Số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 11


Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

(a) Xác định số phần tử của S

(b) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 11 bằng

(c) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng các chữ số của nó bằng 23 là

(d) Trong S có bao nhiêu số chia hết cho 11?

(e) Tìm tất cả các số có 4 chữ số chia hết cho 11 và tổng các chữ số của các số cũng chia chia hết cho 11

>>Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Giải. (a) Số phần tử của S là $A_{9}^{4}=3024$

(b) Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là $N=\overline{abcd},\left( a,b,c,d\in A=\left\{ 1,2,...,9 \right\};a\ne b\ne c\ne d \right)$

Số chia hết cho 11 nên $\left( a+c \right)-\left( b+d \right)\vdots 11$

Vì tổng các chữ số của nó cũng là số chia hết cho 11 nên $\left( a+c \right)+\left( b+d \right)\vdots 11$

Từ đó suy ra $\left( a+c \right)\vdots 11;\left( b+d \right)\vdots 11$

Ta có các cặp số mà tổng là một số chia hết cho 11 là $\left( 2;9 \right),\left( 3;8 \right),\left( 4;7 \right),\left( 5;6 \right)$

+ Chọn cặp số $\left( a;c \right)$ có 4 cách và khi đó cặp số $\left( b;d \right)$ có 3 cách

+ Chọn xong lập được $2!.2!=4$ số

Nên có tất cả $4\times 3\times 4=48$ số tự nhiên thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{48}{3024}=\dfrac{1}{63}.$

>>Xem thêm Tổng hợp tổ hợp - xác suất về thành lập các số tự nhiên

Xem thêm các bài toán cùng dạng về số tự nhiên:

>>Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3

>>Xác suất để nhận được ít nhất một số chia hết cho 4

>>Xác suất để số chọn được là một số tự nhiên gồm 5 chữ số và là số chia hết cho 6

>>Số tự nhiên có 9 chữ số và chia hết cho 9

>>Số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho 15

>>Số tự nhiên gồm 8 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 và chia hết cho 1111

>>Số tự nhiên có bốn chữ số mà một chữ số của nó bằng tổng của ba chữ số còn lại

(c) Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là $N=\overline{abcd},\left( a,b,c,d\in A=\left\{ 1,2,...,9 \right\};a\ne b\ne c\ne d \right)$

Số chia hết cho 11 nên $\left( a+c \right)-\left( b+d \right)\vdots 11$

Vì tổng các chữ số của nó bằng 23 nên $\left( a+c \right)+\left( b+d \right)=23$

Suy ra $23-2\left( b+d \right)\vdots 11\Leftrightarrow 1-2\left( b+d \right)\vdots 11\Rightarrow 1-2\left( b+d \right)\in \left\{ 0,\pm 11,... \right\}$ và $1-2\left( b+d \right)$ là một số nguyên lẻ.

Ta có $3=1+2\le \left( b+d \right)\le 8+9=17\Rightarrow 1-2\left( b+d \right)\in \left[ -33;-5 \right]$

$ \Rightarrow 1 - 2\left( {b + d} \right) \in \left\{ { - 33, - 11} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} b + d = 17;a + c = 6 \hfill \\ b + d = 6;a + c = 17 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ta có các cặp số có tổng bằng 6 là $\left( 1;5 \right),\left( 2;4 \right)$ và các cặp số có tổng bằng 17 là $\left( 8;9 \right)$

Vậy có tất cả $C_{2}^{1}\times 2!\times 2!+2!\times C_{2}^{1}\times 2!=16$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{16}{3024}=\dfrac{1}{189}.$

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Bảng ghi nhớ điều kiện chia hết cho một số nguyên

Chia hết cho

Điều kiện chia hết

2

Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8).

3 hoặc 9

Số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9).

VD: 2025 chia hết cho 3 vì 2+0+2+5=9 chia hết cho 3

VD: 2880 chia hết cho 9 vì 2+8+8+0=18 chia hết cho 9.

4

Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 4.

VD: 00, 04, 08, 24, 32,…

5

Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

6

Số đó chia hết cho cả 2 và 3.

7

Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 7.

VD: 1369851 chia hết cho 7 vì 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69.

8

Ba chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 8.

VD: 008, 016, 640,…

10

Chữ số hàng đơn vị là 0.

11

Tổng đan dấu các chữ số của nó là một số chia hết cho 11 tức $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\vdots 11$ thì điều kiện là ${{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{3}}-...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}{{a}_{n}}\vdots 11.$

VD: 918082 chia hết cho 11 vì 9-1+8-0+8-2=22 chia hết cho 11.

12

Số đó chia hết cho cả 3 và 4.

13

Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 13.

VD: 2911272 chia hết cho 13 vì 272 − 911 + 2 = −637 chia hết cho 13.

14

Số đó chia hết cho cả 2 và 7.

15

18

21

22

24

26

28

30

Số đó chia hết cho cả 3 và 5.

Số đó chia hết cho cả 2 và  9.

Số đó chia hết cho cả 3 và 7.

Số đó chia hết cho cả 2 và 11.

Số đó chia hết cho cả 3 và 8.

Số đó chia hết cho cả 2 và 13.

Số đó chia hết cho cả 4 và 7.

Số đó chia hết cho cả 3 và 10.

16

Bốn chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 16.

VD: 157648 chia hết cho 16 vì 7648 = 478 × 16.

20 hoặc 25

Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 20 (hoặc 25).

 

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân

>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ

>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả