Tổng hợp tổ hợp - xác suất về thành lập các số tự nhiên

Ví dụ 1: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm sáu chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1;2;3;4;5;6.$ Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn có tổng ba chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của ba chữ số còn lại 3 đơn vị.

Có tất cả $6!$ số thuộc $S.$

Giả sử số cần tìm có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ với ${{a}_{i}}\in X=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\};{{a}_{i}}\ne {{a}_{j}},\forall i\ne j$ và ${{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+3.$

Ta có ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}=1+2+3+4+5+6=21.$

Do đó ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=9;{{a}_{4}}+{{a}_{5}}+{{a}_{6}}=12.$

Vậy $({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}})$ là hoán vị của $(1,2,6);(1,3,5);(2,3,4)$ và $({{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}})$ tương ứng với hoán vị của $(3,4,5);(2,4,6);(1,5,6).$

Vậy sẽ có tất cả $C_{3}^{1}\times 3!\times 3!$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\frac{C_{3}^{1}\times 3!\times 3!}{6!}=\frac{3}{20}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có $9$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S.$ Xác suất để số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ sao cho chữ số $0$ luôn đứng giữa hai chữ số lẻ bằng

Số các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau là $9A_{9}^{8}.$

Theo yêu cầu bài toán thì số cần tìm có 4 chữ số lẻ và 5 chữ số chẵn, trong đó có chữ số chẵn 0 và chữ số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ.

Xét tập ${{X}_{1}}=\left\{ 1,3,5,7,9 \right\},{{X}_{2}}=\left\{ 2,4,6,8 \right\}.$

+ Chọn ra 4 chữ số lẻ từ ${{X}_{1}}$ có $C_{5}^{4}$ cách.

+ Chọn ra 2 chữ số lẻ từ 4 số vừa chọn ra có $C_{4}^{2}$ cách. Rồi xếp chữ số 0 xen giữa 2 chữ số lẻ này có 2 cách tạo thành phần tử x.

+ Xếp x cùng với 6 chữ số còn lại (gồm 4 chữ số chẵn thuộc ${{X}_{2}}$ và 2 chữ số lẻ còn lại) có $7!$ cách.

Vậy có tất cả $\left( C_{5}^{4} \right)\left( C_{4}^{2} \right)\left( 2 \right)\left( 7! \right)$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\frac{\left( C_{5}^{4} \right)\left( C_{4}^{2} \right)\left( 2 \right)\left( 7! \right)}{9A_{9}^{8}}=\frac{5}{54}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp gồm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để số được chọn nhỏ hơn 2020 bằng

Có tất cả $9A_{9}^{3}$ số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.

Gọi số thoả mãn yêu cầu bài toán là $N=\overline{abcd}<2020.$

TH1: Nếu $a=1$ khi đó $\overline{bcd}$ có $A_{9}^{3}$ cách.

TH2: Nếu $a=2$ khi đó $\overline{bcd}\in \left\{ 013,...,019 \right\}$ có 7 cách.

Vậy có tất cả $A_{9}^{3}+7$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{A_{9}^{3}+7}{9A_{9}^{3}}=\dfrac{73}{648}.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp $\left\{ \text{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\right\}.$ Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S,$ xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng

Số các số tự nhiên thuộc $S$ là $A_{9}^{4}.$ Tập $\left\{ \text{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \right\}$ phân thành hai tập ${{X}_{1}}=\left\{ 1,3,5,7,9 \right\};{{X}_{2}}=\left\{ 2,4,6,8 \right\}.$

Ta tìm số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau mà hai chữ số liên tiếp không cùng chẵn:

TH1: Bốn chữ số đều lẻ (chọn ra 4 số thuộc ${{X}_{1}}$ rồi xếp 4 số này) có $C_{5}^{4}\times 4!$ số.

TH2: Ba chữ số lẻ và một chữ số chẵn (chọn ra 3 số thuộc ${{X}_{1}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{2}}$ rồi xếp 4 số này) có $C_{5}^{3}\times C_{4}^{1}\times 4!$ số.

TH3: Hai chữ số lẻ và hai chữ số chẵn:

+ Chọn ra 2 số thuộc ${{X}_{1}}$ và 2 số thuộc ${{X}_{2}}$ có $C_{5}^{2}\times C_{4}^{2}$ cách.

+ Xếp 2 số lẻ cạnh nhau có $2!$ cách.

+ Xếp 2 số chẵn vào 1 trong 3 vị trí (đầu, cuối, giữa hai số lẻ) có $A_{3}^{2}$ cách.

Vậy trường hợp này có $C_{5}^{2}\times C_{4}^{2}\times 2!\times A_{3}^{2}$ số.

Vậy có tất cả $C_{5}^{4}\times 4!+C_{5}^{3}\times C_{4}^{1}\times 4!+C_{5}^{2}\times C_{4}^{2}\times 2!\times A_{3}^{2}$ số thoả mãn. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{C_{5}^{4}\times 4!+C_{5}^{3}\times C_{4}^{1}\times 4!+C_{5}^{2}\times C_{4}^{2}\times 2!\times A_{3}^{2}}{A_{9}^{4}}=\frac{25}{42}.$ Chọn đáp án A.

Cách 2: Ta tìm các số không thoả mãn tức có hai chữ số chẵn cạnh nhau (số đó phải có ít nhất 2 chữ số chẵn)

TH1: Bốn chữ số đều chẵn có $4!$ số.

TH2: Ba chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ có $C_{4}^{3}\times C_{5}^{1}\times 4!$ số.

TH3: Hai chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ

+ Chọn ra 2 số chẵn và 2 số lẻ có $C_{4}^{2}\times C_{5}^{2}$ cách.

+ Xếp 2 số chẵn cạnh nhau có $2!$ cách tạo thành phần tử $X.$

+ Xếp $X$ cùng 2 số lẻ có $3!$ cách.

Vậy trường hợp này có $C_{4}^{2}\times C_{5}^{2}\times 2!\times 3!$ số.

Vậy có tất cả $4!+C_{4}^{3}\times C_{5}^{1}\times 4!+C_{4}^{2}\times C_{5}^{2}\times 2!\times 3!$ số có hai chữ số chẵn cạnh nhau.

Xác suất cần tính bằng $1-\dfrac{4!+C_{4}^{3}\times C_{5}^{1}\times 4!+C_{4}^{2}\times C_{5}^{2}\times 2!\times 3!}{A_{9}^{4}}=\frac{25}{42}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ có thể tạo thành bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau đồng thời mỗi chữ số chẵn luôn đứng giữa hai chữ số lẻ?

TH1: Số gồm 1 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ

+ Xếp 4 chữ số lẻ 1, 3, 5,7 trước có 4! cách.

+ Chọn ra 1 trong 3 chữ số chẵn 2, 4, 6 có $C_{3}^{1}$ cách.

+ Xếp chữ số chẵn này vào 1 trong 3 khe trống giữa các chữ số lẻ có 3 cách.

Vậy trường hợp này có $4!\times C_{3}^{1}\times 3$ số.

TH2: Số gồm 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

+ Chọn ra 3 trong 4 chữ số lẻ 1, 3, 5, 7 rồi xếp chúng cạnh nhau có $C_{4}^{3}\times 3!$ cách.

+ Chọn ra 2 trong 3 chữ số chẵn 2, 4, 6 có $C_{3}^{2}$ cách.

+ Xếp 2 chữ số chẵn này vào 2 khe trống giữa các chữ số lẻ có 2! cách.

Vậy trường hợp này có $C_{4}^{3}\times 3!\times C_{3}^{2}\times 2!$ số.

Vậy có tất cả $4!\times C_{3}^{1}\times 3+C_{4}^{3}\times 3!\times C_{3}^{2}\times 2!=360$ số.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Từ các chữ số $0,1,2,4,5,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho $15?$

A. $124.$

B. $120.$

C. $136.$

D. $132.$

Giải. Số cần tìm có dạng $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.$ Vì $N \vdots 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} N \vdots 5 \hfill \\ N \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {a_4} \in \left\{ {0,5} \right\} \hfill \\ {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 3k \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Phân chia tập $X=\left\{ 0,1,2,4,5,7,8,9 \right\}$ thành các tập con ${{X}_{1}}=\left\{ 0,9 \right\};{{X}_{2}}=\left\{ 1,4,7 \right\};{{X}_{3}}=\left\{ 2,5,8 \right\}.$

+ Nếu ${{a}_{4}}=0\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=3k$ khi và chỉ khi cả 3 số thuộc ${{X}_{2}};$ cả 3 số thuộc ${{X}_{3}};$ có 1 số thuộc ${{X}_{1}}\backslash \{0\}$ và 1 số thuộc ${{X}_{2}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{3}}$

trường hợp này có tất cả $3!+3!+C_{1}^{1}C_{3}^{1}C_{3}^{1}\times 3!=66$ số.

+ Nếu ${{a}_{4}}=5\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=3k-5=3(k-2)+1=3m+1$ khi và chỉ khi có 2 số thuộc ${{X}_{1}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{2}};$ có 2 số thuộc ${{X}_{2}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{3}}\backslash \{5\};$ có 2 số thuộc ${{X}_{3}}\backslash \{5\}$ và 1 số thuộc ${{X}_{1}}$

trường hợp này có tất cả $C_{2}^{2}C_{3}^{1}\times \left( 2\times 2! \right)+C_{3}^{2}C_{2}^{1}\times 3!+\left( 2\times 2!+3! \right)=58$ số.

Vậy có tất cả $66+58=124$ số thoả mãn. Chọn đáp án A. *Đây là bài toán khó nhé các em vì biện luận hơi mệt =))

Ví dụ 7: Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $A$. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.

A. \[\frac{1}{4}\].                              

B. \[\frac{11}{27}\].  

C. \[\frac{5}{6}\].                    

D. \[\frac{5}{12}\].

Lời giải. Số các số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau là $9A_{9}^{8}$ số.

Tổng của 10 số tự nhiên đầu tiên bằng $0+1+2+...+9=45$ là một số chia hết cho 3, vậy để số có chín chữ số khác nhau chia hết cho 3 thì số đó được thành lập từ tập các chữ số $S=\left\{ 0,1,2,...,9 \right\}\backslash \{3k\},k=0,1,2,3.$

Có tất cả $9!+8\times 8!+8\times 8!+8\times 8!=1330560.$ Xác suất cần tính bằng $\frac{1330560}{9\times 9!}=\frac{11}{27}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 8: Gọi $S$ là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số được thành lập từ tập $X=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}.$ Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S,$ xác suất để số chọn được là một số chia hết cho 6 bằng

Xem thêm bài viết tương tự: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số và là số chia hết cho 15

A. $\dfrac{1}{3}.$

B. $\dfrac{5}{6}.$

C. $\dfrac{1}{6}.$

D. $\dfrac{4}{9}.$

Giải chi tiết. Có tất cả ${{6}^{5}}$ số tự nhiên gồm 5 chữ số thành lập từ tập $X\Rightarrow n(\Omega )={{6}^{5}}.$

Giả sử số chọn được thoả mãn $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} = 6m \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a_5} \in \left\{ {2,4,6} \right\} \hfill \\ {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = 3n \hfill \\ \end{gathered} \right..$

+ ${{a}_{5}}$ có 3 cách.

+ mỗi số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}$ có 6 cách.

-       Nếu ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=3p\Rightarrow {{a}_{4}}\in \left\{ 3,6 \right\}$ có 2 cách.

-       Nếu ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=3p+1\Rightarrow {{a}_{4}}\in \left\{ 2,5 \right\}$ có 2 cách.

-       Nếu ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=3p+2\Rightarrow {{a}_{4}}\in \left\{ 1,4 \right\}$ có 2 cách.

Vậy là với mọi trường hợp đã chọn xong các chữ số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{5}}$ thì ${{a}_{4}}$ luôn có 2 cách.

Vậy có tất cả $3\times {{6}^{3}}\times 2$ cách chọn ra được số thoả mãn. Xác suất bằng $\dfrac{3\times {{6}^{3}}\times 2}{{{6}^{5}}}=\dfrac{1}{6}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 9: Một số tự nhiên được gọi là số thú vị nếu số này có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập $\left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$ và số đó chia hết 1111. Hỏi có bao nhiêu số thú vị như thế?

Lời giải chi tiết: Giả sử $m=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{b}_{1}}{{b}_{2}}{{b}_{3}}{{b}_{4}}}$ là một số thú vị.

Ta có tổng các chữ số m là 1+2+…+8=36 chia hết cho 9 nên m chia hết cho 9. Do 9 và 1111 có ước chung lớn nhất là 1 nên m chia hết cho 9999.

Đặt: $x=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}};\,\,y=\overline{{{b}_{1}}{{b}_{2}}{{b}_{3}}{{b}_{4}}}$,

Ta có: $m=x{{.10}^{4}}+y=9999x+(x+y)$chia hết cho 9999 từ đó suy ra $(x+y)$ chia hết cho 9999. Mà: $0<x+y<2.9999\Rightarrow x+y=9999$

Do đó: ${{a}_{1}}+{{b}_{1}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}={{a}_{3}}+{{b}_{3}}={{a}_{4}}+{{b}_{4}}=9$ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có 4 cặp (1;8), (2;7), (3;6), (4;5).

Nên 8 cách chọn ${{a}_{1}}$; 6 cách chọn ${{a}_{2}}$; 4 cách chọn ${{a}_{3}}$; 2 cách chọn ${{a}_{4}}$. (Chọn ${{a}_{i}}$ có luôn ${{b}_{i}}$).

Vậy số các số thú vị là: 8.6.4.2=384 (số).

