Tổng các ước nguyên dương của một số nguyên dương

Định lí. Nếu số nguyên dương $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố:

\[n=p_{1}^{{{m}_{1}}}.p_{2}^{{{m}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{m}_{k}}}\]

thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là

\[\sigma (n)=\prod\limits_{i=1}^{k}{\left( \dfrac{p_{i}^{{{m}_{i}}+1}-1}{{{p}_{i}}-1} \right)}\]

Chứng minh. Các ước nguyên dương của $n$ có dạng \[p_{1}^{{{x}_{1}}}.p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}}\] với $0\le {{x}_{1}}\le {{m}_{1}},0\le {{x}_{2}}\le {{m}_{2}},\ldots ,0\le {{x}_{k}}\le {{m}_{k}}.$

Từ đó ta có tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ là \[\sigma (n)=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{\ldots }}\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{1}^{{{x}_{1}}}p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}\]

\[=p_{1}^{0}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}+p_{1}^{1}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}+...+p_{1}^{{{m}_{1}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}\]

\[=\left( p_{1}^{0}+p_{1}^{1}+...+p_{1}^{{{m}_{1}}} \right)\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}\]

\[=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{p_{1}^{{{x}_{1}}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{...\sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{\left( p_{2}^{{{x}_{2}}}\ldots p_{k}^{{{x}_{k}}} \right)}}=...=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{p_{1}^{{{x}_{1}}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{p_{2}^{{{x}_{2}}}}\ldots \sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{p_{k}^{{{x}_{k}}}}\]

Mặt khác \[\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{i}}}{p_{i}^{{{x}_{1}}}}\] là tổng $\left( {{m}_{i}}+1 \right)$ số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu ${{u}_{1}}=p_{i}^{0}=1$ và công bội $q={{p}_{i}}$$\Rightarrow \sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{i}}}{p_{i}^{{{x}_{1}}}}=\dfrac{p_{i}^{{{m}_{i}}+1}-1}{{{p}_{i}}-1}.$

Do đó \[\sigma (n)=\sum\limits_{{{x}_{1}}=0}^{{{m}_{1}}}{p_{1}^{{{x}_{1}}}}\sum\limits_{{{x}_{2}}=0}^{{{m}_{2}}}{p_{2}^{{{x}_{2}}}}\ldots \sum\limits_{{{x}_{k}}=0}^{{{m}_{k}}}{p_{k}^{{{x}_{k}}}}=\left( \dfrac{p_{1}^{{{m}_{1}}+1}-1}{{{p}_{1}}-1} \right)\left( \dfrac{p_{2}^{{{m}_{2}}+1}-1}{{{p}_{2}}-1} \right)\ldots \left( \dfrac{p_{k}^{{{m}_{k}}+1}-1}{{{p}_{k}}-1} \right)=\prod\limits_{i=1}^{k}{\left( \dfrac{p_{i}^{{{m}_{i}}+1}-1}{{{p}_{i}}-1} \right)}\text{ }\left( * \right).\]

Ta có điều phải chứng minh.

>>Xem thêm: Số ước nguyên dương của một số nguyên dương

>>Xem thêm bài viết Giới hạn của dãy số

Ví dụ 1. Tính tổng các ước nguyên dương của $200.$

Giải. Ta có: $200={{2}^{3}}{{.5}^{2}}$.

Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của 200 là \[\sigma (200)=\dfrac{{{2}^{4}}-1}{2-1}\cdot \dfrac{{{5}^{3}}-1}{5-1}=465\text{. }\]

Ví dụ 2. Tính tổng các ước nguyên dương của $n=1520540658.$

Giải. Ta có: $1520540658=2\cdot {{3}^{2}}\cdot {{7}^{2}}\cdot {{13}^{2}}\cdot {{101}^{2}}.$

+ Áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của 1520540658 là \[\sigma (n)=\dfrac{{{2}^{2}}-1}{2-1}\cdot \dfrac{{{3}^{3}}-1}{3-1}\cdot \dfrac{{{13}^{3}}-1}{13-1}\cdot \dfrac{{{101}^{3}}-1}{101-1}=4191353127\text{. }\]

Tổng ước số thực sự

Trong lý thuyết số, tổng ước số thực sự $s(n)$ của một số nguyên dương $n$ là tổng của tất cả các ước số nguyên dương của $n$ và nhỏ hơn $n.$ Nó được sử dụng để mô tả các số nguyên tố, số hoàn hảo, số thiếu hụt, số dồi dào và số không thể chạm tới, và để định nghĩa dãy phân ước của một số.

Định lí. Nếu số nguyên dương $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố:

\[n=p_{1}^{{{m}_{1}}}\cdot p_{2}^{{{m}_{2}}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{{{m}_{k}}}\]

thì tổng ước số thực sự $s(n)$ của $n$ là

\[s\left( n \right)=\sigma (n)-n=\prod\limits_{i=1}^{k}{\left( \dfrac{p_{i}^{{{m}_{i}}+1}-1}{{{p}_{i}}-1} \right)}-n.\]

Ví dụ, các ước số thực sự của $15$ là $1,$ và $5,$ do đó tổng ước số thực sự của $15$ là $s\left( 15 \right)=1+3+5=9.$
Các giá trị của $s(n)$ với $n=1,2,3, \ldots$ là: \[0,1,1,3,1,6,1,7,4,8,1,16,1,10,9,15,1,21,1,22,\]
\[11,14,1,36,6,16,13,28,1,42,1,31,15,20,13,55,1,22,17,50,\]
\[1\text{, }54,1,40,33,26,1,76,8,43,\ldots \] (dãy số A001065 trong bảng OEIS).

Pollack và Pomerance vào năm 2016 đã nói rằng tổng các ước số thực sự là một trong những "đối tượng yêu thích" của nhà toán học Paul Erdos. Nó được sử dụng để mô tả vài lớp số học sau:
- Số 1 là số duy nhất có tổng ước số thực sự của nó bằng không. Một số là số nguyên tố khi và chỉ khi tổng ước số thực sự của nó bằng một.
- Số thiếu hụt, số hoàn hảo và số dồi dào có tổng các ước số thực sự là ít hơn, nhỏ hơn và lớn hơn với chính nó tương ứng. Số gần hoàn thiện dư (nếu nó tồn tại) là các số $n$ mà tổng ước số thực sự của nó bằng $n+1.$ Số gần hoàn thiện thiếu là các số mà tổng ước số thực sự của nó bằng $n-1.$
- Số không chạm tới được là các số $n$ mà không tồn tại số $m$ nào có tổng ước số thực sự của $m$ bằng $n.$ Việc nghiên cứu chúng được bắt đầu ít nhất từ Abu Mansur al-Baghdadi những năm 1000, người đã quan sát rằng số 2 và số 5 không thể chạm được. Erdos đã chứng minh số lượng các số như trên là vô hạn. Hiện nay đang có giả thuyết số 5 là số lẻ duy nhất không chạm được, hiện vẫn chưa chứng minh được. Tuy nhiên nếu giả thuyết Goldbach được chứng minh thì giả thuyết này cũng sẽ được chứng minh thông qua việc quan sát một số nửa nguyên tố $pq$ có tổng ước số thực sự của nó là $p+q+1.$

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.