Tập hợp các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số

Bài toán: Tìm tập hợp các điểm $M\left( a;b \right)$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số $\left( C \right):y=f\left( x \right).$

Phương pháp: Xét đường thẳng qua qua $M(a;b)$ với hệ số góc $k$ là $y=k(x-a)+b.$

Xét hệ điều kiện tiếp xúc $\left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) = k\left( {x - a} \right) + b \hfill \\ f'\left( x \right) = k \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=k\left( x-a \right)+b$ có nghiệm kép để đưa về một phương trình $g\left( k \right)=0\left( * \right).$

Vì hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên điều kiện là (*) có hai nghiệm ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1.$

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Bạn đọc cùng theo dõi ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=\dfrac{{{(x-1)}^{2}}}{x-2},$ có đồ thị $(C).$ Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến $(C)$ là một đường tròn có phương trình là

Giải. Đường thẳng qua $M(a;b)$ với hệ số góc $k$ là $y=k(x-a)+b.$

Ta có điều kiện tiếp xúc $\dfrac{{{(x-1)}^{2}}}{x-2}=k(x-a)+b\Leftrightarrow (k-1){{x}^{2}}+(b+2-k(a+2))x+2ak-2b-1=0$ có nghiệm kép, tức $\Delta =0\Leftrightarrow {{(b+2-k(a+2))}^{2}}-4(k-1)(2ak-2b-1)=0$

$\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}{{k}^{2}}+(4a+4b-2ab-4)k+{{b}^{2}}-4b=0.$

Vì hai tiếp tuyến kẻ từ $M$ vuông góc nên phương trình cuối phải có hai nghiệm phân biệt ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1,$ theo vi – ét ta có ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}-4b}{{{(a-2)}^{2}}}=-1\Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}=4.$

Vậy $M$ thuộc đường tròn ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4.$ Chọn đáp án C.

Tự luyện: 

Câu hỏi 1: Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A(a;2).$ Có bao nhiêu giá trị của $a$ để có hai tiếp tuyến của $(C)$ qua $A$ và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Câu hỏi 2: Cho hàm số $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ có đồ thị $(C).$ Tập hợp tất cả các điểm $M(a;b)$ sao cho có đúng hai tiếp tuyến của $(C)$ qua $M$ và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết