Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc một số Bài toán thực tế chương khối tròn xoay Nón - Trụ - Cầu hình học không gian Toán 12

Bạn đọc theo dõi các ví dụ dưới đây:

Cho tháp nước như hình dưới đây, tháp được thiết kế gồm thân tháp có dạng hình trụ, phần mái phía trên dạng hình nón và đáy là nửa hình cầu. Không gian bên trong toàn bộ tháp được minh họa theo hình vẽ với đường kính đáy hình trụ, hình cầu và đường kính đáy của hình nón đều bằng 3m, chiều cao hình trụ là 2m, chiều cao của hình nón là 1m.

Thể tích của toàn bộ không gian bên trong tháp nước gần nhất với giá trị nào sau đây?

Ta có $V=\dfrac{1}{2}{{V}_{C}}+{{V}_{T}}+{{V}_{N}}=\dfrac{2}{3}\pi R_{C}^{3}+\pi R_{T}^{2}{{h}_{T}}+\dfrac{\pi }{3}R_{N}^{2}{{h}_{N}}$

$=\pi \left( \dfrac{2}{3}\times {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{3}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}\times 2+\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}\times 1 \right)=\dfrac{15}{2}\pi .$ Chọn đáp án A.

Ống thép mạ kẽm (độ dày của ống thép là hiệu số bán kính mặt ngoài và bán kính mặt bên trong của ống thép).Nhà máy quy định giá bán cho các loại ống thép dựa trên cân nặng của các ống thép đó. Biết rằng thép ống có giá là $24\,700$ đồng/kg và khối lượng riêng của thép là 7850 kg/m3. Một đại lí thép mua về 1000 ống thép loại có đường kính ngoài là $60\ \text{mm}$, độ dày là $3\ \text{mm}$và có chiều dài là $6\ \text{m}$.Hãy tính số tiền mà đại lí bỏ ra để mua $1000$ ống thép nói trên (làm tròn đến ngàn đồng).

Bán kính ngoài và trong mỗi ống thép lần lượt là ${{r}_{1}}=\dfrac{30}{1000}m,{{r}_{2}}=\dfrac{27}{1000}m.$

Mỗi ống thép có khối lượng là $7850V=7850\pi \left( r_{1}^{2}-r_{2}^{2} \right)h=7850\pi \left( {{\left( \dfrac{30}{1000} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{27}{1000} \right)}^{2}} \right)\times 6$

Số tiền cần bỏ ra mua 1000 ống theo theo giá 24700 đồng/kg là $F=1000\times 7850\pi \left( {{\left( \dfrac{30}{1000} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{27}{1000} \right)}^{2}} \right)\times 6\times 24700\approx 624977000$ đồng.

Chọn đáp án B.

Cho bình chứa nước được tạo bởi một hình nón không đáy và hình bán cầu và đặt thẳng đứng trên mặt bàn như hình vẽ. Bình được đổ một lượng nước bằng $70$% dung tích của bình. Coi kích thước vỏ bình không đáng kể, chiều cao của mực nước so với mặt bàn gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Giải. Bán kính cầu bằng bán kính đáy của nón và bằng $r=8\text{cm;}$ chiều cao nón bằng $h=28-8=20\text{cm}.$

Thể tích bình nước là $\dfrac{2}{3}\pi {{r}^{3}}+\dfrac{\pi {{r}^{2}}h}{3}=\dfrac{2}{3}\pi *{{8}^{3}}+\dfrac{\pi *{{8}^{2}}*20}{3}=768\pi \text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$

Phần bình không chứa nước là một nón đỉnh $S,$ bán kính đáy ${r}'={O}'{A}'$ và chiều cao ${h}'=S{O}'$ như hình vẽ:

Theo Thales ta có $\dfrac{S{O}'}{SO}=\dfrac{{O}'{A}'}{OA}\Rightarrow \dfrac{28-x}{20}=\dfrac{{{r}'}}{8}\Rightarrow {r}'=\dfrac{8}{20}\left( 28-x \right)$

Thể tích phần bình không chứa nước chiếm 100% - 70% = 30% dung tích bình nên

$\dfrac{\pi }{3}{{\left( \dfrac{8}{20}\left( 28-x \right) \right)}^{2}}\left( 28-x \right)=\dfrac{30}{100}\times 768\pi \Rightarrow x\approx 11,713\text{cm}.$ Chọn đáp án B.

Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng một tấm kính cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên. Biết giá tiền của $1\text{ }{{\text{m}}^{2}}$ kính như trên là $1.500.000$ đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu?

A. $23.591.000$ đồng.

B. $36.173.000$ đồng.

C. $9.437.000$ đồng.

D. $4.718.000$ đồng.

Bán kính đáy của trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tính theo công thức sin của tam giác: $r=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{4,45}{2\sin {{150}^{0}}}=4,45.$Vì vậy tam giác $OAB$ đều nên $\widehat{AOB}={{60}^{0}}$ do đó tấm kính là $\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}$ mặt xung quanh của hình trụ.

Số tiền cần dùng là $\dfrac{1}{6}\times 2\pi rh\times 1,5=\dfrac{1}{6}\times 2\pi .4,45.1,35\times 1,5\approx 9,436$ triệu đồng. Chọn đáp án C.

Một hộp phô mai dạng hình trụ có bán kính đáy bằng $6,1cm$ và chiều cao bằng $2,4cm.$ Biết rằng trong hộp có 8 miếng phô mai giống nhau được xếp sát nhau (tham khảo hình vẽ bên) và độ dày của giấy gói từng miếng không đáng kể. Diện tích toàn phần của một miếng phô mai gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. $78c{{m}^{2}}.$

B. $70c{{m}^{2}}.$

C. $72c{{m}^{2}}.$

D. $75c{{m}^{2}}.$

Diện tích hai mặt đáy và mặt cong của mỗi miếng phô mai bằng 1/8 diện tích toàn phần của hình trụ.

Hai mặt bên của miếng phô mai là các hình chữ nhật kích thước 2,4*6,1.

Vậy diện tích toàn phần của mỗi miếng phô mai bằng

$\dfrac{1}{8}\left( 2\pi r(r+h) \right)+2\times \left( 2,4\times 6,1 \right)=\dfrac{1}{4}\pi \times 6,1\times \left( 2,4+6,1 \right)+2\times \left( 2,4\times 6,1 \right)\approx 70c{{m}^{2}}.$

Chọn đáp án B.

Một bồn hình trụ chứa đầy dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài $5m$ , bán kính đáy $1m$, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của hình trụ. Người ta rút một phần dầu trong bồn tương ứng với $0.5m$ của đường kính đáy. Tính thể tích của phần dầu còn lại trong bồn gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Thể tích phần dầu còn lại sẽ bằng diện tích hình phẳng gạch sọc trong hình nhân với chiều dài của bồn (chiều cao của trụ).Dùng tích phân cho nhanh các em nhé! Đường tròn có tâm $O\left( 0;0 \right),R=1$ có phương trình là ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{1-{{x}^{2}}}.$ Diện tích hình gạch sọc chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{1-{{x}^{2}}};y=-\sqrt{1-{{x}^{2}}};x=-1;x=0,5.$

Do đó $V=S.h=5\int\limits_{-1}^{0,5}{\left| \sqrt{1-{{x}^{2}}}-\left( -\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right) \right|dx}\approx 12,637{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên $ABCDE$ với $ABCE$ là hình chữ nhật, cạnh cong $CDE$ là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB.$ Biết $AB=12\sqrt{3}\text{ cm},\text{ }BC=6\text{ cm}$ và $BQ=18\text{ cm}.$ Thể tích của hộp nữ trang bằng

Giải. Áp dụng thể tích vật thể chương Nguyên hàm tích phân: Thể tích hộp nữ trang $V={{S}_{ABCDE}}.BQ$

Ta có $MA=MB=\dfrac{AB}{2}=6\sqrt{3};AE=BC=6\Rightarrow \widehat{EMA}=\widehat{CMB}={{30}^{0}}\Rightarrow \widehat{CME}={{120}^{0}}$

và bán kính cung tròn $ME=MC=\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 6\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{6}^{2}}}=12.$

Vì vậy diện tích hình thang cong ${{S}_{ABCDE}}={{S}_{AME}}+{{S}_{BMC}}+S$quạt$CME=\dfrac{1}{2}.6\sqrt{3}.6+\dfrac{1}{2}.6\sqrt{3}.6+\dfrac{120}{360}\pi {{.12}^{2}}=36\sqrt{3}+48\pi $

Vậy $V={{S}_{ABCDE}}.BQ=\left( 36\sqrt{3}+48\pi \right).18=216\left( 3\sqrt{3}+4\pi \right)\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án A.

*Nếu không dùng kiến thức Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể thì ta tách thành các khối sau:

*Sau khi tính được $\widehat{CME}={{120}^{0}};MC=ME=12$

Thể tích hộp nữ trang = thể tích của lăng trụ đứng có tam giác đáy AME, cạnh bên AP=18 + thể tích của lăng trụ đứng có tam giác đáy BMC, cạnh bên BQ=18 + thể tích 1/3 trụ có bán kính đáy $r=12,$ chiều cao $h=18.$

Vậy $V=\dfrac{1}{2}.6\sqrt{3}.6.18+\dfrac{1}{2}.6\sqrt{3}.6.18+\dfrac{1}{3}.\pi {{.12}^{2}}.18=216\left( 3\sqrt{3}+4\pi \right)\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án A.

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết Đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 2 Trường THPT Chuyên Lam Sơn Tỉnh Thanh Hoá

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết Đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 sở giáo dục và đào tạo Tỉnh Phú Thọ

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết Đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên Đại Học Vinh

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi tỉnh Hải Dương

>>Xem thêm Đề thi và đáp án KSCL Toán 12 ôn thi THPTQG năm 2018 – 2019 trường chuyên Vĩnh Phúc lần 3

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2019 lần 1 sở GD&ĐT Ninh Bình

>>Xem thêm Đề thử sức trước kì thi THPT Quốc Gia năm 2019 báo Toán học tuổi trẻ kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết Đề thi thử Toán THPTQG 2019 lần 1 trường THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 của 8 trường chuyên THPT Đồng Bằng Sông Hồng

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán chính thức của BGD & ĐT kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Vinh năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2018 - 2019

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Lương Thế Vinh Hà Nội

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Kim Liên Hà Nội

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết Đề tập huấn thi THPT Quốc gia 2019 môn Toán sở GD&ĐT Bắc Ninh lần 1

>> Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 liên trường TP Vinh tỉnh Nghệ An

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5