Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Hình toạ độ không gian Oxyz


Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Hình toạ độ không gian Oxyz

Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Đề thi này đề cập đến riêng mặt phẳng đoạn chắn

Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục toạ độ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\text{ }(abc\ne 0)$ có phương trình

                                                \[\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\]

mặt phẳng này có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \right).$

  • Điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ thuộc mặt phẳng này khi và chỉ khi $\dfrac{{{x}_{0}}}{a}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c}=1.$

các trường hợp đặc biệt hay gặp:

  • $M$ là trọng tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=3{{x}_{0}} \\&b=3{{y}_{0}} \\& c=3{{z}_{0}} \\\end{align} \right.\Rightarrow (P):\frac{x}{3{{x}_{0}}}+\frac{y}{3{{y}_{0}}}+\frac{z}{3{{z}_{0}}}=1.$
  • $M$ là trực tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
  • $\min \frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
  • $OA=OB=OC.$ Với $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})\ne 0$ có bốn mặt phẳng thoả mãn. Ngược lại $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})=0$ có ba mặt phẳng thoả mãn.
  • Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có tâm $I\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2} \right)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}.$
  • Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ là $r=\frac{\left| abc \right|}{\left| ab \right|+\left| bc \right|+\left| ca \right|+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}.$

Ví dụ: Trong không gian $Oxyz,$ có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm $M\left( 4;-4;1 \right)$ và chắn trên ba trục tọa độ $Ox,\text{ }Oy,\text{ }Oz$ theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\dfrac{1}{2}?$

A. $3.$

B. $1.$

C. $2.$

D. $4.$

Giải. Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Vì $M\left( 4;-4;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{4}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{1}{c}=1\text{ }\left( 1 \right)$

Và $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\dfrac{1}{2}$ nên $OC=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}OA \right)$

$ \Leftrightarrow \left| c \right| = \dfrac{1}{2}\left| b \right| = \dfrac{1}{4}\left| a \right| \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| {2b} \right| = \left| {4c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 2b = 4c \hfill \\ a = 2b = - 4c \hfill \\ 2b = 4c = - a \hfill \\ 4c = a = - 2b \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( 2 \right)$

Giải $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( -8;-4;2 \right);\left( 8;-4;-2 \right);\left( 16;-8;4 \right).$ Vậy có 3 mặt phẳng thoả mãn. Chọn đáp án A.

*Các em xem lại Bài giảng Mặt phẳng đoạn chắn khoá PRO X.

XEM TRỰC TUYẾN

Một số câu hỏi có trong đề thi:

$\square \square_0$
Câu 70 [Q650287417] Trong không gian $O x y z$, mặt phẳng $(\alpha): a x+b y+c z-1=0,(c>0)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(\beta): 2 x-y+z-1=0$ và $(O x y)$ đồng thời tạo với ba mặt phẳng toạ độ một tứ diện có thể tích bằng $\frac{1}{60}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $R(2 ; 8 ;-1)$.
B. $S(1 ;-1 ; 1)$.
C. $T(1 ;-1 ;-3)$.
D. $Q(2 ;-2 ;-1)$.

Câu 71 [Q526215779] Trong không gian $O x y z$, cho điểm $M(1 ; 4 ; 2)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu qua $O$ và cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $M, A, B, C$ dồng phẳng và $O A+O B+2 O C$ nhỏ nhất. Bán kính mặt cầu $(S)$ bằng
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$.

Câu 72 [Q381711538] Trong không gian $O x y z$, cho $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ với $a, b, c>0$ sao cho $2 O A-O B+O C+5 \sqrt{O B^2+O C^2}=36$.Tính $a-b+c$ khi thể tích khối chóp $O$. $A B C$ đạt giá trị lớn nhất
A. 1 .
B. 5 .
C. $\frac{-36+36 \sqrt{2}}{5}$.
D. 7 .

Câu 73 [Q005709350] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(2 ; 0 ; 0), M(1 ; 1 ; 1)$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng $A M$ và cắt các trục $O y, O z$ lần lượt tại $B$ và $C$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ có diện tích bằng A. 1.
C. 2 .
D. 4 .

Câu 74 [Q760756727] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $M(1 ;-2 ; 2)$ và $S(2 ;-1 ; 3)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $A B C$. Thể tích khối chóp $S$. $A B C$ bằng

BIÊN SOẠN: THÂY ĐẶNG THÀNH NAM - DUY NHẤT TẠI VTED.VN| 10

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM - DUY NHẤT TẠI VTED.VN|11
A. $\frac{7}{2}$.
B. $\frac{27}{8}$.
C. $\frac{81}{4}$.
D. $\frac{27}{4}$.
$\qquad$
Câu 75 [Q564424651] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(2 ;-3 ;-2), H(1 ;-5 ;-7)$ và các đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ cùng đi qua điểm $A$ và lần lượt song song với $O x, O y, O z$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ cắt $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ lần lượt tại $M, N, P$ sao cho $H$ là trực tâm $\Delta M N P$ có dạng $a x+b y+5 z+d=0$. Giá trị biểu thức $P=a+b+d$ bằng
路和
A. 50 .
B. 46 .
C. 52 .
D. 47 .

[PRO X] Phương trình mặt phẳng đoạn chắn (Đề số 01)

 

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả
google.com, pub-1336488906065213, DIRECT, f08c47fec0942fa0