Số tự nhiên có bốn chữ số mà một chữ số của nó bằng tổng của ba chữ số còn lại


Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số được thành lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6

(a) Xác định số phần tử của S

(b) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số được chọn mà một chữ số của nó bằng tổng của ba chữ số còn lại bằng

(c) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, xác xuất để số được chọn mà tổng của hai chữ số đầu tiên bằng tổng của hai chữ số còn lại bằng

(d) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số được chọn mà hai chữ số của nó bằng tổng của hai chữ số còn lại bằng

(e) Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số được chọn mà các chữ số của nó được chia thành hai nhóm có tổng bằng nhau là

Giải. Gọi số cần tìm có dạng $N=\overline{abcd},\left( a,b,c,d\in A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \right)$

(a) Mỗi chữ số có 6 cách chọn nên có tất cả ${{6}^{4}}=1296$ số thuộc S

(b) Mỗi số thoả mãn yêu cầu đề bài tương ứng với mỗi bộ số $\left( a;b;c;d \right)$ sao cho $a=b+c+d\left( 1 \right)$ hoặc $b=a+c+d\left( 2 \right)$ hoặc $c=d+a+b\left( 3 \right)$ hoặc $d=a+b+c\left( 4 \right)$

Vì vai trò của $a,b,c,d$ như nhau nên số bộ $\left( a;b;c;d \right)$ thoả mãn $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ bằng nhau.

Xét (1) ta có $a=b+c+d\ge 1+1+1=3\Rightarrow a\in \left\{ 3,4,5,6 \right\}.$

Lại có $b+c+d=a$ nên theo bài toán chia kẹo Euler số bộ $\left( b;c;d \right)$ bằng $C_{a-1}^{2}.$

Như vậy số bộ $\left( a;b;c;d \right)$ thoả mãn (1) là $\sum\limits_{a=3}^{6}{C_{a-1}^{2}}=20.$

Vậy có tất cả $4\times 20=80$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{80}{1296}=\dfrac{5}{81}.$

>>Xem thêm Tổng hợp tổ hợp - xác suất về thành lập các số tự nhiên

Xem thêm các bài toán cùng dạng về số tự nhiên:

>>Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3

>>Xác suất để nhận được ít nhất một số chia hết cho 4

>>Xác suất để số chọn được là một số tự nhiên gồm 5 chữ số và là số chia hết cho 6

>>Số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 11

>>Số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho 15

>>Số tự nhiên gồm 8 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 và chia hết cho 1111

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

(c) Mỗi số thoả mãn yêu cầu đề bài tương ứng với mỗi bộ số $\left( a;b;c;d \right)$ sao cho $a+b=c+d=k$

Do $a,b,c,d\in A\Rightarrow k\in \left\{ 2,...,12 \right\}$

TH1: Nếu $k\in \left\{ 2,...,7 \right\}$ lúc này $a\in \left\{ 1,...,k-1 \right\}$ có $k-1$ cách chọn và $b=k-a$ có 1 cách chọn; tương tự $c$ có $k-1$ cách chọn và $d=k-c$ có 1 cách chọn.

Vậy trường hợp này có tất cả $\sum\limits_{k=2}^{7}{{{\left( k-1 \right)}^{2}}}=91$ bộ số.

TH2: Nếu $k\in \left\{ 8,...,12 \right\}$ lúc này $a=k-b\in \left[ k-6;6 \right]\Rightarrow a\in \left\{ k-6,...,6 \right\}$ có $13-k$ cách chọn và $b=k-a$ có 1 cách chọn; tương tự $c$ có $13-k$ cách chọn và $d=k-c$ có 1 cách chọn.

Vậy trường hợp này có tất cả $\sum\limits_{k=8}^{12}{{{\left( 13-k \right)}^{2}}}=55$ bộ số.

Vậy có tất cả $91+55=146$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{146}{1296}=\dfrac{73}{648}.$

 

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả