}dx}$ phân tích

$\dfrac{P(x)}{\alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})...{{(x-{{x}_{k}})}^{s}}...(x-{{x}_{n}})}=\dfrac{{{A}_{1}}}{x-{{x}_{1}}}+...\left[ \dfrac{{{A}_{k1}}}{x-{{x}_{k}}}+\dfrac{{{A}_{k2}}}{{{(x-{{x}_{k}})}^{2}}}+...+\dfrac{{{A}_{ks}}}{{{(x-{{x}_{k}})}^{s}}} \right]+...+\dfrac{{{A}_{n}}}{x-{{x}_{n}}}.$

Dạng 3: $\int\limits_{a}^{b}{\dfrac{P(x)}{\alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})...(m{{x}^{2}}+nx+p)...(x-{{x}_{n}})}dx}$ với $m\ne 0;\Delta ={{n}^{2}}-4mp<0$ phân tích

$\dfrac{P(x)}{\alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})...(m{{x}^{2}}+nx+p)...(x-{{x}_{n}})}=\dfrac{{{A}_{1}}}{x-{{x}_{1}}}+...+\left[ \dfrac{Ax+B}{m{{x}^{2}}+nx+p} \right]+...+\dfrac{{{A}_{n}}}{x-{{x}_{n}}}.$

Các hệ số trong các phân tích trên tìm ra bằng cách quy đồng rút gọn sau đó đồng nhất hệ số của ${{x}^{n}}$ hai vế hoặc chọn các giá trị của $x$ đưa về giải hệ phương trình hoặc sử dụng MTCT.

ĐẶC BIỆT: \[\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{1}{a-b}(\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x-b});\dfrac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2a}\left( \dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x+a} \right)\]

Xác định các hệ số trong phân tích bằng MTCT

Dạng 1: $\dfrac{P\left( x \right)}{\left( x-a \right)\left( x-b \right)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$ các hệ số $A,B$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:

$A = \dfrac{{P(x)}}{{x - b}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = a \hfill \\ \end{gathered} \right.,B = \dfrac{{P(x)}}{{x - a}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = b \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Dạng 2: $\dfrac{P(x)}{(x-a)(x-b)(x-c)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}+\dfrac{C}{x-c}$ các hệ số $A,B,C$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:

$A = \dfrac{{P(x)}}{{(x - b)(x - c)}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = a \hfill \\ \end{gathered} \right.,B = \dfrac{{P(x)}}{{(x - a)(x - c)}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = b \hfill \\ \end{gathered} \right.,C = \dfrac{{P(x)}}{{(x - a)(x - b)}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = c \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Dạng 3: $\dfrac{P(x)}{(x-m)(a{{x}^{2}}+bx+c)}=\dfrac{A}{x-m}+\dfrac{Bx+C}{a{{x}^{2}}+bx+c}$ các hệ số $A,B,C$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:

$A = \dfrac{{P(x)}}{{a{x^2} + bx + c}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = m \hfill \\ \end{gathered} \right.,Bx + C = \dfrac{{P(x) - A(a{x^2} + bx + c)}}{{x - m}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = 1000 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Dạng 4: $\dfrac{P(x)}{(x-m)(x-n)(a{{x}^{2}}+bx+c)}=\dfrac{A}{x-m}+\dfrac{B}{x-n}+\dfrac{Cx+D}{a{{x}^{2}}+bx+c}$ các hệ số $A,B,C,D$ xác định nhanh bằng MTCT như sau:

$A = \dfrac{{P(x)}}{{\left( {x - n} \right)\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = m \hfill \\ \end{gathered} \right.,B = \dfrac{{P\left( x \right)}}{{\left( {x - m} \right)\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = n \hfill \\ \end{gathered} \right.$

và \[Cx + D = \dfrac{{P(x) - A\left( {x - n} \right)\left( {a{x^2} + bx + c} \right) - B\left( {x - m} \right)\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}{{\left( {x - m} \right)\left( {x - n} \right)}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = 1000 \hfill \\ \end{gathered} \right..\]

Các nguyên hàm phân thức hữu tỉ cần ghi nhớ để áp dụng

• $\int{\dfrac{du}{u}}=\ln \left| u \right|+C.$
• $\int{\dfrac{1}{ax+b}dx}=\dfrac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C.$
• $\int{\dfrac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}dx}=-\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{(n-1){{(ax+b)}^{n-1}}}+C.$
• $\int{\dfrac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx}=\dfrac{1}{2a}\ln \left| \dfrac{x-a}{x+a} \right|+C.$
• $\int{\dfrac{1}{(x-a)(x-b)}dx}=\dfrac{1}{a-b}\ln \left| \dfrac{x-a}{x-b} \right|+C.$
• $\int{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}=\dfrac{1}{a}\arctan \dfrac{x}{a}+C.$
• $\int{\dfrac{du}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\dfrac{1}{a}\arctan \dfrac{u}{a}+C.$
• $\int{\dfrac{1}{{{(ax+b)}^{2}}+{{c}^{2}}}dx}=\dfrac{1}{ac}.\arctan \left( \dfrac{ax+b}{c} \right)+C.$

Các ví dụ phải sử dụng phép chia đa thức trước (bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu)

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm $\int{\dfrac{{{x}^{3}}+3x-1}{x+2}dx}$

Giải. Dùng phép chia đa thức ta có ${{x}^{3}}+3x-1=\left( {{x}^{2}}-2x+7 \right)\left( x+2 \right)-15$

$\Rightarrow \dfrac{{{x}^{3}}+3x-1}{x+2}={{x}^{2}}-2x+7-\dfrac{15}{x+2}$

$\Rightarrow \int{\dfrac{{{x}^{3}}+3x-1}{x+2}dx}=\int{\left( {{x}^{2}}-2x+7-\dfrac{15}{x+2} \right)dx}$

$=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+7x-15\ln \left| x+2 \right|+C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm $\int{\dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{x\left( x-2 \right)}dx}$

Giải. Thực hiện phép chia đa thức ta có thương và dư là $T\left( x \right)=1,R\left( x \right)=4x-3$ kết hợp với phân tích ta có:

$\dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{x\left( x-2 \right)}=1+\dfrac{4x-3}{x\left( x-2 \right)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-2}$

$ \Rightarrow a = \dfrac{{4x - 3}}{{x - 2}}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \dfrac{3}{2};b = \dfrac{{4x - 3}}{x}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow \int{\dfrac{{{x}^{2}}+2x-3}{x\left( x-2 \right)}dx}=\int{\left[ 1+\dfrac{3}{2x}+\dfrac{5}{2\left( x-2 \right)} \right]dx}=x+\dfrac{3}{2}\ln \left| x \right|+\dfrac{5}{2}\ln \left| x-2 \right|+C.$

Đối với nguyên hàm dạng $\int{\dfrac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx,\text{ }\left( a\ne 0;\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0 \right).$

Bước 1: Phân tích $mx+n=\dfrac{m}{2a}\left( 2ax+b \right)+n-\dfrac{bm}{2a}.$

Bước 2: Khi đó $\int{\dfrac{mx+n}{a{{x}^{2}}+bx+c}}dx=\dfrac{m}{2a}\int{\dfrac{d(a{{x}^{2}}+bx+c)}{a{{x}^{2}}+bx+c}}+\left( n-\dfrac{bm}{2a} \right)\int{\dfrac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}$ và áp dụng các nguyên hàm phía trên.

Ví dụ 1: $\int{\dfrac{2x+1}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int{\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}dx}+\int{\dfrac{1}{{{x}^{2}}+1}dx}=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+\arctan x+C.$

Ví dụ 2: $\int{\dfrac{2x+1}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int{\dfrac{\left( 2x+2 \right)-1}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}=\int{\dfrac{2x+2}{{{x}^{2}}+2x+2}dx}-\int{\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}dx}$

$=\ln \left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)-\arctan \left( x+1 \right)+C.$

Ví dụ 3: Biết rằng \[\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{2x+1}{(x+2)({{x}^{2}}+4)}dx}=\dfrac{1}{a}\left( b\pi -c\ln 2 \right)\] với $a,b,c$ là các số nguyên dương và $\dfrac{b}{a}$ là phân số tối giản. Giá trị của $a+b+c$ bằng

A. $37.$

B. $40.$

C. $42.$

D. $43.$

Giải. Phân tích: \[\dfrac{2x+1}{(x+2)({{x}^{2}}+4)}=\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{bx+c}{{{x}^{2}}+4}\Leftrightarrow 2x+1=a\left( {{x}^{2}}+4 \right)+\left( bx+c \right)\left( x+2 \right).\]

