Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Hình toạ độ không gian Oxyz

Trích bài giảng và đề thi khoá PRO X tại Vted.vn

Đề thi này đề cập đến riêng mặt phẳng đoạn chắn

Mặt phẳng qua ba điểm trên ba trục toạ độ $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\text{ }(abc\ne 0)$ có phương trình

                                                \[\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\]

mặt phẳng này có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( \dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c} \right).$

• Điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ thuộc mặt phẳng này khi và chỉ khi $\dfrac{{{x}_{0}}}{a}+\dfrac{{{y}_{0}}}{b}+\dfrac{{{z}_{0}}}{c}=1.$

các trường hợp đặc biệt hay gặp:

• $M$ là trọng tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=3{{x}_{0}} \\&b=3{{y}_{0}} \\& c=3{{z}_{0}} \\\end{align} \right.\Rightarrow (P):\frac{x}{3{{x}_{0}}}+\frac{y}{3{{y}_{0}}}+\frac{z}{3{{z}_{0}}}=1.$
• $M$ là trực tâm tam giác $ABC\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
• $\min \frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Leftrightarrow OM\bot (P)\Rightarrow (P):{{x}_{0}}(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}(y-{{y}_{0}})+{{z}_{0}}(z-{{z}_{0}})=0.$
• $OA=OB=OC.$ Với $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})\ne 0$ có bốn mặt phẳng thoả mãn. Ngược lại $({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})({{x}_{0}}+{{y}_{0}}-{{z}_{0}})({{x}_{0}}-{{y}_{0}}+{{z}_{0}})(-{{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}})=0$ có ba mặt phẳng thoả mãn.
• Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có tâm $I\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2} \right)$ và bán kính $R=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}.$
• Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ là $r=\frac{\left| abc \right|}{\left| ab \right|+\left| bc \right|+\left| ca \right|+\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}.$

Ví dụ: Trong không gian $Oxyz,$ có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm $M\left( 4;-4;1 \right)$ và chắn trên ba trục tọa độ $Ox,\text{ }Oy,\text{ }Oz$ theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\dfrac{1}{2}?$

Giải. Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\Rightarrow \left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Vì $M\left( 4;-4;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \dfrac{4}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{1}{c}=1\text{ }\left( 1 \right)$

Và $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng $\dfrac{1}{2}$ nên $OC=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2}OA \right)$

$ \Leftrightarrow \left| c \right| = \dfrac{1}{2}\left| b \right| = \dfrac{1}{4}\left| a \right| \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| {2b} \right| = \left| {4c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 2b = 4c \hfill \\ a = 2b = - 4c \hfill \\ 2b = 4c = - a \hfill \\ 4c = a = - 2b \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( 2 \right)$

Giải $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \left( a;b;c \right)=\left( -8;-4;2 \right);\left( 8;-4;-2 \right);\left( 16;-8;4 \right).$ Vậy có 3 mặt phẳng thoả mãn. Chọn đáp án A.

*Các em xem lại Bài giảng Mặt phẳng đoạn chắn khoá PRO X.

XEM TRỰC TUYẾN

TẢI VỀ ĐỀ THI NÀY BẢN PDF

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Bộ Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 (Trắc nghiệm)

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Phú Thọ

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thanh Hoá

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thái Bình

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Môn Toán lớp 12 năm học 2022 – 2023 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc