Tổng các ước nguyên dương của một số nguyên dương


Tổng các ước nguyên dương của một số nguyên dương

Định lí. Nếu số nguyên dương $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố: \[n=p_{1}^{{{m}_{1}}}.p_{2}^{{{m}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{m}_{k}}}\]

thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là \[\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}{\left( \dfrac{p_{i}^{{{m}_{i}}+1}-1}{{{p}_{i}}-1} \right)}\]

Chứng minh. Các ước nguyên dương của $n$ có dạng \[p_{1}^{{{x}_{1}}}.p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}}\] với $0\le {{x}_{1}}\le {{m}_{1}},0\le {{x}_{2}}\le {{m}_{2}},\ldots ,0\le {{x}_{k}}\le {{m}_{k}}.$

Từ đó ta có tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ là \[\sigma (n)=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{\ldots }}\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{1}^{{{x}_{1}}}p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}\]

\[=p_{1}^{0}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}+p_{1}^{1}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}+...+p_{1}^{{{m}_{1}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}\]

\[=\left( p_{1}^{0}+p_{1}^{1}+...+p_{1}^{{{m}_{1}}} \right)\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}\]

\[=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{p_{1}^{{{x}_{1}}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}=...=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{p_{1}^{{{x}_{1}}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{p_{2}^{{{x}_{2}}}}\ldots \sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{p_{k}^{{{x}_{k}}}}\]

Mặt khác \[\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{i}}}{p_{i}^{{{x}_{1}}}}\] là tổng $\left( {{m}_{i}}+1 \right)$ số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu ${{u}_{1}}=p_{i}^{0}=1$ và công bội $q={{p}_{i}}$$\Rightarrow \sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{i}}}{p_{i}^{{{x}_{1}}}}=\dfrac{p_{i}^{{{m}_{i}}+1}-1}{{{p}_{i}}-1}.$

Do đó \[\sigma (n)=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{p_{1}^{{{x}_{1}}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{p_{2}^{{{x}_{2}}}}\ldots \sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{p_{k}^{{{x}_{k}}}}=\left( \dfrac{p_{1}^{{{m}_{1}}+1}-1}{{{p}_{1}}-1} \right)\left( \dfrac{p_{2}^{{{m}_{2}}+1}-1}{{{p}_{2}}-1} \right)\ldots \left( \dfrac{p_{k}^{{{m}_{k}}+1}-1}{{{p}_{k}}-1} \right)=\prod\limits_{i=1}^{k}{\left( \dfrac{p_{i}^{{{m}_{i}}+1}-1}{{{p}_{i}}-1} \right)}\text{ }\left( * \right).\]

Ta có điều phải chứng minh.

>>Xem thêm bài viết Giới hạn của dãy số

Ví dụ 1. Tính tổng các ước nguyên dương của $200.$

Giải. Ta có: $200={{2}^{3}}{{.5}^{2}}$.

Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của 200 là \[\sigma (200)=\dfrac{{{2}^{4}}-1}{2-1}\cdot \dfrac{{{5}^{3}}-1}{5-1}=465\text{. }\]

Ví dụ 2. Tính tổng các ước nguyên dương của $n=1520540658.$

Giải. Ta có: $1520540658=2\cdot {{3}^{2}}\cdot {{7}^{2}}\cdot {{13}^{2}}\cdot {{101}^{2}}.$

+ Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của 1520540658 là \[\sigma (n)=\dfrac{{{2}^{2}}-1}{2-1}\cdot \dfrac{{{3}^{3}}-1}{3-1}\cdot \dfrac{{{13}^{3}}-1}{13-1}\cdot \dfrac{{{101}^{3}}-1}{101-1}=4191353127\text{. }\]

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả