Tìm số mặt cầu tiếp xúc với ba đường thẳng chứa cạnh của tam giác


Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(6;0;0),B(0;6;0),C(0;0;6)$ và hai mặt cầu $({{S}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0$ và $({{S}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C).$ Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $AB,BC,CA.$

A. $4.$

B. vô số.

C. $1.$

D. $3.$

>>Lời giải: Trừ theo vế hai phương trình của mặt cầu ta có phương trình mặt cầu chứa đường tròn $(C).$

$(P):6x-4y-2z=0\Leftrightarrow (P):3x-2y-z=0.$ Giả sử tâm mặt cầu là điểm $I$ có $M$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(ABC).$ Gọi $H,K,T$ lần lượt là hình chiếu của $I$ lên các đường thẳng $AB,BC,CA.$

Ta có $MH\bot BC,MK\bot CA,MT\bot AB$ và theo giả thiết tiếp xúc với các đường thẳng có $IH=IK=IT\Rightarrow \Delta IMH=\Delta IMK=\Delta IMT(c-g-c)\Rightarrow MH=MK=MT.$

Do đó $M$ là tâm nội tiếp hoặc tâm bàng tiếp tam giác $\Delta ABC$ có 4 điểm $M$ như vậy.

Khi đó $I=(P)\cap IM$ trong đó $IM$ là đường thẳng qua $M$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC).$ Chọn đáp án B. 

Để ý vì $(ABC):x+y+z-6=0$ nên $(P)$ vuông góc với $(ABC)$ và đi qua điểm $G(2;2;2)$ là tâm nội tiếp tam giác đều $ABC$ nên $I$ nằm trên đường thẳng qua $G$ vuông góc với $(ABC)$ và nằm trong mặt phẳng $(P)$. Do đó có vô số điểm I thoả mãn. 

*Chú ý: Nếu (P)//(ABC) hoặc không vuông góc với (ABC) thì có bốn mặt cầu thoả mãn. 

Bài tập tương tự dành cho bạn đọc tự luyện:

Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(6;0;0),B(0;6;0),C(0;0;6)$ và hai mặt cầu $({{S}_{1}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+1=0$ và $({{S}_{2}}):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C).$ Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ và tiếp xúc với ba cạnh $AB,BC,CA.$

A. $4.$

B. vô số.

C. $1.$

D. $3.$

Đề và đáp án chi tiết Vted.vn sẽ cập nhật ở bài viết này. Bạn đọc có thể xem thêm các đề thi khác kèm lời giải chi tiết một số câu trong các đề trường THPT Chuyên

>>Đề thi và lời giải chi tiết Đề thi khảo sát THPT Quốc Gia Môn Toán năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT tỉnh Thanh Hoá

>>Đề thi và lời giải chi tiết Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2018 môn Toán Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh lần 1

>>Đề thi và lời giải chi tiết Khảo sát THPT Quốc Gia 2018 môn Toán sở giáo dục tỉnh Quảng Nam

>>Đề thi và lời giải chi tiết Khảo sát THPT Quốc Gia 2018 môn Toán sở giáo dục tỉnh Nam Định 

>>Đề thi và lời giải chi tiết Khảo sát THPT Quốc Gia 2018 môn Toán sở giáo dục Thành phố Hà Nội 

>>Đề thi thử THPT Quốc Gia 2018 Toán lần 4 Trường THPT Chuyên Thái Bình có đáp án chi tiết một số câu khó

>>Đề thi lời giải một số câu hỏi nhóm vận dụng và vận dụng cao Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên HN lần 2 năm 2017 - 2018

>>Đề thi KSCL môn Toán THPTQG 2018 trường THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 mã đề 202

>>Khoá Luyện đề PRO XPLUS Toán 2018 chuẩn cấu trúc Bộ công bố tại Vted.vn

>>Đề thi và đáp án cùng lời giải chi tiết THPT Quốc Gia 2018 Môn Toán Trường THPT Đặng Thúc Hứa Nghệ An lần 1

>>Đề thi và đáp án cùng lời giải chi tiết THPT Quốc Gia 2018 Môn Toán Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An lần 2

>>Đề và lời giải chi tiết Đề Tham khảo THPT Quốc Gia 2018 Môn Toán Lần 1 của Trường THPT Chuyên Đại Học Vinh

>>Đề và lời giải chi tiết đề Tham khảo THPT Quốc Gia 2018 môn Toán lần 2 của Trường THPT Kim Liên Hà Nội

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả