Tìm hạng của ma trận cho trước bằng phép biến đổi Gauss và sử dụng định thức bao quanh (định thức con chính cấp k của ma trận)

Câu 1: Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: 

$\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 2&{ - 1}&3&1&3 \\ 3&2&0&{ - 1}&2 \\ 2&3&{ - 4}&0&{ - 2} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} - 2{d_1} + {d_2} \\ - 3{d_1} + {d_3} \\ - 2{d_1} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&2&3&{ - 7}&5 \\ 0&3&{ - 2}&{ - 4}&0 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} 2{d_2} + {d_3} \\ 3{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{ - 1}&2&{ - 1} \\ 0&{ - 1}&5&{ - 3}&5 \\ 0&0&{13}&{ - 13}&{15} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

Vậy $r(A)=3.$ 

Câu 2: Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình ${{t}^{3}}-2019t+4=0,$ tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right).$

Theo vi – ét có $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và \[\det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z}&{x + y + z}&{x + y + z} \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right|({d_1} + {d_2} + {d_3}) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \\ y&z&x \\ z&x&y \end{array}} \right| = 0.\]

Do đó $r(A)\le 2.$ Mặt khác $D_{12}^{12}=xz-{{y}^{2}}\Rightarrow yD_{12}^{12}=xyz-{{y}^{3}}=-4-{{y}^{3}}=-2019y\Rightarrow D_{12}^{12}=-2019\ne 0.$

Vậy $r(A)\ge 2\Rightarrow r(A)=2.$

Câu 3: Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ { - 2}&4&2 \\ 2&5&7 \end{array}} \right).$

Ta có:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ { - 2}&4&2 \\ 2&5&7 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {d_1} + {d_3} \\ - {d_1} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&3&5 \\ 0&6&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} - {d_2} + {d_3} \\ - 2{d_2} + {d_4} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&0&6 \\ 0&0&6 \end{array}} \right)\xrightarrow{{}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}&3 \\ 0&3&{ - 1} \\ 0&0&6 \end{array}} \right).\]

Vậy $r(A)=3.$

Câu 4: Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right)$ bằng phương pháp định thức bao quanh.

Giải. Có $D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2 \\ { - 1}&3 \end{array}} \right| = 5 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3 \\ { - 1}&3&0 \\ 2&4&1 \end{array}} \right| = - 25 \ne 0;$

Kiểm tra các định thức cấp 4 bao quanh định thức $D_{123}^{123}$ có

$D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 1&7&6&9 \end{array}} \right| = 0;D_{1235}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4 \\ { - 1}&3&0&1 \\ 2&4&1&8 \\ 0&{10}&1&{10} \end{array}} \right| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$    

Câu 5: Tìm hạng của ma trận \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&6&{12}&{ - 2} \\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right)\] bằng phương pháp định thức bao quanh.

Giải. Có \[D_{12}^{12} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ 0&2 \end{array}} \right| = 2 \ne 0;D_{123}^{123} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2 \\ 0&2&1 \\ 0&0&3 \end{array}} \right| = 6 \ne 0;D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3 \\ 0&2&1&2 \\ 0&0&3&3 \\ 0&0&0&4 \end{array}} \right| = 24 \ne 0.\]

Ta xét các định thức cấp 5 bao quanh định thức cấp 4 trên

\[D_{12345}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&6&{12}&{ - 2} \end{array}} \right| = 0;D_{12346}^{12345} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&3&{ - 1} \\ 0&2&1&2&2 \\ 0&0&3&3&{ - 3} \\ 0&0&0&4&0 \\ 1&3&3&5&1 \end{array}} \right| = 0.\] Vậy $r(A)=4.$ 

Câu 6:Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right).$

Ta có

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 3&4&5&{...}&{n + 2} \\ 4&5&6&{...}&{n + 3} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {n + 1}&{n + 2}&{n + 3}&{...}&{2n} \end{array}} \right)\xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 1,2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 1&1&1&{...}&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&1&1&{...}&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{ - {d_i} + {d_{i + 1}}(i = 2,...,n - 1)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&4&{...}&{n + 1} \\ 1&1&1&{...}&1 \\ 0&0&0&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&0 \end{array}} \right) \Rightarrow r(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \]

Câu 7: Tìm hạng của ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3&0 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1}&4 \\ 3&1&3&1&5 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1&{ - 10} \end{array}} \right).$

Có $D_{1234}^{1234} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3 \\ 2&{ - 1}&1&{ - 1} \\ 3&1&3&1 \\ { - 1}&3&{ - 2}&1 \end{array}} \right| = 45 \ne 0 \Rightarrow r(A) = 4.$

Câu 8: Tìm hạng của ma trận sau $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right).$

Có biến đổi ma trận:

\[\begin{gathered} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{...}&{n - 1}&n \\ {n + 1}&{n + 2}&{...}&{n + n - 1}&{2n} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&{{n^2} - 2n + 2}&{...}&{{n^2} - 2n + n - 1}&{{n^2} - n} \\ {{n^2} - n + 1}&{{n^2} - n + 2}&{...}&{{n^2} - n + n - 1}&{{n^2}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{i + 1}}}}{\mathbf{,i = 1,2,...,n - 1}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&1&1 \\ {n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&1&1 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&1&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{,i = 3,...,n}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&0&0 \\ {n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{n^2} - 2n + 1}&1&{...}&0&0 \\ {{n^2} - n + 1}&1&{...}&0&0 \end{array}} \right) \Rightarrow rank(A) = 2. \hfill \\ \end{gathered} \]

BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN CHO TRƯỚC

Tìm hạng của các ma trận sau:

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...