Phương trình vi phân toàn phần và phương pháp thừa số tích phân

Phương trình vi phân toàn phần

Phương trình vi phân toàn phần là phương trình có dạng $M\left( x,y \right)dx+N\left( x,y \right)dy=0$ trong đó $M\left( x,y \right)dx+N\left( x,y \right)dy$ là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)$ nào đó, tức là $d\Phi \left( x,y \right)=M\left( x,y \right)dx+N\left( x,y \right)dy$

Khi đó phương trình có dạng $d\Phi \left( x,y \right)=0\Rightarrow \Phi \left( x,y \right)=C.$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là $\Phi \left( x,y \right)=C,$ với $C$ là hằng số.

>>Tính đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm số

>>Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế

>>Khai triển Taylor và ứng dụng

Định lí: Giả sử các hàm số $M\left( x,y \right)$ và $N\left( x,y \right)$ xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền $D=\left\{ \left( x,y \right):a<x<b,c<y<d \right\}$ sao cho ${{{M}'}_{y}}={{{N}'}_{x}}.$ Khi đó $M\left( x,y \right)dx+N\left( x,y \right)dy$ là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)$ xác định bởi công thức $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( {{x}_{0}},y \right)dy}$ hoặc $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,{{y}_{0}} \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( x,y \right)dy}$ với $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ chọn tuỳ ý thuộc miền $D.$

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân $\left( x+y-1 \right)dx+\left( x+{{y}^{2}}-3 \right)dy=0.$

Giải. Ta có $M\left( x,y \right)=x+y-1\Rightarrow {{{M}'}_{y}}=1;N\left( x,y \right)=x+{{y}^{2}}-3\Rightarrow {{{N}'}_{x}}=1\Rightarrow {{{M}'}_{y}}={{{N}'}_{x}}$

Nên vế trái của phương trình là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( {{x}_{0}},y \right)dy}$

Chọn ${{x}_{0}}={{y}_{0}}=0$ ta được $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{0}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{0}^{y}{N\left( 0,y \right)dy}$

$=\int\limits_{0}^{x}{\left( x+y-1 \right)dx}+\int\limits_{0}^{y}{\left( {{y}^{2}}-3 \right)dy}=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\left( y-1 \right)x+\dfrac{1}{3}{{y}^{3}}-3y.$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là $\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+\left( y-1 \right)x+\dfrac{1}{3}{{y}^{3}}-3y=C,$ với $C$ là hằng số.

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân $3{{x}^{2}}\left( 1+\ln y \right)dx-\left( 2y-\dfrac{{{x}^{3}}}{y} \right)dy=0.$

Giải. Ta có $M\left( x,y \right)=3{{x}^{2}}\left( 1+\ln y \right)\Rightarrow {{{M}'}_{y}}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{y};N\left( x,y \right)=-2y+\dfrac{{{x}^{3}}}{y}\Rightarrow {{{N}'}_{x}}=\dfrac{3{{x}^{2}}}{y}\Rightarrow {{{M}'}_{y}}={{{N}'}_{x}}$ nên vế trái của phương trình là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( {{x}_{0}},y \right)dy}$

Chọn ${{x}_{0}}=0,{{y}_{0}}=1$ ta được $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{0}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{1}^{y}{N\left( 0,y \right)dy}$

$=\int\limits_{0}^{x}{3{{x}^{2}}\left( 1+\ln y \right)dx}+\int\limits_{1}^{y}{-2ydy}={{x}^{3}}\left( 1+\ln y \right)-{{y}^{2}}+1.$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ${{x}^{3}}\left( 1+\ln y \right)-{{y}^{2}}+1=C,$ với $C$ là hằng số.

Ví dụ 3: Giải phương trình vi phân $\dfrac{x+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}dx-\dfrac{2y}{x}dy=0.$

Giải. Ta có $M\left( x,y \right)=\dfrac{x+{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{{M}'}_{y}}=\dfrac{2y}{{{x}^{2}}};N\left( x,y \right)=-\dfrac{2y}{x}\Rightarrow {{{N}'}_{x}}=\dfrac{2y}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {{{M}'}_{y}}={{{N}'}_{x}}$

Vì vậy vế trái của phương trình là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( {{x}_{0}},y \right)dy}$

Chọn ${{x}_{0}}=1,{{y}_{0}}=0$ ta được $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{1}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{0}^{y}{N\left( 1,y \right)dy}$$=\int\limits_{1}^{x}{\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}} \right)dx}+\int\limits_{0}^{y}{-2ydy}=\ln \left| x \right|-\dfrac{{{y}^{2}}}{x}$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là $\ln \left| x \right|-\dfrac{{{y}^{2}}}{x}=C,$ với $C$ là hằng số.

Ví dụ 4: Giải phương trình vi phân $\left[ \dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{x} \right]dx+\left[ \dfrac{1}{y}-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}} \right]dy=0.$

Giải. Ta có \[M\left( x,y \right)=\dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{x}\Rightarrow {{{M}'}_{y}}=\dfrac{2xy}{{{\left( x-y \right)}^{3}}}\] và \[N\left( x,y \right)=\dfrac{1}{y}-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}\Rightarrow {{{N}'}_{x}}=\dfrac{2xy}{{{\left( x-y \right)}^{3}}}\Rightarrow {{{M}'}_{y}}={{{N}'}_{x}}\]

Vậy vế trái của phương trình đã cho là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( {{x}_{0}},y \right)dy}$

Chọn ${{x}_{0}}=2,{{y}_{0}}=1$ ta được $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{2}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{1}^{y}{N\left( 2,y \right)dy}$

\[=\int\limits_{2}^{x}{\left( \dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}-\dfrac{1}{x} \right)dx}+\int\limits_{1}^{y}{\left( \dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{{{\left( 2-y \right)}^{2}}} \right)dy}\]

\[ = \left( { - \dfrac{{{y^2}}}{{x - y}} - \ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{gathered} x \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. + \left( {\ln \left| y \right| + \dfrac{4}{{y - 2}}} \right)\left| \begin{gathered} y \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[=-\dfrac{{{y}^{2}}}{x-y}-\ln \left| x \right|+\ln \left| y \right|+\dfrac{4}{y-2}+\dfrac{{{y}^{2}}}{2-y}+\ln 2+4\]

\[=-\dfrac{{{y}^{2}}}{x-y}-\ln \left| x \right|+\ln \left| y \right|-y+2+\ln 2.\]

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là \[-\dfrac{{{y}^{2}}}{x-y}-\ln \left| x \right|+\ln \left| y \right|-y+2+\ln 2=C,\] với $C$ là hằng số.

Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân $y\cos \left( xy \right)dx+\left[ 1+x\cos \left( xy \right) \right]dy=0.$

Giải. Ta có $M\left( x,y \right)=y\cos \left( xy \right)\Rightarrow {{{M}'}_{y}}=\cos \left( xy \right)-xy\sin \left( xy \right)$

và $N\left( x,y \right)=1+x\cos \left( xy \right)\Rightarrow {{{N}'}_{x}}=\cos \left( xy \right)-xy\sin \left( xy \right)\Rightarrow {{{M}'}_{y}}={{{N}'}_{x}}$

Nên vế trái phương trình đã cho là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( {{x}_{0}},y \right)dy}$

Chọn ${{x}_{0}}={{y}_{0}}=0$ ta được $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{0}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{0}^{y}{N\left( 0,y \right)dy}=\int\limits_{0}^{x}{y\cos \left( xy \right)dx}+\int\limits_{0}^{y}{1dy}=\sin \left( xy \right)+y$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là \[\sin \left( xy \right)+y=C,\] với $C$ là hằng số.

Ví dụ 6: Giải phương trình vi phân $\left( 2x-\dfrac{1}{y} \right)dx+\left( 1+\dfrac{x}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{y} \right)dy=0.$

Giải. Ta có $M\left( x,y \right)=2x-\dfrac{1}{y}\Rightarrow {{{M}'}_{y}}=\dfrac{1}{{{y}^{2}}};N\left( x,y \right)=1+\dfrac{x}{{{y}^{2}}}+\dfrac{1}{y}\Rightarrow {{{N}'}_{x}}=\dfrac{1}{{{y}^{2}}}\Rightarrow {{{M}'}_{y}}={{{N}'}_{x}}$

Vậy vế trái phương trình đã cho là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{N\left( {{x}_{0}},y \right)dy}$

Chọn ${{x}_{0}}=0,{{y}_{0}}=1$ ta được $\Phi \left( x,y \right)=\int\limits_{0}^{x}{M\left( x,y \right)dx}+\int\limits_{1}^{y}{N\left( 0,y \right)dy}$

$=\int\limits_{0}^{x}{\left( 2x-\dfrac{1}{y} \right)dx}+\int\limits_{1}^{y}{\left( 1+\dfrac{1}{y} \right)dy}={{x}^{2}}-\dfrac{x}{y}+y+\ln \left| y \right|-1$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là \[{{x}^{2}}-\dfrac{x}{y}+y+\ln \left| y \right|-1=C,\] với $C$ là hằng số.

Phương pháp thừa số tích phân

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

ĐĂNG KÍ COMBO TOÁN CAO CẤP DÀNH CHO SINH VIÊN TẠI ĐÂY