Tổng hợp các dạng toán biện luận tiệm cận đứng của đồ thị hàm số hay gặp

Đối với đồ thị hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất $f\left( x \right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\text{ }(ad-bc\ne 0,c\ne 0).$

• Tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}.$
• Tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}.$
• Giao điểm hai đường tiệm cận $I\left( -\dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Xét một số trường hợp hay gặp sau đây:

Bài toán 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{A}{g\left( x \right)}$ (trong đó $A$ là hằng số) có đúng $n$ tiệm cận đứng $\Leftrightarrow g(x)=0$ có đúng $n$ nghiệm.

Áp dụng 1: đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{A}{a{{x}^{2}}+bx+c}\text{ }(a\ne 0)$ có đúng $n$ tiệm cận đứng

• $n=0\Leftrightarrow \Delta ={{b}^{2}}-4ac<0.$
• $n=1\Leftrightarrow \Delta ={{b}^{2}}-4ac=0.$
• $n=2\Leftrightarrow \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0.$

Áp dụng 2: đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{A}{a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d}\text{ }(a\ne 0)$ có đúng $n$ tiệm cận đứng

Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x-{{x}_{0}}}{a{{x}^{2}}+bx+c}\text{ }(a\ne 0)$ có đúng $n$ tiệm cận đứng.

• $n=0\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ={{b}^{2}}-4ac<0.$
• $n=1\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có nghiệm kép hoặc nhận ${{x}_{0}}$ là nghiệm$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \Delta = {b^2} - 4ac = 0 \hfill \\ ax_0^2 + b{x_0} + c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
• $n=2\Leftrightarrow a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt khác ${x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta = {b^2} - 4ac > 0 \hfill \\ ax_0^2 + b{x_0} + c \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Bài toán 3: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x-{{x}_{0}}}{a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d},\left( a\ne 0 \right)$ có đúng $n$ tiệm cận đứng.

Bài toán 4: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}{a{{x}^{2}}+bx+c},\left( a\ne 0 \right)$ có đúng $n$ tiệm cận đứng.

Bài toán 5: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)}{a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d},\left( a\ne 0 \right)$ có đúng $n$ tiệm cận đứng.

Bài toán 6: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số $f(x)=\dfrac{g(x)}{{{(x-a)}^{m}}}$ không có tiệm cận đứng $\Leftrightarrow g(x)=0$ có nghiệm bội $x=a$ bậc $n\ge m\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & g(a)=0 \\ & {g}'(a)=0 \\ & ... \\ & {{g}^{(m-1)}}(a)=0 \\ \end{align} \right..$

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5