Bài viết này, chúng tôi trình bày cho bạn đọc hướng Tìm hiểu hướng tư duy đơn giản bằng tam thức bậc hai cho bài bất đẳng thức đề thi học sinh Toán lớp 11 tỉnh nghệ an năm 2017.

Cho các số thực $a,b,c$ thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[P=3\sqrt[3]{\frac{{{c}^{2}}-3{{a}^{2}}}{6}}-2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca}{3}}.\]

Giải. Ta cần đánh giá max vì vậy so sánh

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca\ge k({{c}^{2}}-3{{a}^{2}})\left( k>0 \right).\]

Biến đổi tam thức bậc hai, ta có

\[\begin{align} & {{b}^{2}}-b(a+c)+{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-ac-k{{c}^{2}}+3k{{a}^{2}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\Delta }_{b}}\le 0\Leftrightarrow {{(a+c)}^{2}}-4\left[ {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-ac-k{{c}^{2}}+3k{{a}^{2}} \right]\le 0 \\ & \Leftrightarrow (12k+3){{a}^{2}}-6ac+(3-4k){{c}^{2}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\Delta }_{a}}=9{{c}^{2}}-(12k+3)(3-4k){{c}^{2}}\le 0\Leftrightarrow \\ & \Rightarrow 9-(12k+3)(3-4k)\le 0\Leftrightarrow 0\le k\le \frac{1}{2}. \\ \end{align}\]

Vậy, ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca\ge \frac{{{c}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2}.$

Vì vậy \[P\le 3\sqrt[3]{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca}{3}}-2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca}{3}}.\]

Đặt

\[t=\sqrt[3]{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca}{3}}\left( t\ge 0 \right),\]

ta có \[P\le 3t-2\sqrt{{{t}^{3}}}=\left[ 3t-\left( \sqrt{{{t}^{3}}}+\sqrt{{{t}^{3}}}+1 \right) \right]+1\le \left[ 3t-3\sqrt[3]{\sqrt{{{t}^{3}}}.\sqrt{{{t}^{3}}}.1} \right]+1=1.\]

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1.

Để xem đầy đủ đề thi kèm lời giải chi tiết các bạn xem tại link: http://vted.vn/de-thi/xem/de-thi-hoc-sinh-gioi-toan-lop-11-tinh-nghe-an-nam-hoc-2016-2017-dt740420172.html