Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCDEF$ có đáy $ABCDEF$ là hình lục giác đều. Gọi $P$ là trung điểm của cạnh $SD.$ Mặt phẳng $\left( APF \right)$ cắt các cạnh $SB,\text{ }SC,\text{ }SE$ lần lượt tại $M,N,Q.$ Gọi ${{V}_{1}},\text{ }V$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.AMNPQF$ và $S.ABCDEF.$ Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{V}$ bằng

Giải. Các cặp cạnh đối của lục giác đều song song với nhau

Ta có $AF||CD\Rightarrow \left( APF \right)||\left( SCD \right)=NP||CD||AF\Rightarrow N$ là trung điểm $SC$

Kéo dài các cạnh $AF,BC,DE$ chúng cắt nhau tại $X,Y,Z$ và \[\Delta XYZ\] đều nên $B,E$ lần lượt là trung điểm $CX,DY$

Khi đó $SB\cap NX=M;SE\cap PY=Q$ lần lượt là trọng tâm của các $\Delta SCX;\Delta SDY$ (vì là giao của hai đường trung tuyến)

Để tính thể tích của khối chóp $S.AMNPQF$ ta chia thành các khối chóp tam giác và sử dụng công thức Simson cùng so sánh thể tích

Cụ thể ${{V}_{S.AMNPQF}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.ANP}}+{{V}_{S.APQ}}+{{V}_{S.AQF}}$

Ta có ${{V}_{S.AMN}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{ABCDEF}}}V=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{6}V=\dfrac{1}{18}V$

${{V}_{S.ANP}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{SP}{SD}{{V}_{S.ACD}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{SP}{SD}.\dfrac{{{S}_{ACD}}}{{{S}_{ABCDEF}}}V=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{1}{12}V$

${{V}_{S.APQ}}=\dfrac{SP}{SD}.\dfrac{SQ}{SE}{{V}_{S.ADE}}=\dfrac{SP}{SD}.\dfrac{SQ}{SE}.\dfrac{{{S}_{ADE}}}{{{S}_{ABCDEF}}}V=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}V=\dfrac{1}{9}V$

${{V}_{S.AQF}}=\dfrac{SQ}{SE}{{V}_{S.AEF}}=\dfrac{SQ}{SE}.\dfrac{{{S}_{AEF}}}{{{S}_{ABCDEF}}}V=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{6}V=\dfrac{1}{9}V$

Vậy ${{V}_{S.AMNPQF}}=\dfrac{1}{18}V+\dfrac{1}{12}V+\dfrac{1}{9}V+\dfrac{1}{9}V=\dfrac{13}{36}V.$ Chọn đáp án A.