Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $ax+by+c=0$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0.$ Ngược lại, mỗi phương trình $ax+by+c=0$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$ đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\overrightarrow{n}\left( a;b \right)$ là một véctơ pháp tuyến.
Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( a;b \right).$ Khi đó điểm $M\left( x;y \right)$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}\bot \overrightarrow{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)=0.$
Hai véctơ $\overrightarrow{n}\left( a;b \right)$ và $\overrightarrow{u}\left( -b;a \right)$ vuông góc với nhau, do đó đường thẳng $ax+by+c=0$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}\left( a;b \right)$ và véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( -b;a \right).$
Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left( a;b \right).$ Khi đó điểm $M\left( x;y \right)$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{u}$ hay $\left\{ \begin{gathered} x = {x_0} + at \hfill \\ y = {y_0} + bt \hfill \\ \end{gathered} \right.$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
Trong mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$ và ${{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0.$
Khi đó toạ độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right).\]
+ ${{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$ tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\Leftrightarrow \left( * \right)$ có nghiệm duy nhất $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right).$
+ ${{d}_{1}}$ song song với ${{d}_{2}}$ $\Leftrightarrow \left( * \right)$ vô nghiệm.
+ ${{d}_{1}}$ trùng với ${{d}_{2}}$ $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có vô số nghiệm.
Dựa vào các véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\text{ }\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{1}}},\text{ }\overrightarrow{{{n}_{2}}}$ của ${{d}_{1}},\text{ }{{d}_{2}}$ ta có:
Hai đường thẳng cắt nhau tại thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là góc giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng ${{0}^{0}}.$
Trong mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$ và ${{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ với các véctơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}} \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}} \right).$
Khi đó góc $\varphi $ giữa hai đường thẳng này được xác định theo công thức $\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\dfrac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.$
+ ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{2}}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}=0.$
+ Nếu ${{d}_{1}},\text{ }{{d}_{2}}$ có các véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\text{ }\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ khi đó $\varphi $ giữa hai đường thẳng này cũng được xác định theo công thức $\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|.$
+ Đường thẳng $d:y=ax+b$ có hệ số góc ${{k}_{d}}=a.$
+ Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là ${{k}_{AB}}=\dfrac{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}.$
+ Đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình là $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.$
Áp dụng: Đường thẳng qua hai điểm $\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ với ${{x}_{2}}\ne {{x}_{1}}$ là $y=\dfrac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\left( x-{{x}_{1}} \right)+{{y}_{1}}.$
Xét hai đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}}||{{d}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}\wedge {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}}.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}\wedge {{b}_{1}}={{b}_{2}}.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau là ${{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}.$
Hai điểm $A,B$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $d\Leftrightarrow AB\bot d$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $d.$
Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$
+ Hai điểm $A,B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $d\Leftrightarrow \left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)>0.$
+ Hai điểm $A,B$ nằm khác phía đối với đường thẳng $d\Leftrightarrow \left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)<0.$
Các trường hợp đặc biệt:
+ Hai điểm $A,B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $d$ và cách đều đường thẳng $d\Leftrightarrow AB||d.$
+ Hai điểm $A,B$ nằm khác phía đối với đường thẳng $d$ và cách đều đường thẳng $d\Leftrightarrow d$ qua trung điểm của $AB.$
Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$
Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ được xác định theo công thức $d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}.$
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ bán kính $R$ có phương trình chính tắc dạng ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$
Phương trình dạng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c$ là phương trình tổng quát của đường tròn có tâm $I\left( a;b \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}.$
Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ bán kính $R.$
+ Nếu $d\left( I,d \right)>R$ thì $d$ và $\left( C \right)$ không có điểm chung.
+ Nếu $d\left( I,d \right)=R$ thì $d$ và $\left( C \right)$ có đúng một điểm chung $H,$ lúc này $d$ gọi là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ và $H$ gọi là tiếp điểm.
+ Nếu $d\left( I,d \right)<R$ thì $d$ và $\left( C \right)$ có hai điểm chung phân biệt $A,B$ và $AB=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,d \right)}.$
Khi đó với điểm $M$ tuỳ ý nằm trên $d$ luôn có $MA.MB=\left| M{{I}^{2}}-{{R}^{2}} \right|.$
Xét đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ có tâm ${{I}_{1}}$ bán kính ${{R}_{1}}$ và đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ có tâm ${{I}_{2}}$ bán kính ${{R}_{2}}.$
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ không có điểm chung và nằm ngoài nhau.
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ có đúng một điểm chung $H$ và được gọi là tiếp xúc ngoài với nhau tại tiếp điểm $H$ và $\overrightarrow{{{I}_{1}}H}=-\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}.\overrightarrow{{{I}_{2}}H}.$
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ có đúng một điểm chung $H$ và được gọi là tiếp xúc trong với nhau tại tiếp điểm $H$ và $\overrightarrow{{{I}_{1}}H}=\dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}.\overrightarrow{{{I}_{2}}H}.$
+ Nếu $\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ có hai điểm chung phân biệt $A,B.$
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}<\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|\Rightarrow \left( {{C}_{1}} \right),\left( {{C}_{2}} \right)$ không có điểm chung và một đường tròn chứa đường tròn còn lại.
Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5
PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)
XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)
LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)
XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán
Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: