Bài viết Các bài toán về số phức dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Vted giới thiệu đến bạn đọc một số ví dụ về tính tổng và tích số phức trong các đề thi cuối kì môn Đại số tuyến tính bậc đại học:

>>Xem thêm tại đây: https://www.vted.vn/on-tap/pro-s1-cac-bai-toan-ve-so-phuc-danh-tang-sv-khoi-nganh-ky-thuat?pid=d25220a3-6a21-4508-b4e2-e1308eac4eb3&cid=c84b9165-ad3a-44b5-adc7-e21f5620b15f

Câu 1. Gọi ${{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}},...,{{\varepsilon }_{2018}}$ là các căn bậc 2018 của số phức 2018. Tính tổng $A=\sum\limits_{i=1}^{2018}{\dfrac{{{\varepsilon }_{i}}}{{{\varepsilon }_{i}}+4}}.$

Ta có \[A=\sum\limits_{k=1}^{2018}{\dfrac{{{\varepsilon }_{k}}}{{{\varepsilon }_{k}}+4}}=\sum\limits_{k=1}^{2018}{\left( 1-\dfrac{4}{{{\varepsilon }_{k}}+4} \right)}=2018-4\sum\limits_{k=1}^{2018}{\dfrac{1}{{{\varepsilon }_{k}}+4}}.\]

Xét \[P(z) = {z^{2018}} - 2018 = \prod\limits_{k = 1}^{2018} {(z - {\varepsilon _k})} \Rightarrow P'(z) = P(z)\left( {\sum\limits_{k = 1}^{2018} {\dfrac{1}{{z - {\varepsilon _k}}}} } \right).\]

Suy ra \[\sum\limits_{k=1}^{2018}{\dfrac{1}{z-{{\varepsilon }_{k}}}}=\dfrac{{P}'(z)}{P(z)}=\dfrac{2018{{z}^{2017}}}{{{z}^{2018}}-2018}.\]

Do đó \[\sum\limits_{k=1}^{2018}{\dfrac{1}{-4-{{\varepsilon }_{k}}}}=\dfrac{2018{{(-4)}^{2017}}}{{{(-4)}^{2018}}-2018}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{2018}{\dfrac{1}{{{\varepsilon }_{k}}+4}}=\dfrac{{{2018.4}^{2017}}}{{{4}^{2018}}-2018}.\]

Vậy \[A=2018-4\dfrac{{{2018.4}^{2017}}}{{{4}^{2018}}-2018}=-\dfrac{{{2018}^{2}}}{{{4}^{2018}}-2018}.\]

>>Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

>>Xem thêm Các phương pháp tính định thức của ma trận

>> Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

>>Định thức của ma trận và các tính chất của định thức

>> Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch

>>Cơ sở của không gian véctơ

>> Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm số cho bởi tham số

>> Khai triển Taylor và ứng dụng

>> Các dạng toán về hạng của ma trận và phương pháp giải