Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng trong hệ toạ độ Oxyz


Phương trình hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng

Phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P),$ với $d$ cắt $(P).$ Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot (P),$ do đó $\Delta =(P)\cap (Q)$ và $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right],$ tìm một điểm thuộc $\Delta $ là $A=d\cap (P).$

>>Xem thêm Phương trình đường phân giác của góc nhọn và tù của tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+5}{-1}=\dfrac{z-3}{4}.$ Phương trình nào dưới đây là phương trình của hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $x+3=0?$

A. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5-t \\ & z=-3+4t \\ \end{align} \right..$

B. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+t \\ & z=3+4t \\ \end{align} \right..$

C. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-5+2t \\ & z=3-t \\ \end{align} \right..$

D. $\left\{ \begin{align} & x=-3 \\ & y=-6-t \\ & z=7+4t \\ \end{align} \right..$

Giải. Gọi $Q$ là mặt phẳng chứa $d$ và $Q\bot (P),$ do đó $\Delta =(P)\cap (Q)$ và

$\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=(0;1;-4)$ và dễ có $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$

Vậy $d\cap (P)=A(-3;-3;-5)\in \Delta ,$ đối chiếu đáp án nhận D.

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0.$ Hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng có phương trình là

A. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z+2}{-4}.$

B. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+2}{1}.$

C. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$

D. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$

Dễ có $d\cap \left( P \right)=A\left( 0;1;2 \right).$

Giải. Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}\hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;1;-1 \right) \\ \hfill \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;2;1 \right) \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right].$Khi đó $\left( P \right)\cap \left( Q \right)=\Delta =\mathbf{h/c}\left( \mathbf{d,}\left( \mathbf{P} \right) \right)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right] \right]=\left( 4;2;-8 \right)//\left( 2;1;-4 \right).$

Do đó $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$ và $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Biết rằng $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $\left( P \right).$ Phương trình của $\left( P \right)$ là

A. $3x-2y+z=0.$

B. $x+2y+z+4=0.$

C. $x+2y+z-4=0.$

D. $x+6y+2z-10=0.$

Giải. Ta có $A\left( 0;1;2 \right)\in \Delta \Rightarrow A\in \left( P \right)$

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và $\Delta $ thì $\left( Q \right)$ vuông góc với $\left( P \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]//\left( 1;2;1 \right)$

Do đó $\left( P \right):x+2y+z-4=0.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2m+1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z+1}{m-2},m\notin \left\{ -\frac{1}{2},2 \right\}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-6=0.$ Gọi $\Delta $ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(P).$ Có bao nhiêu số thực $m$ để $\Delta $ vuông góc với véctơ $\overrightarrow{a}(-1;0;1).$

Giải. Gọi $\left\{ \begin{gathered} (Q) \supset d \hfill \\ (Q) \bot (P) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (4 - m; - m - 3;2m - 1).$

Khi đó $\Delta =(P)\cap (Q)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=(-3m-2;3m-5;7).$

Vì $\Delta \bot \overrightarrow{a}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}.\overrightarrow{a}=0\Leftrightarrow -1(-3m-2)+7=0\Leftrightarrow m=-3.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0$ và $\left( R \right):x+2y+3z-8=0.$ Đường thẳng $d$ nằm trong $\left( R \right),$ hình chiếu vuông góc của $d$ trên $\left( P \right)$ là đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-4}.$ Phương trình của $d$ là

A. $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z-2}{1}.$

B. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{5}=\dfrac{z-2}{-4}.$

C. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}.$

D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-2}{1}.$

Giải. Gọi $\left( Q \right)=mp\left( d,\Delta \right)\Rightarrow \left( Q \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -9;6;-3 \right)||\left( 3;-2;1 \right)$$\Rightarrow \left( Q \right):3x-2y+z=0$

Khi đó $d=\left( Q \right)\cap \left( R \right)\Rightarrow d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-2}{-1}.$ Chọn đáp án C.

Bài tập tự luyện:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+y-3z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z+2}{1}.$ Gọi ${d}'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $(P).$ Tìm một véctơ chỉ phương của ${d}'.$

A. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(26;-29;-1).$

B. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(13;-10;-1).$

C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=(1;2;-1).$

D. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}=(6;9;5).$ .

Phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$. Đường thẳng $d'$ đối xứng với $d$ qua mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình là

A. $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z+1}{7}.$

B.  $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{7}.$

C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{7}.$

D.  $\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z+1}{7}.$

Giải. Ta có $d\cap (P)=I(1;1;1).$ Gọi $B$ là điểm đối xứng của $A(0;-1;2)\in d$ qua mặt phẳng $(P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1} \hfill \\ 1\left( {\dfrac{{x + 0}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{y - 1}}{2}} \right) + 1\left( {\dfrac{{z + 2}}{2}} \right) - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right).$

Đường thẳng cần tìm qua hai điểm $I,B$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{IB}\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)//(1;-2;7).$ Đối chiếu các đáp án chọn C.

Phương trình hình chiếu song song của đường thẳng lên mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{4}=\dfrac{z-3}{1}.$ Hình chiếu song song của $d$ lên mặt phẳng $(Ozx)$ theo phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ là

Giải. Ta có $B\left( 2;0;\dfrac{7}{2} \right)=d\cap (Ozx):y=0.$ Gọi $A(1;-2;3)\in d$ và $M(x;y;z)$ là hình chiếu song song của $A$ lên mặt phẳng  $(Ozx)$ theo phương của véctơ $\overrightarrow{u}(-1;-1;1)$ ta có điều kiện:

$\left\{ \begin{gathered} M \in (Ozx) \hfill \\ \overrightarrow {AM} = k( - 1; - 1;1) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 0 \hfill \\ x - 1 = - k \hfill \\ y + 2 = - k \hfill \\ z - 3 = k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ k = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M(3;0;1).$

Đường thẳng cần tìm qua hai điểm $B,M$ có $\overrightarrow{BM}\left( 1;0;-\dfrac{5}{2} \right)//(2;0;-5).$ Đối chiếu các đáp án chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+1}{3}$và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0.$ Đường thẳng là hình chiếu của $d$ theo phương $Ox$ lên mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Giải. Chọn $A\left( 1;2;-1 \right)\in d$ và $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)=d\cap \left( P \right).$

Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là hình chiếu của $A$ lên \[\left( P \right)\] theo phương $Ox.$ Khi đó $\overrightarrow{AM}\left( a-1;b-2;c+1 \right).$

Do $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $Ox$ nên $\overrightarrow {AM} = k(1;0;0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b - 2 = 0 \hfill \\ c + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b = 2,c = - 1.$

Do $M\in \left( P \right)$ nên $a+b+c=3\Leftrightarrow a=2.$ Khi đó ${d}'$ qua $B\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{13}{6};-\dfrac{1}{2} \right)$ và $M\left( 2;2;-1 \right).$

Có $\overrightarrow{BM}\left( \dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{6};-\dfrac{1}{2} \right)//(4;-1;-3).$ Vậy ${d}':\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+1}{-3}.$ Chọn đáp án B.

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả