Xem thêm các bài viết:
$\begin{array}{l} y = \sin (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\sin \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ y = \cos (ax + b) \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\cos \left( {ax + b + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)\\ y = \dfrac{1}{{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = \dfrac{{{{( - 1)}^n}{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\\ y = {e^{ax + b}} \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}{e^{ax + b}}.\\ y = {(ax + b)^\alpha } \Rightarrow {y^{(n)}}(x) = {a^n}\alpha (\alpha - 1)...(\alpha - n + 1){(ax + b)^{\alpha - n}} \end{array}$
Cho các hàm số $y=u(x),y=v(x)$ có đạo hàm đến cấp $n$ khi đó ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n)}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-k)}}(x)}.$
Chứng minh. Ta dùng phương pháp quy nạp:
Với $n=1\Rightarrow (uv{)}'=u{v}'+{u}'v=C_{1}^{0}u{v}'+C_{1}^{1}{u}'v$ công thức đúng.
Giả sử công thức đúng đến $n-1$ tức ${{\left[ u(x).v(x) \right]}^{(n-1)}}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}{{u}^{(k)}}(x){{v}^{(n-1-k)}}(x)}.$
Khi đó:
\[\begin{gathered} {\left[ {u(x).v(x)} \right]^{(n)}} = {\left( {{{\left[ {u(x).v(x)} \right]}^{(n - 1)}}} \right)^\prime } = {\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} } \right)^\prime } \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k} \left( {{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x) + {u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \right) \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - 1 - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^{(k + 1) - 1}{u^{(k + 1)}}(x){v^{(n - (k + 1))}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {C_{n - 1}^{k - 1}{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {C_{n - 1}^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_{n - 1}^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_{n - 1}^{n - 1}{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k} \right){u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} \\ = C_n^0{u^{(0)}}(x){v^{(n)}}(x) + C_n^n{u^{(n)}}(x){v^{(0)}}(x) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{u^{(k)}}(x){v^{(n - k)}}(x)} . \\ \end{gathered} \]
Ta có điều phải chứng minh.
Xem thêm các bài viết:
Câu 1. Tính đạo hàm ${{f}^{(50)}}(x)$ với $f(x)=(2{{x}^{2}}+x+1){{e}^{5x+2}}.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{c} {f^{(50)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k{{(2{x^2} + x + 1)}^{(k)}}{{({e^{5x + 2}})}^{(50 - k)}}} .\\ = {5^{50}}(2{x^2} + x + 1){e^{5x + 2}} + 50(4x + 1){5^{49}}{e^{5x + 2}} + {1225.4.5^{48}}{e^{5x + 2}}. \end{array}$
Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}.$ Tính ${{f}^{(100)}}(0).$
Giải. Ta có
$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }} = \dfrac{{2 - (1 - x)}}{{\sqrt {1 - x} }} = 2{(1 - x)^{ - \dfrac{1}{2}}} - {(1 - x)^{\dfrac{1}{2}}}.\\ {f^{(100)}}(x) = 2\left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\left( { - \dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{ - \dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ - \left[ {{{( - 1)}^{100}}\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\left( {\dfrac{1}{2} - 1} \right)...\left( {\dfrac{1}{2} - 99} \right){{(1 - x)}^{\dfrac{1}{2} - 100}}} \right]\\ = \dfrac{{3.5...199}}{{{2^{99}}}}{(1 - x)^{ - \dfrac{{201}}{2}}} + \dfrac{{3.5....197}}{{{2^{100}}}}{(1 - x)^{\dfrac{{197}}{2}}}. \end{array}$
Do đó ${{f}^{(100)}}(0)=\dfrac{3.5...197}{{{2}^{100}}}(199.2+1)=399\dfrac{(197)!!}{{{2}^{100}}},$ trong đó $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$
Câu 3. Tính ${{f}^{(100)}}(x)$ biết $f(x)={{x}^{2}}\cos x.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{c} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{({x^2})}^{(k)}}{{(\cos x)}^{(100 - k)}}} \\ = {x^2}\cos \left( {x + \dfrac{{100\pi }}{2}} \right) + 100.2x.\cos \left( {x + \dfrac{{99\pi }}{2}} \right) + 4950.2.\cos \left( {x + \dfrac{{98\pi }}{2}} \right)\\ = {x^2}\cos x + 200x\sin x - 9900\cos x. \end{array}$
Câu 4. Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(5)}}(x)$ của hàm số $y=\ln (2{{x}^{2}}-x).$
Giải. Ta có: ${y}'=\dfrac{4x-1}{2{{x}^{2}}-x}=\dfrac{4x-1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{4}{2x-1}-\left( \dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x} \right)=\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x}.$
Vậy ${{y}^{(5)}}(x)={{\left( \dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{x} \right)}^{(4)}}=2\dfrac{{{2}^{4}}{{(-1)}^{4}}4!}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{{{(-1)}^{4}}4!}{{{x}^{5}}}=24\left( \dfrac{32}{{{(2x-1)}^{5}}}+\dfrac{1}{{{x}^{5}}} \right).$
Câu 5. Tính đạo hàm cấp cao ${{f}^{(100)}}(0)$ của hàm số $f(x)=\dfrac{1}{{{x}^{2}}-x+1}.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}} - \dfrac{1}{{x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i}}} \right).\\ {f^{(100)}}(x) = \dfrac{1}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{{{{( - 1)}^{100}}100!}}{{{{\left( {x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right)\\ {f^{(100)}}(0) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}\left( {\dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}} - \dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)}^{101}}}}} \right) = \dfrac{{100!}}{{\sqrt 3 i}}( - \sqrt 3 i) = - 100! \end{array}$
Bước cuối bạn đọc thay dạng lượng giác số phức vào để rút gọn.
Cách 2:Ta có $({{x}^{2}}-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp n hai vế có:
$\begin{array}{l} ({x^2} - x + 1){y^{(n)}}(x) + n(2x - 1){y^{(n - 1)}}(x) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(x) = 0\\ {y^{(n)}}(0) - n{y^{(n - 1)}}(0) + n(n - 1){y^{(n - 2)}}(0) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} - \dfrac{{{y^{(n - 1)}}(0)}}{{(n - 1)!}} + \dfrac{{{y^{(n - 2)}}(0)}}{{(n - 2)!}} = 0\\ {u_n} = \dfrac{{{y^{(n)}}(0)}}{{n!}} \Rightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} = 0.... \end{array}$
Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(99)}}(0)$ của hàm số $y=\arcsin x.$
Giải. Ta có:
$\begin{array}{l} y' = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \Rightarrow (1 - {x^2})y' = \sqrt {1 - {x^2}} \\ \Rightarrow - 2xy' + (1 - {x^2})y'' = - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = - xy'\\ \Leftrightarrow (1 - {x^2})y'' - xy' = 0. \end{array}$
Do đó ${{\left( (1-{{x}^{2}}){y}''-x{y}' \right)}^{(n)}}=0$ và
$\begin{array}{l} (1 - {x^2}){y^{(n + 2)}}(x) - n.2x.{y^{(n + 1)}}(x) - n(n - 1){y^{(n)}}(x) - x{y^{(n + 1)}}(x) - n{y^{(n)}}(x) = 0.\\ \Rightarrow {y^{(n + 2)}}(0) = {n^2}{y^{(n)}}(0) \Rightarrow {y^{(99)}}(0) = {97^2}{y^{(97)}}(0) = ... = {(97.95...3.1)^2}y'(0) = {(97!!)^2}. \end{array}$
Câu 7. Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số $f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}.$
Giải. Có \[f(x)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt[3]{{{x}^{3}}-5{{x}^{4}}}}=\dfrac{{{x}^{3}}}{x\sqrt[3]{1-5x}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{1-5x}}={{x}^{2}}{{\left( 1-5x \right)}^{-\dfrac{1}{3}}}.\]
Vì vậy áp dụng công thức Lepnit có
\[\begin{gathered} {f^{(100)}}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{(k)}}{{\left( {{{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3}}}} \right)}^{(100 - k)}}} = C_{100}^0{x^2}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}{{( - 5)}^{100}}} \right) \\ + C_{100}^12x\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 99}}{{( - 5)}^{99}}} \right) \\ + C_{100}^22\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right){{\left( {1 - 5x} \right)}^{ - \dfrac{1}{3} - 98}}{{( - 5)}^{98}}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\left( { - \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{3} - 1} \right)...\left( { - \dfrac{1}{3} - 97} \right)} \right){\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}} \\ \times \left( {{{( - 5)}^2}\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)\left( { - \dfrac{1}{3} - 99} \right){x^2} + {{( - 5)}^1}2C_{100}^1\left( { - \dfrac{1}{3} - 98} \right)(1 - 5x)x + 2C_{100}^2{{(1 - 5x)}^2}} \right) \\ = {( - 5)^{98}}\prod\limits_{k = 0}^{97} {\left( { - \dfrac{1}{3} - k} \right)} {\left( {1 - 5x} \right)^{ - \dfrac{1}{3} - 100}}\left( {\dfrac{{250}}{9}{x^2} - \dfrac{{2000}}{3}x + 9900} \right). \\ \end{gathered} \]
Câu 8. Tính đạo hàm cấp cao ${{y}^{(10)}}(0)$ cuả hàm số $y={{e}^{-{{x}^{2}}}}.$
Giải. Có ${y}'=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}}=-2xy\Leftrightarrow {y}'+2xy=0\Rightarrow {{\left( {y}'+2xy \right)}^{(n)}}=0.$
Khai triển công thức Lepnit có: ${{y}^{(n+1)}}+2x{{y}^{(n)}}+C_{n}^{1}2{{y}^{(n-1)}}=0\Rightarrow {{y}^{(n+1)}}(0)=-2n{{y}^{(n-1)}}(0).$
Do đó ${{y}^{(10)}}(0)=-18{{y}^{(8)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right){{y}^{(6)}}(0)=...=\left( -18 \right)\left( -14 \right)...\left( -2 \right){{y}^{(0)}}(0)=-30240.$
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
- ĐH Kinh Tế Quốc Dân
- ĐH Ngoại Thương
- ĐH Thương Mại
- Học viện Tài Chính
- Học viện ngân hàng
- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: