Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Hình toạ độ không gian Oxyz

Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Đề thi này đề cập đến riêng mặt phẳng đoạn chắn

Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục toạ độ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\text{ }(abc\ne 0)$ có phương trình

                                                \[\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\]

mặt phẳng này có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \right).$

• Điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ thuộc mặt phẳng này khi và chỉ khi $\dfrac{{{x}_{0}}}{a}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c}=1.$

các trường hợp đặc biệt hay gặp:

• $M$ là trọng tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=3{{x}_{0}} \\&b=3{{y}_{0}} \\& c=3{{z}_{0}} \\\end{align} \right.\Rightarrow (P):\frac{x}{3{{x}_{0}}}+\frac{y}{3{{y}_{0}}}+\frac{z}{3{{z}_{0}}}=1.$
• $M$ là trực tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
• $\min \frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
• $OA=OB=OC.$ Với $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})\ne 0$ có bốn mặt phẳng thoả mãn. Ngược lại $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})=0$ có ba mặt phẳng thoả mãn.
• Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có tâm $I\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2} \right)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}.$
• Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ là $r=\frac{\left| abc \right|}{\left| ab \right|+\left| bc \right|+\left| ca \right|+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}.$

Ví dụ: Trong không gian $Oxyz,$ có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm $M\left( 4;-4;1 \right)$ và chắn trên ba trục tọa độ $Ox,\text{ }Oy,\text{ }Oz$ theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\dfrac{1}{2}?$

Giải. Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Vì $M\left( 4;-4;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{4}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{1}{c}=1\text{ }\left( 1 \right)$

Và $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\dfrac{1}{2}$ nên $OC=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}OA \right)$

$ \Leftrightarrow \left| c \right| = \dfrac{1}{2}\left| b \right| = \dfrac{1}{4}\left| a \right| \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| {2b} \right| = \left| {4c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 2b = 4c \hfill \\ a = 2b = - 4c \hfill \\ 2b = 4c = - a \hfill \\ 4c = a = - 2b \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( 2 \right)$

Giải $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( -8;-4;2 \right);\left( 8;-4;-2 \right);\left( 16;-8;4 \right).$ Vậy có 3 mặt phẳng thoả mãn. Chọn đáp án A.

*Các em xem lại Bài giảng Mặt phẳng đoạn chắn khoá PRO X.

XEM TRỰC TUYẾN

Một số câu hỏi có trong đề thi:

$\square \square_0$
Câu 70 [Q650287417] Trong không gian $O x y z$, mặt phẳng $(\alpha): a x+b y+c z-1=0,(c>0)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(\beta): 2 x-y+z-1=0$ và $(O x y)$ đồng thời tạo với ba mặt phẳng toạ độ một tứ diện có thể tích bằng $\frac{1}{60}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $R(2 ; 8 ;-1)$.
B. $S(1 ;-1 ; 1)$.
C. $T(1 ;-1 ;-3)$.
D. $Q(2 ;-2 ;-1)$.

Câu 71 [Q526215779] Trong không gian $O x y z$, cho điểm $M(1 ; 4 ; 2)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu qua $O$ và cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $M, A, B, C$ dồng phẳng và $O A+O B+2 O C$ nhỏ nhất. Bán kính mặt cầu $(S)$ bằng
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$.

Câu 72 [Q381711538] Trong không gian $O x y z$, cho $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ với $a, b, c>0$ sao cho $2 O A-O B+O C+5 \sqrt{O B^2+O C^2}=36$.Tính $a-b+c$ khi thể tích khối chóp $O$. $A B C$ đạt giá trị lớn nhất
A. 1 .
B. 5 .
C. $\frac{-36+36 \sqrt{2}}{5}$.
D. 7 .

Câu 73 [Q005709350] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(2 ; 0 ; 0), M(1 ; 1 ; 1)$. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng $A M$ và cắt các trục $O y, O z$ lần lượt tại $B$ và $C$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ có diện tích bằng A. 1.
C. 2 .
D. 4 .

Câu 74 [Q760756727] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $M(1 ;-2 ; 2)$ và $S(2 ;-1 ; 3)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $A B C$. Thể tích khối chóp $S$. $A B C$ bằng

BIÊN SOẠN: THÂY ĐẶNG THÀNH NAM - DUY NHẤT TẠI VTED.VN| 10

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM - DUY NHẤT TẠI VTED.VN|11
A. $\frac{7}{2}$.
B. $\frac{27}{8}$.
C. $\frac{81}{4}$.
D. $\frac{27}{4}$.
$\qquad$
Câu 75 [Q564424651] Trong không gian $O x y z$, cho hai điểm $A(2 ;-3 ;-2), H(1 ;-5 ;-7)$ và các đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ cùng đi qua điểm $A$ và lần lượt song song với $O x, O y, O z$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ cắt $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ lần lượt tại $M, N, P$ sao cho $H$ là trực tâm $\Delta M N P$ có dạng $a x+b y+5 z+d=0$. Giá trị biểu thức $P=a+b+d$ bằng
路和
A. 50 .
B. 46 .
C. 52 .
D. 47 .

[PRO X] Phương trình mặt phẳng đoạn chắn (Đề số 01)

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)