Phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng

Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P),$ với $d$ cắt $(P).$ Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot (P),$ do đó $\Delta =(P)\cap (Q)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right],$ tìm một điểm thuộc $\Delta $ là $A=d\cap (P).$

>>Xem thêm Phương trình đường phân giác của góc nhọn và tù của tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}.$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $x+3=0?$

A. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5-t \\ & z=-3+4t \\ \end{align} \right..$

B. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right..$

C. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+2t \\ & z=3-t \\ \end{align} \right..$

D. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-6-t \\ & z=7+4t \\ \end{align} \right..$

Giải. Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot (P),$ do đó $\Delta =(P)\cap (Q)$ và

$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=(0;1;-4)$ và dễ có $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$

Vậy $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$ đối chiếu đáp án nhận D.

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0.$ Hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng có phương trình là

A. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}.$

B. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}.$

C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$

D. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$

Dễ có $d\cap \left( P \right)=A\left( 0;1;2 \right).$

Giải. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;1;-1 \right) \\ \hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;2;1 \right) \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right].$Khi đó $\left( P \right)\cap \left( Q \right)=\Delta =\mathbf{h/c}\left( \mathbf{d,}\left( \mathbf{P} \right) \right)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=\left( 4;2;-8 \right)//\left( 2;1;-4 \right).$

Do đó $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Biết rằng $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $\left( P \right).$ Phương trình của $\left( P \right)$ là

Giải. Ta có $A\left( 0;1;2 \right)\in \Delta \Rightarrow A\in \left( P \right)$

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và $\Delta $ thì $\left( Q \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]//\left( 1;2;1 \right)$

Do đó $\left( P \right):x+2y+z-4=0.$ Chọn đáp án C.

>Cách xác định nhanh toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác trong không gian Oxyz

Ví dụ 4: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2m+1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+1}{m-2},m\notin \left\{ -\frac{1}{2},2 \right\}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-6=0.$ Gọi $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(P).$ Có bao nhiêu số thực $m$ để $\Delta $ vuông góc với véctơ $\overrightarrow{a}(-1;0;1).$

Giải. Gọi $\left\{ \begin{gathered} (Q) \supset d \hfill \\ (Q) \bot (P) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (4 - m; - m - 3;2m - 1).$

Khi đó $\Delta =(P)\cap (Q)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(-3m-2;3m-5;7).$

Vì $\Delta \bot \overrightarrow{a}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{a}=0\Leftrightarrow -1(-3m-2)+7=0\Leftrightarrow m=-3.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0$ và $\left( R \right):x+2y+3z-8=0.$ Đường thẳng $d$ nằm trong $\left( R \right),$ hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Phương trình của $d$ là

Giải. Gọi $\left( Q \right)=mp\left( d,\Delta \right)\Rightarrow \left( Q \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -9;6;-3 \right)||\left( 3;-2;1 \right)$$\Rightarrow \left( Q \right):3x-2y+z=0$

Khi đó $d=\left( Q \right)\cap \left( R \right)\Rightarrow d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( 2;0;1 \right),B\left( 1;1;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x+y-2z+2=0.$ Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong $\left( P \right)$ cắt $AB$ sao cho góc giữa $AB$ với $d$ và $\left( P \right)$ bằng nhau. Khoảng cách từ $A$ đến $d$ bằng

Giải. Vì $d$ là đường thẳng nằm trong $\left( P \right)$ cắt $AB$ sao cho góc giữa $AB$ với $d$ và $\left( P \right)$ bằng nhau nên $d$ chính là hình chiếu vuông góc của $AB$ lên $\left( P \right)\Rightarrow AH\bot d\Rightarrow AH\bot \left( P \right)\Rightarrow d\left( A,d \right)=AH=d\left( A,\left( P \right) \right)=\dfrac{4}{3}.$ Chọn đáp án A.

Bài tập tự luyện:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+y-3z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z+2}{1}.$ Gọi ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(P).$ Tìm một véctơ chỉ phương của ${d}'.$

Phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$. Đường thẳng $d'$ đối xứng với $d$ qua mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là

A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+1}{7}.$

B.  $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{7}.$

C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{7}.$

D.  $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z+1}{7}.$

Giải. Ta có $d\cap (P)=I(1;1;1).$ Gọi $B$ là điểm đối xứng của $A(0;-1;2)\in d$ qua mặt phẳng $(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1} \hfill \\ 1\left( {\dfrac{{x + 0}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{y - 1}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{z + 2}}{2}} \right) - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right).$

Đường thẳng cần tìm qua hai điểm $I,B$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{IB}\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)//(1;-2;7).$ Đối chiếu các đáp án chọn C.

Phương trình hình chiếu song song của đường thẳng lên mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{1}.$ Hình chiếu song song của $d$ lên mặt phẳng $(Ozx)$ theo phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ là

Giải. Ta có $B\left( 2;0;\dfrac{7}{2} \right)=d\cap (Ozx):y=0.$ Gọi $A(1;-2;3)\in d$ và $M(x;y;z)$ là hình chiếu song song của $A$ lên mặt phẳng  $(Ozx)$ theo phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ ta có điều kiện:

$\left\{ \begin{gathered} M \in (Ozx) \hfill \\ \overrightarrow {AM} = k( - 1; - 1;1) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 0 \hfill \\ x - 1 = - k \hfill \\ y + 2 = - k \hfill \\ z - 3 = k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ k = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M(3;0;1).$

Đường thẳng cần tìm qua hai điểm $B,M$ có $\overrightarrow{BM}\left( 1;0;-\dfrac{5}{2} \right)//(2;0;-5).$ Đối chiếu các đáp án chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{3}$và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0.$ Đường thẳng là hình chiếu của $d$ theo phương $Ox$ lên mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Giải. Chọn $A\left( 1;2;-1 \right)\in d$ và $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)=d\cap \left( P \right).$

Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu của $A$ lên \[\left( P \right)\] theo phương $Ox.$ Khi đó $\overrightarrow{AM}\left( a-1;b-2;c+1 \right).$

Do $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $Ox$ nên $\overrightarrow {AM} = k(1;0;0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b - 2 = 0 \hfill \\ c + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b = 2,c = - 1.$

Do $M\in \left( P \right)$ nên $a+b+c=3\Leftrightarrow a=2.$ Khi đó ${d}'$ qua $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)$ và $M\left( 2;2;-1 \right).$

Có $\overrightarrow{BM}\left( \dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{6};-\dfrac{1}{2} \right)//(4;-1;-3).$ Vậy ${d}':\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}.$ Chọn đáp án B.

Hướng dẫn sử dụng MTCT Casio Fx 580 trong Oxyz

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết