Ứng dụng tích phân tính Thể tích vật thể - Thể tích của tòa nhà có mặt cắt ngang là hình vuông và mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà

Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao $30$ mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0=26 \mathrm{~m},$ mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{30}=20 \mathrm{~m}.$ Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_{\text {min }}=13,75 \mathrm{~m}.$ Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (đơn vị tính: mét khối).

Lời giải. Chọn trục $Ox$ hướng lên trùng với trục thẳng đứng của tòa nhà, gốc $O$ nằm trên mặt đáy, đơn vị trên trục là mét.

Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy là hình thang cong $ABCD$ với cung cong $AD,\text{ }BC$ là một phần của hai parabol đối xứng nhau qua $Ox.$

Mặt đáy là hình vuông có cạnh ${{L}_{0}}=26~\text{m}\Rightarrow AB=26\sqrt{2}\text{ m}\text{.}$

Mặt đỉnh là hình vuông có cạnh ${{L}_{30}}=20~\text{m}\Rightarrow CD=20\sqrt{2}\text{ m}\text{.}$

Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình vuông có cạnh ${{L}_{\text{min }}}=13,75~\text{m}\Rightarrow EF=13,75\sqrt{2}\text{ m}\text{.}$

Tọa độ các điểm $A\left( 0;13\sqrt{2} \right),B\left( 0;-13\sqrt{2} \right),C\left( 30;-10\sqrt{2} \right),D\left( 30;10\sqrt{2} \right).$

Ta có $AD:y=\dfrac{10\sqrt{2}-13\sqrt{2}}{30-0}\left( x-0 \right)+13\sqrt{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{10}x+13\sqrt{2}.$

Parabol $\left( P \right):y=f\left( x \right)$ qua hai điểm $A,\text{ }D$ là ($\left( P \right)$ cắt $AD$ tại hai điểm có hoành độ $x=0,x=30$)

$f\left( x \right)-\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{10}x+13\sqrt{2} \right)=kx\left( x-30 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=kx\left( x-30 \right)-\dfrac{\sqrt{2}}{10}x+13\sqrt{2}\text{ }\left( k>0 \right).$

Ta có ${f}'\left( x \right)=k\left( 2x-30 \right)-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{x}_{0}}=\dfrac{\sqrt{2}}{20k}+15\Rightarrow {{x}_{0}}<30\Leftrightarrow k>\dfrac{\sqrt{2}}{300}.$

Suy ra $\underset{\left[ 0;30 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)=k\left( \dfrac{\sqrt{2}}{20k}+15 \right)\left( \dfrac{\sqrt{2}}{20k}-15 \right)-\dfrac{\sqrt{2}}{10}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{20k}+15 \right)+13\sqrt{2}=\dfrac{13.75\sqrt{2}}{2}.$

Các em SHIFT SOLVE với $k>\dfrac{\sqrt{2}}{300}$ ta có nghiệm $k=\dfrac{\sqrt{2}}{50}\approx 0,028284\text{ }\left( \text{STO A} \right).$

Tòa nhà nằm giữa hai mặt phẳng $x=0,\text{ }x=30$ và thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( 0\le x\le 30 \right)$ là hình vuông có độ dài đường chéo $d=MN=2f\left( x \right)\text{ m}$ có diện tích là $S\left( x \right)={{\left( \dfrac{d}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=2{{f}^{2}}\left( x \right)\text{ }{{\text{m}}^{2}}.$

Thể tích tòa nhà là \[V=\int\limits_{0}^{30}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{30}{2{{\left[ \left( \dfrac{\sqrt{2}}{50}x\left( x-30 \right)-\dfrac{\sqrt{2}}{10}x+13\sqrt{2} \right) \right]}^{2}}dx}=8976\text{ }{{\text{m}}^{3}}.\]

Câu hỏi tương tự dành cho các em tự luyện:

Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao $30$ mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0=26 \mathrm{~m},$ mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{30}=20 \mathrm{~m}.$ Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai cung tròn có cùng đường kính $9\sqrt{34}\text{ m}$ đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

>>Lời giải

Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao $30$ mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình chữ nhật (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà kích thước $30\text{ m}\times 20\text{ m,}$ mặt đỉnh kích thước $24\text{ m}\times 16\text{ m}\text{.}$ Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà kích thước $18\text{ m}\times 12\text{ m}\text{.}$ Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (đơn vị tính: mét khối).

>>Lời giải

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.