Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang


Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

Để tính tích phân \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\] bằng định nghĩa, ta cần biết một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ trên đoạn $\left[ a;b \right].$ Khi đó:

\[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F(b)-F(a).\]

Tuy nhiên, nếu hàm số $f(x)$ không có nguyên hàm dưới dạng hàm sơ cấp, chẳng hạn, người ta biết rằng

           \[\int{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx};\int{{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx};\int{\dfrac{\sin x}{x}}dx;\int{\dfrac{\cos x}{x}dx};\int{\dfrac{{{e}^{x}}}{x}dx};\int{\dfrac{1}{\sqrt{1-{{x}^{3}}}}dx};\ldots \]

không phải là những hàm số sơ cấp, thì không thể dùng định nghĩa trên được. Tình huống tương tự xuất hiện khi $f(x)$ cho bởi một đồ thị mà ta không biết phương trình của nó. Khi đó, ta cần tính xấp xỉ \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\] bằng các phương pháp số. Phương pháp đơn giản nhất là phương pháp hình thang, có nội dung như sau:

Giả sử $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right].$ Khi đó:

\[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\approx \dfrac{b-a}{2n}\left[ f\left( {{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{n}} \right)+2\left( f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)+\ldots +f\left( {{x}_{n-1}} \right) \right) \right],\]

trong đó đoạn $\left[ a;b \right]$ được chia thành $n$ đoạn con $\left[ {{x}_{0}};{{x}_{1}} \right],\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right],\ldots ,\left[ {{x}_{n-1}};{{x}_{n}} \right],$ mỗi đoạn có độ dài là $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}.$

Bằng cách chia như vậy thì dãy số ${{x}_{0}},\text{ }{{x}_{1}},...,\text{ }{{x}_{n}}$ là một cấp số cộng và ${{x}_{k}}=a+k.\dfrac{b-a}{n}\text{ }\left( 0\le k\le n \right).$

Nhận xét: Nếu $n$ càng lớn, tức là ta chia đoạn $\left[ a;b \right]$ thành càng nhiều đoạn con hay thuật ngữ giải tích gọi là "làm mịn" thì giá trị của tích phân càng chính xác. Điều này chỉ có ý nghĩa khi có sự hỗ trợ của máy tính. Với tốc độ của máy tính thì việc cho $n$ bằng trăm, ngàn, thậm chí triệu thì việc tính toán cũng chỉ xảy ra trong vài giây.

Việc chia đoạn $\left[ a;b \right]$ thành $n$ đoạn con không nhất thiết phải bằng nhau, tức không phụ thuộc vào cách chia và cách chọn mốc ${{x}_{i}}$, tuy nhiên ta nên chọn cách đều cho dễ thao tác. Đối với lập trình thì việc chọn mốc cách đều giúp ta có thể xây dựng được một vòng lặp bằng một số câu lệnh đơn giản một cách dễ dàng.

Khi $f(x)$ là hàm liên tục và không âm trên đoạn $\left[ a;b \right],$ ta có:

Ý nghĩa hình học: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\text{ }x=b$ xấp xỉ với tổng diện tích của các hình thang con ${{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }\ldots ,\text{ }{{A}_{n}}$ (tham khảo hình vẽ)

Đánh giá sai số: Người ta chứng minh được rằng nếu ${f}''\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ a;b \right]$ thì sai số $\left| E \right|$ của phương pháp hình thang được đánh giá như sau:

\[\left| E \right|\le \dfrac{{{\left( b-a \right)}^{3}}M}{12{{n}^{2}}},\] trong đó \[M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,\left| {f}''\left( x \right) \right|.\]

Thuật toán: Để tính xấp xỉ $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ với độ chính xác không vượt quá số $\varepsilon $ cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:

Bước 1. Tính ${f}''\left( x \right)$ và tìm \[M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,\left| {f}''\left( x \right) \right|\] (hoặc đánh giá \[\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,\left| {f}''\left( x \right) \right|\le M,\] nếu việc tìm chính xác là khó).

Bước 2. Với sai số $\varepsilon $ cho trước, tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho

                    \[\left| E \right|\le \dfrac{{{\left( b-a \right)}^{3}}M}{12{{n}^{2}}}\le \varepsilon .\]

Bước 3. Chia đoạn $\left[ a;b \right]$ thành $n$ đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.

Ví dụ 1. Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{e}^{x}}}{x}dx}$

a) bằng cách chia đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thành $5$ đoạn con có độ dài bằng nhau.

b) với độ chính xác nhỏ hơn ${{4.10}^{-3}}.$

Giải. a) Chia đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thành $5$ đoạn con có độ dài bằng nhau là

$\left[ 1;\text{ }1,2 \right],\left[ 1,2;\text{ }1,4 \right],\left[ 1,4;\text{ }1,6 \right],\left[ 1,6;\text{ }1,8 \right],\left[ 1,8;\text{ }2 \right].$

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

\[\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{e}^{x}}}{x}dx}\approx \dfrac{2-1}{10}\left[ \dfrac{{{e}^{1}}}{1}+\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+2\left( \dfrac{{{e}^{1,2}}}{1,2}+\dfrac{{{e}^{1,4}}}{1,4}+\dfrac{{{e}^{1,6}}}{1,6}+\dfrac{{{e}^{1,8}}}{1,8} \right) \right]\approx 3,065.\]

b) Ta có $f\left( x \right)=\dfrac{{{e}^{x}}}{x};{f}'\left( x \right)=\dfrac{x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}};{f}''\left( x \right)=\dfrac{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right){{e}^{x}}}{{{x}^{3}}};$

${f}'''\left( x \right)=\dfrac{{{e}^{x}}\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+6x-6 \right)}{{{x}^{4}}}<0,\text{ }\forall x\in \left[ 1;2 \right];$${f}''\left( 1 \right)=e,{f}''\left( 2 \right)=\dfrac{{{e}^{2}}}{4}\Rightarrow M=\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| {f}''\left( x \right) \right|=e.$

Ta cần tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho

\[\dfrac{{{\left( 2-1 \right)}^{3}}e}{12{{n}^{2}}}<{{4.10}^{-3}}\Leftrightarrow n>\sqrt{\dfrac{e}{{{48.10}^{-3}}}}\approx 7,53\Rightarrow {{n}_{\min }}=8.\]

Chia đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thành $8$ đoạn con có độ dài bằng nhau là

$\left[ 1;\text{ }1,125 \right],\left[ 1,125;\text{ }1,25 \right],\left[ 1,25;\text{ }1,375 \right],\left[ 1,375;\text{ }1,5 \right],\left[ 1,5;\text{ }1,625 \right],\left[ 1,625;\text{ }1,75 \right],\left[ 1,75;\text{ }1,875 \right],\left[ 1,875;\text{ 2} \right].$

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

\[\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{e}^{x}}}{x}dx}\approx \dfrac{2-1}{16}\left[ \dfrac{{{e}^{1}}}{1}+\dfrac{{{e}^{2}}}{2}+2\left( \dfrac{{{e}^{1,125}}}{1,125}+\dfrac{{{e}^{1,25}}}{1,25}+\dfrac{{{e}^{1,375}}}{1,375}+\dfrac{{{e}^{1,5}}}{1,5}+\dfrac{{{e}^{1,625}}}{1,625}+\dfrac{{{e}^{1,75}}}{1,75}+\dfrac{{{e}^{1,875}}}{1,875} \right) \right]\approx 3,06152.\]

Ví dụ 2. Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng $\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx}$ với độ chính xác nhỏ hơn $0,01.$

Giải. Ta có $f(x)={{e}^{-{{x}^{2}}}};{f}'(x)=-2x{{e}^{-{{x}^{2}}}};{f}''\left( x \right)=4{{x}^{2}}{{e}^{-{{x}^{2}}}}-2{{e}^{-{{x}^{2}}}};$

\[{f}'''\left( x \right)=4x\left( 3-2{{x}^{2}} \right){{e}^{-{{x}^{2}}}}\Rightarrow {f}'''\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0;x=\pm \sqrt{\dfrac{\text{3}}{\text{2}}}.\]

Ta có ${f}''\left( 0 \right)=-2;{f}''\left( 1 \right)=\dfrac{2}{e}$ do đó \[M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,\left| {f}''\left( x \right) \right|=\left| {f}''\left( 0 \right) \right|=2.\]

Ta cần tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho

\[\dfrac{2{{\left( 1-0 \right)}^{3}}}{12{{n}^{2}}}<0,01\Leftrightarrow n>\sqrt{\dfrac{2}{12\times 0.01}}\approx 4,08\Rightarrow {{n}_{\min }}=5.\]

Chia đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thành $5$ đoạn có độ dài bằng nhau là $[0;0,2],[0,2;0,4],[0,4;0,6],[0,6;0,8],[0,8;1].$

Áp dụng công thức hình thang, ta có:

                                \[\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx}\approx \dfrac{1-0}{10}\left[ \dfrac{1}{{{e}^{0}}}+\dfrac{2}{{{e}^{0,04}}}+\dfrac{2}{{{e}^{0,16}}}+\dfrac{2}{{{e}^{0,36}}}+\dfrac{2}{{{e}^{0,64}}}+\dfrac{1}{e} \right]\approx 0,744.\]

Ví dụ 3. Một thân cây dài $4,8~\text{m}$ được cắt thành các khúc gỗ dài $60~\text{cm}.$ Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích $S$ của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây $x\text{ }(~\text{cm})$ là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.

Giải. Thể tích cần tính là $V=\int\limits_{0}^{480}{S\left( x \right)dx},$ trong đó $S(x)$ là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng $x\text{ }(\text{cm}).$

Sử dụng phương pháp hình thang, ta có:

\[V=\int\limits_{0}^{480}{S\left( x \right)dx}\approx \dfrac{480-0}{16}\left[ 240+320+2\left( 248+256+260+264+272+298+316 \right) \right]=131640\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.\]

Ví dụ 4. Một chiếc xe ô tô chạy thử nghiệm trên một đường thẳng bắt đầu từ trạng thái đứng yên. Tốc độ của chiếc xe ô tô đó (tính bằng mét/giây) lần lượt ở giây thứ $10,$ thứ $20,$ thứ $30,$ thứ $40,$ thứ $50$ và thứ $60$ được ghi lại trong bảng

a) Hãy tính gần đúng quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ $60$ của quá trình thử nghiệm theo phương pháp hình thang.

b) Hãy xây dựng hàm số bậc ba của vận tốc theo thời gian $v\left( t \right)$ để biểu diễn các số liệu trong bảng, tức là ở hệ trục toạ độ $Otv,$ đồ thị của hàm số đó trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$ "gần" vời các điểm $O(0;0),B(10;5),C(20;21),$$D(30;40),E(40;62),F(50;78),G(60;83).$ Từ đó tính gần đúng quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ $60$ của quá trình thử nghiệm.

Giải. a) Quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ $60$ của quá trình thử nghiệm theo phương pháp hình thang là $s=\int\limits_{0}^{60}{v\left( t \right)dt}\approx \dfrac{60-0}{12}\left[ 0+83+2\left( 5+21+40+62+78 \right) \right]=2475\text{ m}.$

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả