Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh hay được sử dụng chương Nguyên hàm và tích phân phát hành tại Vted.vn

A - TÌM NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH TÍCH PHÂN

DẠNG 1: TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN DỰA TRÊN CẬN VÀ PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ

A – Với $y=f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a;b],$ ta có $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx},$ phép đổi biến $x=a+b-t.$

Do đó $I=\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f(a+b-x)dx}=\dfrac{1}{m+n}\int\limits_{a}^{b}{\left[ mf(x)+nf(a+b-x) \right]dx}.$

B – Với $f(x)$ là hàm số lẻ, liên tục trên đoạn $[-a;a],$ tức $f(-x)=-f(x),$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = - \int\limits_0^a {f(x)dx} \\ \int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = 0 \end{array} \right..$

Chứng minh:

Đổi biến $x=-t\Rightarrow dx=-dt;x=-a\Rightarrow t=a;x=0\Rightarrow t=0$ khi đó

$\int\limits_{-a}^{0}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{0}{f(-t)(-dt)}=\int\limits_{0}^{a}{f(-t)dt}=\int\limits_{0}^{a}{-f(t)dt}=-\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}\left( f(-x)=-f(x) \right).$

và $\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int\limits_{-a}^{0}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}=0.$

C – Với $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên đoạn $[-a;a],$ tức $f(-x)=f(x),$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} \\ \int\limits_{ - a}^a {\frac{{f(x)}}{{1 + {b^x}}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} = \int\limits_0^a {f(x)dx} = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \end{array} \right..$

Chứng minh:

Đổi biến $x=-t\Rightarrow dx=-dt;x=-a\Rightarrow t=a;x=0\Rightarrow t=0$ khi đó

$\int\limits_{-a}^{0}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{0}{f(-t)(-dt)}=\int\limits_{0}^{a}{f(-t)dt}=\int\limits_{0}^{a}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}\left( f(-t)=f(t) \right)$

và $\int\limits_{-a}^{a}{f(x)dx}=\int\limits_{-a}^{0}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}=2\int\limits_{-a}^{0}{f(x)dx}=2\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}.$

Xét \[g(x)=\frac{f(x)}{1+{{b}^{x}}}\] khi đó theo tính chất tích phân dựa trên phép đổi biến có:

\[\begin{array}{c} \int\limits_{ - a}^a {g(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {\left[ {g(x) + g( - x)} \right]dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {\left( {\frac{{f(x)}}{{1 + {b^x}}} + \frac{{f( - x)}}{{1 + {b^{ - x}}}}} \right)dx} \\ = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {\left( {\frac{{f(x)}}{{1 + {b^x}}} + \frac{{f(x)}}{{1 + {b^{ - x}}}}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {\left( {\frac{{f(x)}}{{1 + {b^x}}} + \frac{{{b^x}f(x)}}{{1 + {b^x}}}} \right)dx} \\ = \frac{1}{2}\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx} \left( {f( - x) = f(x)} \right). \end{array}\]

D – Với $f(x)$ là hàm tuần hoàn chu kì $T,$ liên tục trên $\mathbb{R}$ tức $f(x+T)=f(x),$ ta có

$\left\{ \begin{gathered} \int\limits_0^{nT} {f(x)dx} = n\int\limits_0^T {f(x)dx} \hfill \\ \int\limits_0^T {f(x)dx} = \int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} ,\forall a \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Chứng minh:

Tách tích phân \[\int\limits_{0}^{nT}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}+\int\limits_{T}^{2T}{f(x)dx}+...+\int\limits_{(n-1)T}^{nT}{f(x)dx}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{(k-1)T}^{kT}{f(x)dx}}.\]

Đổi biến \[x=t+(k-1)T\Rightarrow dx=dt;x=(k-1)T\Rightarrow t=0;x=kT\Rightarrow t=T.\]

Khi đó \[\int\limits_{(k-1)T}^{kT}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{T}{f\left( t+(k-1)T \right)dt}=\int\limits_{0}^{T}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}\left( f(t)=f\left( t+(k-1)T \right) \right)\]

Vậy \[\int\limits_{0}^{nT}{f(x)dx}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{(k-1)T}^{kT}{f(x)dx}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}}=n\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}.\]

Tính chất tiếp theo tách thành tổng các tích phân: \[\int\limits_{a}^{a+T}{f(x)dx}=\int\limits_{a}^{0}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{T}{f(x)dx}+\int\limits_{T}^{a+T}{f(x)dx}.\]

Đổi biến \[x=t+T\Rightarrow dx=dt;x=T\Rightarrow t=0;x=a+T\Rightarrow t=a.\]

Khi đó \[\int\limits_{T}^{a+T}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{a}{f(t+T)dt}=\int\limits_{0}^{a}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}=-\int\limits_{a}^{0}{f(x)dx}.\]

Suy ra điều phải chứng minh.

DẠNG 2: $\int\limits_{a}^{b}{\max \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}$ và $\int\limits_{a}^{b}{\min \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}.$

• $\int\limits_{a}^{b}{\max \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}=\int\limits_{a}^{b}{\frac{f(x)+g(x)+\left| f(x)-g(x) \right|}{2}dx};$
• $\int\limits_{a}^{b}{\min \left\{ f(x),g(x) \right\}dx}=\int\limits_{a}^{b}{\frac{f(x)+g(x)-\left| f(x)-g(x) \right|}{2}dx}.$

B - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ

>>Xem thêm Công thức tính nhanh diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành

>>Xem thêm Công thức giải nhanh hình toạ độ không gian Oxyz

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi thử THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán lần 1 Trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề tham khảo THPT Quốc Gia 2019 Môn Toán chính thức của BGD & ĐT kèm lời giải chi tiết

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 trường THPT Chuyên ĐH Vinh năm học 2018 - 2019

>>Xem thêm Đề thi kèm lời giải chi tiết đề thi Học kì I Môn Toán lớp 12 sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định năm học 2018 - 2019

Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2020 có lời giải chi tiết

Ngay sau khi BGD công bố đề tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán Vted sẽ cập nhật đề thi kèm lời giải chi tiết bằng video + text ngay tại bài viết này. 

Các thông tin hữu ích liên quan:

Cập nhật ngày 30/03/2020: Trong tuần này(từ ngày 30/03/2020 đến hết ngày 05/04/2020), Bộ GD-ĐT sẽ công bố hướng dẫn tinh giản chương trình và Đề tham khảo kỳ thi THPTQG 2020.

Cập nhật ngày 24/03/2020: Đề THPTGQ 2020 không bỏ lớp 11 VD và VDC tập trung chủ yếu HKI lớp 12 HKII: Ôn luyện nhẹ nhàng.