Tập hợp các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số


Tập hợp các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm $M\left( a;b \right)$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số $\left( C \right):y=f\left( x \right).$

Phương pháp: Xét đường thẳng qua qua $M(a;b)$ với hệ số góc $k$ là $y=k(x-a)+b.$

Xét hệ điều kiện tiếp xúc $\left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) = k\left( {x - a} \right) + b \hfill \\ f'\left( x \right) = k \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=k\left( x-a \right)+b$ có nghiệm kép để đưa về một phương trình $g\left( k \right)=0\left( * \right).$

Vì hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên điều kiện là (*) có hai nghiệm ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1.$

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Bạn đọc cùng theo dõi ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\dfrac{{{(x-1)}^{2}}}{x-2},$ có đồ thị $(C).$ Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến $(C)$ là một đường tròn có phương trình là

A. ${{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4.$

C. ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4.$

B. ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=1.$

D. ${{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$

Giải. Đường thẳng qua $M(a;b)$ với hệ số góc $k$ là $y=k(x-a)+b.$

Ta có điều kiện tiếp xúc $\dfrac{{{(x-1)}^{2}}}{x-2}=k(x-a)+b\Leftrightarrow (k-1){{x}^{2}}+(b+2-k(a+2))x+2ak-2b-1=0$ có nghiệm kép, tức $\Delta =0\Leftrightarrow {{(b+2-k(a+2))}^{2}}-4(k-1)(2ak-2b-1)=0$

$\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}{{k}^{2}}+(4a+4b-2ab-4)k+{{b}^{2}}-4b=0.$

Vì hai tiếp tuyến kẻ từ $M$ vuông góc nên phương trình cuối phải có hai nghiệm phân biệt ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1,$ theo vi – ét ta có ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}-4b}{{{(a-2)}^{2}}}=-1\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}=4.$

Vậy $M$ thuộc đường tròn ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4.$ Chọn đáp án C.

Tự luyện: 

Câu hỏi 1: Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A(a;2).$ Có bao nhiêu giá trị của $a$ để có hai tiếp tuyến của $(C)$ qua $A$ và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

A. $2.$

B. $1.$

C. $4.$

D. $0.$

Câu hỏi 2: Cho hàm số $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ có đồ thị $(C).$ Tập hợp tất cả các điểm $M(a;b)$ sao cho có đúng hai tiếp tuyến của $(C)$ qua $M$ và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng

A. $1.$

B. $\sqrt{2}.$

C. $2.$

D. $4.$

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả