TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT

Xét hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( a,b,c,d\in \mathbb{R};c\ne 0 \right).$

Hàm số xác định trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-\dfrac{d}{c} \right)$ và $\left( -\dfrac{d}{c};+\infty  \right)$ và đạo hàm ${y}'=\dfrac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}.$

Điều kiện để hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất đơn điệu trên mỗi khoảng xác định

a) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định (từng khoảng xác định) $\Leftrightarrow ad-bc>0.$

b) Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (từng khoảng xác định) $\Leftrightarrow ad-bc<0.$

Điều kiện để hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất đơn điệu trên K

a) Đồng biến trên $K\Leftrightarrow ad-bc>0$ và $cx+d\ne 0,\text{ }\forall x\in K.$

b) Nghịch biến trên $K\Leftrightarrow ad-bc<0$ và $cx+d\ne 0,\text{ }\forall x\in K.$

Ví dụ 1. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{mx-4}{x-m}$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )?$

Giải. Ta có $f'(x) = \dfrac{{4 - {m^2}}}{{{{(x - m)}^2}}} \Rightarrow {\rm{ycbt}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 - {m^2} > 0\\
x - m \ne 0,{\rm{ }}\forall x \in (0; + \infty )
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2 < m < 2\\
m \ne x,{\rm{ }}\forall x \in (0; + \infty )
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2 < m < 2\\
m \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m \le 0.$

Vậy $m\in \left\{ -1; 0 \right\}.$ Chọn đáp án D.

Điều kiện để hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất dạng hợp đơn điệu trên K

Xét hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất dạng hợp $y=\dfrac{a.u\left( x \right)+b}{c.u\left( x \right)+d}.$

Tập xác định của hàm số là $D=\left\{ x|c.u\left( x \right)+d\ne 0 \right\}.$Ta có ${y}'=\dfrac{ad-bc}{{{(c.u\left( x \right)+d)}^{2}}}.{u}'\left( x \right)$ và ta chỉ xét ${u}'\left( x \right)=0$ có hữu hạn nghiệm thuộc $K.$

+ Nếu \[ad-bc=0\Rightarrow {y}'=0,\text{ }\forall x\in D\Rightarrow \] hàm số không đơn điệu.

+ Nếu $ad-bc\ne 0$ ta có các điều kiện sau:

a) Đồng biến trên $K\Leftrightarrow ad-bc\ne 0;\text{ }\left( ad-bc \right).{u}'\left( x \right)\ge 0,\text{ }\forall x\in K$ và $c.u\left( x \right)+d\ne 0,\text{ }\forall x\in K.$

b) Nghịch biến trên $K\Leftrightarrow ad-bc\ne 0;\text{ }\left( ad-bc \right).{u}'\left( x \right)\le 0,\text{ }\forall x\in K$ và $c.u\left( x \right)+d\ne 0,\text{ }\forall x\in K.$

Ví dụ 1. Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=\dfrac{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( 2\sqrt{2};+\infty  \right)?$

Giải. Ta có ${y}'=\dfrac{-2m-3}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-m \right)}^{2}}}.\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}.$

Ta có $\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\text{ }\forall x\in \left( 2\sqrt{2};+\infty  \right)$ do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2\sqrt{2};+\infty  \right)\Leftrightarrow -2m-3<0\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{2}$ và $\sqrt{{{x}^{2}}+1}-m\ne 0,\text{ }\forall x\in \left( 2\sqrt{2};+\infty  \right)\Leftrightarrow m\ne \sqrt{{{x}^{2}}+1},\text{ }\forall x\in \left( 2\sqrt{2};+\infty  \right)$

$\Leftrightarrow m\notin \left( 3;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\le 3\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;2;3 \right\}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2. Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{mf\left( x \right)+2022}{f\left( x \right)+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)?$

Giải. Quan sát đồ thị ta có $f\left( x \right)\in \left( -2;2 \right),\forall x\in \left( -1;1 \right)$ và ${f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$ do đồ thị $f\left( x \right)$ đi lên trên khoảng $\left( -1;1 \right).$

Và ${\mathbf{ycbt}} \Leftrightarrow y' = \dfrac{{{m^2} - 2022}}{{{{\left( {f\left( x \right) + m} \right)}^2}}}.f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 2022 < 0 \hfill \\ - m \ne f\left( x \right),\forall x \in \left( { - 1;1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt {2022} < m < \sqrt {2022} \hfill \\ - m \notin \left( { - 2;2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt {2022} < m < \sqrt {2022} \hfill \\ - m \leqslant - 2 \vee - m \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \sqrt {2022} < m < \sqrt {2022} \hfill \\ m \leqslant - 2 \vee m \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 44,...,44} \right\}\backslash \left\{ { - 1,0,1} \right\}.$ Chọn đáp án A.

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.