Dạng 1: Xác định số đo góc của một tam giác
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(-1;2;4),B(-1;1;4),C(0;0;4).$ Số đo của góc $\angle ABC$ là ?
A. ${{135}^{0}}.$
B. ${{45}^{0}}.$
C. ${{60}^{0}}.$
D. ${{120}^{0}}.$
Giải. Ta có $\overrightarrow{BA}=(0;1;0),\overrightarrow{BC}=(1;-1;0)$ vì vậy $\cos \angle ABC=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}=\frac{0.1+1.(-1)+0.0}{\sqrt{{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \angle ABC={{135}^{0}}.$ Chọn đáp án A.
Dạng 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
Tâm ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ là điểm thuộc mặt phẳng $(ABC)$ và cách đều các đỉnh của tam giác. Vì vậy để tìm toạ độ tâm ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ chúng ta giải hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{align} & IA=IB \\ & IA=IC \\ & \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{IA}=0 \\ \end{align} \right..\]
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(1;2;-1),B(2;3;4),C(3;5;-2).$ Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC.$
A. $I\left( \frac{5}{2};4;1 \right).$
B. $I\left( \frac{37}{2};-7;0 \right).$
C. $I\left( -\frac{27}{2};15;2 \right).$
D. $I\left( 2;\frac{7}{2};-\frac{3}{2} \right).$
Giải. Toạ độ tâm ngoại tiếp $I$ của tam giác $ABC$ là nghiệm của hệ \[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} IA = IB \hfill \\ IA = IC \hfill \\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {IA} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 4)^2} \hfill \\ {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 5)^2} + {(z + 2)^2} \hfill \\ ( - 16;11;1).(x - 1;y - 2;z + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 2y + 10z - 23 = 0 \hfill \\ 4x + 6y - 2z - 32 = 0 \hfill \\ - 16(x - 1) + 11(y - 2) + 1(z + 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{5}{2} \hfill \\ y = 4 \hfill \\ z = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2};4;1} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]
Chọn đáp án A.
*Chú ý. Với bài toán đặc biệt này, các bạn có thể nhận biết tam giác ABC vuông tại A, do đó tâm ngoại tiếp I là trung điểm cạnh huyền BC.
Dạng 3: Xác định toạ độ trực tâm của tam giác
Trực tâm $H$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ và có tính chất vuông góc như sau $HA\bot BC,HB\bot CA,HC\bot AB.$
Do vậy toạ độ trực tâm $H$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0 \\ & \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0 \\ & \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{HA}=0 \\ \end{align} \right..\]
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho các điểm $A(2;3;1),B(-1;2;0),C(1;1;-2).$ Tìm toạ độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$
A. $H\left( \frac{14}{15};\frac{61}{30};-\frac{1}{3} \right).$
B. $H\left( \frac{2}{5};\frac{29}{15};-\frac{1}{3} \right).$
C. $H\left( \frac{2}{15};\frac{29}{15};-\frac{1}{3} \right).$
D. $H\left( \frac{14}{15};\frac{61}{15};-\frac{1}{3} \right).$
Giải. Toạ độ trực tâm $H$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ là nghiệm của hệ phương trình
\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} = 0 \hfill \\ \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} = 0 \hfill \\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {HA} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} ( - 3; - 1; - 1).(x - 1;y - 1;z + 2) = 0 \hfill \\ ( - 1; - 2; - 3).(x + 1;y - 2;z) = 0 \hfill \\ (1; - 8;5).(x - 2;y - 3;z - 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 3(x - 1) - 1(y - 1) - 1(z + 2) = 0 \hfill \\ - 1(x + 1) - 2(y - 2) - 3z = 0 \hfill \\ 1(x - 2) - 8(y - 3) + 5(z - 1) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{2}{{15}} \hfill \\ y = \frac{{29}}{{15}} \hfill \\ z = - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.. \hfill \\ \end{gathered} \]
Chọn đáp án C.
Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2019 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.
Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về: