Định lí. Nếu số nguyên dương $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố:
\[n=p_{1}^{{{m}_{1}}}\cdot p_{2}^{{{m}_{2}}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{{{m}_{k}}}\]
thì số ước nguyên dương của $n$ là
$\left( {{m}_{1}}+1 \right)\cdot \left( {{m}_{2}}+1 \right)\cdot ...\cdot \left( {{m}_{k}}+1 \right).$
Chứng minh. Vì \[n=p_{1}^{{{m}_{1}}}\cdot p_{2}^{{{m}_{2}}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{{{m}_{k}}}.\] Nên ước nguyên dương của $n$ có dạng $p_{1}^{{{x}_{1}}}\cdot p_{2}^{{{x}_{2}}}\cdot ...\cdot p_{k}^{{{x}_{k}}}$ trong đó ${{x}_{1}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{1}} \right\}$ có ${{m}_{1}}+1$ cách chọn; ${{x}_{2}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{2}} \right\}$ có ${{m}_{2}}+1$ cách chọn; …; ${{x}_{k}}\in \left\{ 0,...,{{m}_{k}} \right\}$ có ${{m}_{k}}+1$ cách chọn.
Theo quy tắc nhân có $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\cdot \left( {{m}_{2}}+1 \right)\cdot ...\cdot \left( {{m}_{k}}+1 \right)$ cách chọn bộ số $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{k}} \right)$ tương ứng có tất cả $\left( {{m}_{1}}+1 \right)\cdot \left( {{m}_{2}}+1 \right)\cdot ...\cdot \left( {{m}_{k}}+1 \right)$ ước nguyên dương. Ta có điều phải chứng minh.
Để phân tích một số nguyên $n$ thành thừa số nguyên tố bằng MTCT (Casio 580) các em thực hiện nhập:
Ví dụ 1: $234=2\times {{3}^{2}}\times 13$ nên có tất cả $\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)=12$ ước nguyên dương.
Ví dụ 2: $10000={{2}^{4}}\times {{5}^{4}}$ nên có tất cả $\left( 4+1 \right)\left( 4+1 \right)=25$ ước nguyên dương.
Ví dụ 3: $10125={{3}^{4}}\times {{5}^{3}}$ nên có tất cả $\left( 4+1 \right)\left( 3+1 \right)=20$ ước nguyên dương.
Ví dụ 4: \[70560={{2}^{5}}\times {{3}^{2}}\times 5\times {{7}^{2}}\] nên có tất cả $\left( 5+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)\left( 2+1 \right)=108$ ước nguyên dương.
Ví dụ 5: $232425={{3}^{2}}\times {{5}^{2}}\times 1033$ nên có tất cả $\left( 2+1 \right)\left( 2+1 \right)\left( 1+1 \right)=18$ ước nguyên dương.
Ví dụ 6: \[9465779232={{2}^{5}}\times {{3}^{6}}\times {{7}^{4}}\times {{13}^{2}}\] nên có tất cả \[\left( 5+1 \right)\left( 6+1 \right)\left( 4+1 \right)\left( 2+1 \right)=630\] ước nguyên dương.
Ví dụ 7: Có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương của ${{2}^{96}}-1?$
Giải. Khó khăn của câu hỏi này, đó là các em không sử dụng ngay được MTCT để phân tích ra thừa số nguyên tố của ${{2}^{96}}-1.$ Vì đó là một số tự nhiên lớn MTCT không hỗ trợ biểu diễn dưới dạng thập phân.
Do vậy ta cần linh hoạt sử dụng các hằng đẳng thức ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\left( x-y \right)\left( x+y \right)$ và ${{x}^{3}}+1=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$ để làm nhỏ số đã cho như sau:
Ta có \[{{2}^{96}}-1=\left( {{2}^{48}}-1 \right)\left( {{2}^{48}}+1 \right)=\left( {{2}^{24}}-1 \right)\left( {{2}^{24}}+1 \right)\left( {{2}^{48}}+1 \right)\]
\[=\left( {{2}^{12}}-1 \right)\left( {{2}^{12}}+1 \right)\left( {{2}^{24}}+1 \right)\left( {{2}^{48}}+1 \right)\]
\[=\left( {{2}^{6}}-1 \right)\left( {{2}^{6}}+1 \right)\left( {{2}^{12}}+1 \right)\left( {{2}^{24}}+1 \right)\left( {{2}^{48}}+1 \right)\]
\[=\left( {{2}^{3}}-1 \right)\left( {{2}^{3}}+1 \right)\left( {{2}^{6}}+1 \right)\left( {{2}^{12}}+1 \right)\left( {{2}^{24}}+1 \right)\left( {{2}^{48}}+1 \right)\]
\[=7\cdot 9\cdot 65\cdot 4097\cdot 16777217\cdot \left( {{2}^{48}}+1 \right)\] đến đây các em sử dụng MTCT dần nhé
\[=7\cdot 9\cdot 65\cdot 4097\cdot 16777217\cdot \left( {{2}^{16}}+1 \right)\left( {{2}^{32}}-{{2}^{16}}+1 \right)\]
\[=7\cdot 9\cdot 65\cdot 4097\cdot 16777217\cdot 65537\cdot 4294901761\]
\[=7\cdot {{3}^{2}}\cdot 5\cdot 13\cdot 17\cdot 241\cdot 97\cdot 257\cdot 673\cdot 65537\cdot 193\cdot 22253377\]
\[={{3}^{2}}\cdot 5\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 97\cdot 193\cdot 241\cdot 257\cdot 673\cdot 65537\cdot 22253377.\]
Vậy số ước số nguyên dương của ${{2}^{96}}-1$ là $\left( 2+1 \right){{\left( 1+1 \right)}^{11}}=6\text{ }144.$
Câu hỏi dành cho các em tự luyện:
Câu 1. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của ${{2}^{96}}-1,$ nếu một số được chọn ngẫu nhiên từ $S$ thì xác suất số đó là số tự nhiên có hai chữ số là $\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$
Câu 2. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các ước số nguyên dương của $2025!.$
a) tập $S$ có $2017$ phần tử là số chẵn.
b) tập $S$ có $1010$ phần tử là số chia hết cho $3.$
c) số chữ số của $2025!$ trong hệ thập phân là $5819.$
d) số chữ số $0$ liên tiếp cuối cùng của $2025!$ trong hệ thập phân là $505.$
https://askmath.vn/cau-hoi/goi-la-tap-hop-tat-ca-cac-uoc-so-nguyen-duong-cua-neu-mot-so-duoc/53767
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: