Tính chất của tứ giác nội tiếp hay được sử dụng trong giải toán THPT

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm M bán kính $R$, có P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD khi đó:

$PA.PC=PB.PD=MP^2-R^2$

hay $\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PC} = \overrightarrow {PB} .\overrightarrow {PB} = MP^2-R^2.$

Ngược lại nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P và $PA.PC=PB.PD$ thì ABCD là một tứ giác nội tiếp.

Ví dụ: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao $h$ không đổi và đáy là tứ giác $ABCD,$ trong đó $A,B,C,D$ thay đổi sao cho $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}},$ với $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.

Giải.

Ta có $R=\sqrt{R_{d}^{2}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}},$ trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có

$\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}}=O{{I}^{2}}-R_{d}^{2}\Leftrightarrow R_{d}^{2}=O{{I}^{2}}+{{h}^{2}}\ge {{h}^{2}}.$

Do đó $R\ge \sqrt{{{h}^{2}}+\frac{{{h}^{2}}}{4}}=\frac{h\sqrt{5}}{2}.$

Chọn đáp án C. Dấu bằng đạt tại $O\equiv I.$

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán chính thức của BGD & ĐT kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Vinh năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2018 - 2019