Cho \[\left\{ \begin{gathered} x = 0 \Rightarrow 1 = 4a + 2c \hfill \\ x = 1 \Rightarrow 3 = 5a + 3\left( {b + c} \right) \hfill \\ x = 2 \Rightarrow 5 = 8a + 4\left( {2b + c} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow (a;b;c) = \left( { - \dfrac{3}{8};\dfrac{3}{8};\dfrac{5}{4}} \right).\] Vậy

\[\begin{gathered} I = \int\limits_0^2 {\left( { - \dfrac{3}{{8(x + 2)}} + \dfrac{{3x}}{{8({x^2} + 4)}} + \dfrac{5}{{4({x^2} + 4)}}} \right)dx} \\ = \int\limits_0^2 {\left( { - \dfrac{3}{{8(x + 2)}} + \dfrac{3}{{16}}.\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}} + \dfrac{5}{4}.\dfrac{1}{{{x^2} + 4}}} \right)dx} \\ = \left( { - \dfrac{3}{8}\ln \left| {x + 2} \right| + \dfrac{3}{{16}}\ln \left| {{x^2} + 4} \right| + \dfrac{5}{8}\arctan \dfrac{x}{2}} \right)\left| \begin{gathered} 2 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \dfrac{1}{{32}}(5\pi - 6\ln 2) \Rightarrow a + b + c = 32 + 5 + 6 = 43. \\ \end{gathered} \]

Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho $\int\limits_{0}^{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}-1}dx}=\dfrac{1}{4}\ln \left( a-\sqrt{b} \right)+\dfrac{\pi }{c}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng

A. $29.$

B. $19.$

C. $17.$

D. $27.$

Giải. Ta có phân tích: \[\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}-1}=\dfrac{{{x}^{2}}}{(x-1)(x+1)({{x}^{2}}+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{Cx+D}{{{x}^{2}}+1}\]

trong đó \[A=\dfrac{{{x}^{2}}}{(x+1)({{x}^{2}}+1)}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x=1 \hfill \\ \end{gathered} \right.=\dfrac{1}{4},B=\dfrac{{{x}^{2}}}{(x-1)({{x}^{2}}+1)}\left| \begin{gathered} \hfill \\ x=-1 \hfill \\ \end{gathered} \right.=-\dfrac{1}{4}\]

và \[Cx+D=\dfrac{{{x}^{2}}-\dfrac{1}{4}(x+1)({{x}^{2}}+1)+\dfrac{1}{4}(x-1)({{x}^{2}}+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{2}\left( CALC\text{ }X=1000 \right)\]

Vậy \[I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\left[ \dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+1)}+\dfrac{1}{2({{x}^{2}}+1)} \right]dx}=\left( \dfrac{1}{4}\ln \left| \dfrac{x-1}{x+1} \right|+\dfrac{1}{2}\arctan x \right)\left| \begin{gathered} \dfrac{\sqrt{3}}{3} \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] \[=\dfrac{1}{4}\ln \left( \dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1} \right)+\dfrac{1}{2}\left( \arctan \dfrac{\sqrt{3}}{3}-\arctan 0 \right)=\dfrac{1}{4}\ln \left( 2-\sqrt{3} \right)+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi }{6}-0 \right)=\dfrac{1}{4}\ln \left( 2-\sqrt{3} \right)+\dfrac{\pi }{12}.\]

Vậy $a=2,b=3,c=12$ và $a+b+c=17.$ Chọn đáp án C.

Các trường hợp đặc biệt của nguyên hàm – tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Dạng 1: $\int{\dfrac{{{\left( ax+b \right)}^{m}}}{{{\left( cx+d \right)}^{n}}}dx}$ với $m,n$ là các số nguyên dương lớn

Phương pháp chung là đổi biến $t=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ cùng quan sát các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho \[\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2023}}}{{{\left( x+2 \right)}^{2025}}}dx}=\dfrac{1}{a}{{.3}^{b}}\] với $a,\text{ }b$ là các số nguyên, $a$ và $3$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Giá trị $a+b$ bằng

A. $2024.$

B. $0.$

C. $2022.$

D. $2023.$

Giải. Ta có $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2023}}}{{{\left( x+2 \right)}^{2025}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \dfrac{x}{x+2} \right)}^{2023}}.\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}dx}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \dfrac{x}{x+2} \right)}^{2023}}d\left( \dfrac{x}{x+2} \right)}$

$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2024}{{\left( \dfrac{x}{x+2} \right)}^{2024}}\left| \begin{gathered}\hfill 1 \\ \hfill 0 \\ \end{gathered} \right.=\dfrac{1}{{{4048.3}^{2024}}}=\dfrac{1}{4048}{{.3}^{-2024}}\Rightarrow a+b=4048-2024=2024.$ Chọn đáp án A.

Tương tự như vậy xét ví dụ dưới đây:

Ví dụ 2: Giá trị của tích phân \[\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{2019}}}{{{(1+{{x}^{2}})}^{1011}}}dx}\] bằng

A. \[\dfrac{1}{2020}\left[ {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{1010}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{1010}} \right].\] C. \[\dfrac{1}{2020}{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{1010}}.\]

B. \[\dfrac{1}{2018}\left[ {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{1009}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{1009}} \right].\] D. \[\dfrac{1}{2018}{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{1009}}.\].

Ta có biến đổi \[I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{2019}}}{{{(1+{{x}^{2}})}^{1011}}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right)}^{1009}}.\dfrac{x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dx}.\] Và \[d\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} \right)={{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}dx=\dfrac{2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}dx,\] Vậy \[I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{1009}}d\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} \right)}=\dfrac{1}{2020}{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{1010}}\left| \begin{gathered} 2 \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.=\dfrac{1}{2020}\left[ {{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{1010}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{1010}} \right].\] Chọn đáp án A.

Một số bài toán có luỹ thừa bậc cao của hàm phân thức hữu tỉ, ta chú ý các phép đổi biến hoặc đưa về biểu thức vi phân hay thực hiện phép chia cho ${{x}^{2}},{{x}^{3}},...$

Ví dụ 1: Biết $\int{\dfrac{2x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)+1}dx}=-\dfrac{1}{g(x)}+C.$ Tổng các nghiệm của phương trình $g(x)=0$ là

A. $1.$

B. $3.$

C. $-3.$

D. $-1.$

Giải. Các em đừng sợ nhé, đơn giản bằng biến đổi như sau:

$\begin{gathered} \int {\frac{{2x + 3}}{{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1}}dx} = \int {\frac{{2x + 3}}{{({x^2} + 3x)({x^2} + 3x + 2) + 1}}dx} = \int {\frac{{2x + 3}}{{{{({x^2} + 3x)}^2} + 2({x^2} + 3x) + 1}}dx} \\ = \int {\frac{{2x + 3}}{{{{({x^2} + 3x + 1)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{({x^2} + 3x + 1)}^2}}}d({x^2} + 3x + 1)} = - \frac{1}{{{x^2} + 3x + 1}} + C. \\ \end{gathered} $

Vậy $g(x)={{x}^{2}}+3x+1\Rightarrow g(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}-2x+1}\] có dạng \[F\left( x \right)=\dfrac{a}{b}\ln \left| \dfrac{{{x}^{2}}-cx-1}{{{x}^{2}}+dx-1} \right|\], trong đó \[a,b,c,d\] là các số nguyên dương và phân số \[\dfrac{a}{b}\] tối giản. Tính \[a+b+c+d\].

A. \[24.\]

B. \[21.\]

C. \[15.\]

D. \[13.\]

Giải. Ta có $F\left( x \right)=\int{\dfrac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}-2x+1}dx}=\int{\dfrac{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+2x-10-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}dx}$

$=\int{\dfrac{1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{{{\left( x-\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x-\dfrac{1}{x} \right)-8}dx}=\int{\dfrac{1}{{{\left( x-\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x-\dfrac{1}{x} \right)-8}d\left( x-\dfrac{1}{x} \right)}$

$=\int{\dfrac{1}{{{t}^{2}}+2t-8}dt}=\int{\dfrac{1}{\left( t-2 \right)\left( t+4 \right)}dt}=\dfrac{1}{6}\ln \left| \dfrac{t-2}{t+4} \right|+C,\left( t=x-\dfrac{1}{x} \right)$