Ví dụ 10: Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $[1;16].$ Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

A. $\frac{683}{2048}.$

B. $\frac{1457}{4096}.$

C. $\frac{77}{512}.$

D. $\frac{19}{56}.$

Lời giải chi tiết: Mỗi bạn có 16 cách viết nên số phần tử không gian mẫu là ${{16}^{3}}.$

Các số tự nhiên từ 1 đến 16 chia thành 3 nhóm:

• Nhóm I gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm $5$ số
• Nhóm II gồm các số tự nhiên cho 3 dư 1 gồm $6$ số.
• Nhóm III gồm các số tự nhiên cho 3 dư 2 gồm 5 số.

Để ba số có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hơp sau:

• Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm I có ${{5}^{3}}$ cách.
• Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm II có ${{6}^{3}}$ cách.
• Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm III có ${{5}^{3}}$ cách.
• Mỗi bạn viết được một số thuộc  một nhóm có $3!\times \left( 5\times 6\times 5 \right).$

Vậy có tất cả ${{5}^{3}}+{{6}^{3}}+{{5}^{3}}+3!\times \left( 5\times 6\times 5 \right)=1366$ kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất.

Xác suất cần tính bằng $\frac{1366}{{{16}^{3}}}=\frac{683}{2048}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 11: Lập ngẫu nhiên các số tự nhiên có 7 chữ số từ các chữ số 1,2,3,4. Xác suất để số lập được thỏa mãn: các chữ số 1,2,3 có mặt hai lần, chữ số 4 có mặt một lần đồng thời các chữ số lẻ đều nằm ở các vị trí lẻ (tính từ trái qua phải) bằng

Số các số tự nhiên gồm 7 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4 là ${{4}^{7}}.$

Ta tìm số các số thoả mãn yêu cầu bài toán:

Xét một dòng gồm 7 ô được đánh số từ 1 đến 7 theo thứ tự từ trái qua phải:

1

2

3

4

5

6

7

+ Chọn lấy 2 trong 4 ô lẻ rồi xếp 2 chữ số 1 vào có $C_{4}^{2}\times 1$ cách.

+ 2 ô lẻ còn lại xếp 2 chữ số 3 vào có 1 cách.

+ Chọn lấy 2 trong 3 ô còn lại rồi xếp 2 chữ số 2 vào có $C_{3}^{2}\times 1$ cách.

+ Ô còn lại cuối cùng xếp chữ số 4 vào có 1 cách.

Vậy có tất cả $C_{4}^{2}C_{3}^{2}$ số thoả mãn yêu cầu. Xác suất cần tính bằng $\dfrac{C_{4}^{2}C_{3}^{2}}{{{4}^{7}}}=\dfrac{9}{8192}.$ Chọn đáp án A.

Ví dụ 12: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S , xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng có cùng tính chẵn lẻ bằng

Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau là $9A_{9}^{5}.$

Ta tìm các số tự nhiên $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ thoả mãn:

TH1: Cả hai chữ số ${{a}_{5}},{{a}_{6}}$ lẻ khi đó $\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ có $A_{5}^{2}$ cách và $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}$ có $7A_{7}^{3}$ cách, trường hợp này có $A_{5}^{2}\left( 7A_{7}^{3} \right)$ số.

TH2: Cả hai chữ số ${{a}_{5}},{{a}_{6}}$ chẵn và khác 0 khi đó $\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ có $A_{4}^{2}$ cách và $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}$ có $7A_{7}^{3}$ cách, trường hợp này có $A_{4}^{2}\left( 7A_{7}^{3} \right)$ số.

TH3: Cả hai chữ số ${{a}_{5}},{{a}_{6}}$ chẵn trong đó 1 chữ số là chữ số 0 khi đó $\overline{{{a}_{5}}{{a}_{6}}}$ có $C_{4}^{1}\times 2!$ cách và $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}$ có $A_{8}^{4}$ cách, trường hợp này có $C_{4}^{1}\times 2!\left( A_{8}^{4} \right)$ số.

Vậy có tất cả $A_{5}^{2}\left( 7A_{7}^{3} \right)+A_{4}^{2}\left( 7A_{7}^{3} \right)+C_{4}^{1}\times 2!\left( A_{8}^{4} \right)$ số thoả mãn.

Xác suất cần tính bằng $\dfrac{A_{5}^{2}\left( 7A_{7}^{3} \right)+A_{4}^{2}\left( 7A_{7}^{3} \right)+C_{4}^{1}\times 2!\left( A_{8}^{4} \right)}{9A_{9}^{5}}=\dfrac{4}{9}.$ Chọn đáp án A.