Từ các chữ số $0,1,2,4,5,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho $15?$
- Đã đăng 2020-06-26 01:07:24
- 28.147 lượt xem
- 0 bình luận
- Kiến thức toán học
Từ các chữ số $0,1,2,4,5,7,8,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho $15?$
|
A. $124.$ |
B. $120.$ |
C. $136.$ |
D. $132.$ |
>>Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
Giải. Số cần tìm có dạng $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}}.$ Vì $N \vdots 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} N \vdots 5 \hfill \\ N \vdots 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {a_4} \in \left\{ {0,5} \right\} \hfill \\ {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 3k \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Phân chia tập $X=\left\{ 0,1,2,4,5,7,8,9 \right\}$ thành các tập con ${{X}_{1}}=\left\{ 0,9 \right\};{{X}_{2}}=\left\{ 1,4,7 \right\};{{X}_{3}}=\left\{ 2,5,8 \right\}.$
+ Nếu ${{a}_{4}}=0\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=3k$ khi và chỉ khi cả 3 số thuộc ${{X}_{2}};$ cả 3 số thuộc ${{X}_{3}};$ có 1 số thuộc ${{X}_{1}}\backslash \{0\}$ và 1 số thuộc ${{X}_{2}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{3}}$
trường hợp này có tất cả $3!+3!+C_{1}^{1}C_{3}^{1}C_{3}^{1}\times 3!=66$ số.
+ Nếu ${{a}_{4}}=5\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}=3k-5=3(k-2)+1=3m+1$ khi và chỉ khi có 2 số thuộc ${{X}_{1}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{2}};$ có 2 số thuộc ${{X}_{2}}$ và 1 số thuộc ${{X}_{3}}\backslash \{5\};$ có 2 số thuộc ${{X}_{3}}\backslash \{5\}$ và 1 số thuộc ${{X}_{1}}$
trường hợp này có tất cả $C_{2}^{2}C_{3}^{1}\times \left( 2\times 2! \right)+C_{3}^{2}C_{2}^{1}\times 3!+\left( 2\times 2!+3! \right)=58$ số.
Vậy có tất cả $66+58=124$ số thoả mãn. Chọn đáp án A.
*Đây là bài toán khó nhé các em vì biện luận hơi mệt =))
>>Xem thêm Tổng hợp tổ hợp - xác suất về thành lập các số tự nhiên
>>Xem thêm Tổng hợp tổ hợp - xác suất về thành lập các số tự nhiên
Xem thêm các bài toán cùng dạng về số tự nhiên:
>>Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3
>>Xác suất để nhận được ít nhất một số chia hết cho 4
>>Xác suất để số chọn được là một số tự nhiên gồm 5 chữ số và là số chia hết cho 6
>>Số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho 15
>>Số tự nhiên gồm 8 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 và chia hết cho 1111
>>Số tự nhiên có bốn chữ số mà một chữ số của nó bằng tổng của ba chữ số còn lại
Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5
Bảng ghi nhớ điều kiện chia hết cho một số nguyên
|
Chia hết cho |
Điều kiện chia hết |
|
2 |
Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8). |
|
3 hoặc 9 |
Số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9). VD: 2025 chia hết cho 3 vì 2+0+2+5=9 chia hết cho 3 VD: 2880 chia hết cho 9 vì 2+8+8+0=18 chia hết cho 9. |
|
4 |
Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 4. VD: 00, 04, 08, 24, 32,… |
|
5 |
Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. |
|
6 |
Số đó chia hết cho cả 2 và 3. |
|
7 |
Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 7. VD: 1369851 chia hết cho 7 vì 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69. |
|
8 |
Ba chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 8. VD: 008, 016, 640,… |
|
10 |
Chữ số hàng đơn vị là 0. |
|
11 |
Tổng đan dấu các chữ số của nó là một số chia hết cho 11 tức $N=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\vdots 11$ thì điều kiện là ${{a}_{1}}-{{a}_{2}}+{{a}_{3}}-...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}{{a}_{n}}\vdots 11.$ VD: 918082 chia hết cho 11 vì 9-1+8-0+8-2=22 chia hết cho 11. |
|
12 |
Số đó chia hết cho cả 3 và 4. |
|
13 |
Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 13. VD: 2911272 chia hết cho 13 vì 272 − 911 + 2 = −637 chia hết cho 13. |
|
14 |
Số đó chia hết cho cả 2 và 7. |
|
15 18 21 22 24 26 28 30 |
Số đó chia hết cho cả 3 và 5. Số đó chia hết cho cả 2 và 9. Số đó chia hết cho cả 3 và 7. Số đó chia hết cho cả 2 và 11. Số đó chia hết cho cả 3 và 8. Số đó chia hết cho cả 2 và 13. Số đó chia hết cho cả 4 và 7. Số đó chia hết cho cả 3 và 10. |
|
16 |
Bốn chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 16. VD: 157648 chia hết cho 16 vì 7648 = 478 × 16. |
|
20 hoặc 25 |
Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 20 (hoặc 25). |
Ghi chú
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:
- Fanpage: Vted.vn - Học toán online chất lượng cao
- Email: vted.vn@gmail.com