$=\dfrac{1}{6}\ln \left| \dfrac{x-\dfrac{1}{x}-2}{x-\dfrac{1}{x}+4} \right|+C=\dfrac{1}{6}\ln \left| \dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{x}^{2}}+4x-1} \right|+C\Rightarrow a+b+c+d=1+6+2+4=13.$

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho $\int\limits_{1}^{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}{\dfrac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+1}}dx=\dfrac{1}{4}\left( \ln a+\ln (\sqrt{b}-c) \right)$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng

A. $12.$

B. $11.$

C. $9.$

C. $13.$

\[\begin{gathered} \int\limits_1^{\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 2{x^3} - {x^2} + 2x + 1}}dx} = \int\limits_1^{\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} {\dfrac{{\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}}{{{x^2} + 2x - 1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}} \hfill \\ = \int\limits_1^{\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} {\dfrac{{d\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)}}{{{{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)}^2} + 2\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) - 3}} = \dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{x + \dfrac{1}{x} - 1}}{{x + \dfrac{1}{x} + 3}}} \right|} \left| \begin{gathered} \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \dfrac{1}{4}\left( {\ln ( - 2 + \sqrt 5 ) + \ln 5} \right). \hfill \\ \end{gathered} \] Vậy $a=5,b=5,c=2$ và $a+b+c=12.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Tích phân bằng $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{n}}}{1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{n}}}{n!}}dx}$ bằng

A. $(n+1)!\ln \left( 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...+\dfrac{1}{n!} \right).$ C. $(n-1)!\ln \left( 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...+\dfrac{1}{n!} \right).$

B. $\ln \left( 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...+\dfrac{1}{n!} \right).$ D. $n!\left( 1-\ln \left( 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...+\dfrac{1}{n!} \right) \right).$

Đặt \[g(x)=1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3!}+...+\dfrac{{{x}^{n}}}{n!}\Rightarrow {g}'(x)=1+x+\dfrac{{{x}^{2}}}{2!}+...+\dfrac{{{x}^{n-1}}}{(n-1)!}=g(x)-\dfrac{{{x}^{n}}}{n!}.\] Suy ra \[{{x}^{n}}=n!\left( g(x)-{g}'(x) \right).\] Vì vậy tích phân cần tính \[\begin{gathered} I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{n!\left( {g(x) - g'(x)} \right)}}{{g(x)}}dx} = n!\int\limits_0^1 {dx} - n!\int\limits_0^1 {\dfrac{{g'(x)}}{{g(x)}}dx} \\ = n! - n!\ln \left| {g(x)} \right|\left| \begin{gathered} 1 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = n! - n!\ln \dfrac{{g(1)}}{{g(0)}} = n! - n!\ln \left( {2 + \dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right). \\ \end{gathered} \] Chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Cho $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{3}}-x}{{{x}^{6}}+1}dx}=\dfrac{a}{b}\left( 2\ln c+\ln d-2\ln e \right)$ với $a,b$ là các số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ tối giản và $c,d,e$ là các số nguyên tố. Tính $T=a+b+c+d+e.$

A. $T=25.$

B. $T=33.$

C. $T=17.$

D. $T=27.$

Giải. Ta có $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{3}}-x}{{{x}^{6}}+1}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{3}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}{{{\left( x+\dfrac{1}{x} \right)}^{3}}-3\left( x+\dfrac{1}{x} \right)}}.$

Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}\Rightarrow dt=\left( 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx.$ Đổi cận $x=1\Rightarrow t=2;x=2\Rightarrow t=\dfrac{5}{2}.$

Khi đó \[I = \int\limits_2^{\dfrac{5}{2}} {\dfrac{1}{{{t^3} - 3t}}dt} = \dfrac{1}{6}\int\limits_2^{\dfrac{5}{2}} {\left( {\dfrac{{2t}}{{{t^2} - 3}} - \dfrac{2}{t}} \right)dt} = \dfrac{1}{6}\left( {\ln \left| {{t^2} - 3} \right| - 2\ln \left| t \right|} \right)\left| \begin{gathered} \dfrac{5}{2} \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \dfrac{1}{6}\left( {2\ln 2 + \ln 13 - 2\ln 5} \right).\]

Vậy $a=1,b=6,c=2,d=13,e=5$ và $T=1+6+2+13+5=27.$ Chọn đáp án D.

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5