Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế

>>Khai triển Taylor và ứng dụng

>>Tính đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm số

1.     Phân tích cận biên

Xét mô hình kinh tế được biểu diễn qua hàm số $y=f(x)$ xác định và khả vi trên miền $D,$ trong đó coi $x$ là biến đầu vào và $y$ là biến đầu ra. Ta xét tại điểm $x={{x}_{0}}$ xem khi tăng $x$ thêm 1 đơn vị thì $y$ thay đổi như nào?

Ta có

\[\begin{gathered} f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) - f'({x_0})\Delta x}}{{\Delta x}} = 0 \hfill \\ \Rightarrow f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) - f'({x_0})\Delta x = o\left( {\Delta x} \right) \hfill \\ \Rightarrow f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f'({x_0})\Delta x + o\left( {\Delta x} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

Khi $\Delta x$ đủ nhỏ ta có $f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})\approx {f}'({{x}_{0}})\Delta x.$

Cho $\Delta x=1\Rightarrow f({{x}_{0}}+1)-f({{x}_{0}})\approx {f}'({{x}_{0}}).$ Điều đó chưng tỏ tại $x={{x}_{0}}$ cho $x$ tăng 1 đơn vị thì $y$ tăng xấp xỉ ${f}'({{x}_{0}})$ đơn vị. Trong phân tích kinh tế, ${f}'({{x}_{0}})$ được gọi là giá trị cận biên của $y$ tại điểm ${{x}_{0}}.$

2. Hệ số co giãn

Xét mô hình kinh tế được biểu diễn qua hàm số $y=f(x)$ xác định và khả vi trên miền $D,$ trong đó coi $x$ là biến đầu vào và $y$ là biến đầu ra. Ta xét tại điểm $x={{x}_{0}}\in D$ xem khi tăng $x$ thêm 1% thì $y$ thay đổi như nào?

Giả sử tại điểm $x={{x}_{0}},$ thay đổi $x$ một lượng $\Delta x$ thì $y$ thay đổi một lượng $\Delta y({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}}).$

Phần trăm thay đổi của $x$ là $\dfrac{\Delta x}{{{x}_{0}}}100%;$ phần trăm thay đổi của $y$ là \[\dfrac{\Delta y({{x}_{0}})}{{{y}_{0}}}100%=\dfrac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{{{y}_{0}}}100%=\dfrac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}.\dfrac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}\dfrac{\Delta x}{{{x}_{0}}}100%.\]

Vậy khi $x$ tăng thêm 1% thì $y$ thay đổi $\varepsilon _{x}^{y}%$ với \[\varepsilon _{x}^{y}=\dfrac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}.\dfrac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}.\] Cho $\Delta x\to 0\Rightarrow \varepsilon _{x}^{y}={y}'({{x}_{0}}).\dfrac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}.$

Ý nghĩa kinh tế: Tại $x={{x}_{0}},$ khi $x$ tăng thêm 1% thì $y$ thay đổi một lượng khoảng $\varepsilon _{x}^{y}={y}'({{x}_{0}}).\dfrac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}$ %

+) Nếu $\varepsilon _{x}^{y}>0$ thì $y$ tăng $\varepsilon _{x}^{y}%.$

+) Nếu $\varepsilon _{x}^{y}<0$ thì $y$ giảm $-\varepsilon _{x}^{y}%.$

Trong phân tích kinh tế ta gọi $\varepsilon _{x}^{y}={y}'({{x}_{0}}).\dfrac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}$ là hệ số co giãn của hàm số $y$ theo $x$ tại $x={{x}_{0}}.$

3. Tối đa hoá lợi nhuận

CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ

Câu 1: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp $Q=5\sqrt{L}.$ Tính sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại mức sử dụng 100 đơn vị lao động và giải tích ý nghĩa của kết quả tìm được.

Ta có $MP{{P}_{L}}={Q}'(L)=\dfrac{5}{2\sqrt{L}}\Rightarrow MP{{P}_{L}}(100)=\dfrac{5}{2\sqrt{100}}=0,25.$ Điều này có ý nghĩa là tại mức sử dụng 100 đơn vị lao động, tăng thêm 1 đơn vị lao động thì sản lượng hiện vật tăng thêm khoảng 0,25 đơn vị hiện vật.

Câu 2: Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên thị trường với hàm cầu $Q=1500-5p.$ Hãy tính doanh thu cận biên tại mức sản lượng $Q=650$ và giải tích ý nghĩa kết quả tìm được.

Ta có $Q=1500-5p\Leftrightarrow p=-\dfrac{1}{5}Q+300\Rightarrow TR(Q)=pQ=-\dfrac{1}{5}{{Q}^{2}}+300Q.$

Do đó $MR=T{R}'(Q)=-\dfrac{2}{5}Q+300\Rightarrow MR(650)=40.$ Điều này có ý nghĩa tại mức sản lượng 650 nếu sản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm thì tổng doanh thu của công ty sẽ tăng thêm 40 đơn vị doanh thu.

Câu 3: Cho biết hàm doanh thu cận biên của doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại hàng hoá là $MR(Q)=40-0,45{{Q}^{2}}.$ Xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu hàng hoá của doanh nghiệp. Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá $p=30$ và nêu ý nghĩa của kết quả tính được.

Ta có $TR=\int{MR(Q)dQ}=\int{\left( 40-0,45{{Q}^{2}} \right)dQ}=40Q-0,15{{Q}^{3}}+{{C}_{0}}.$

Vì $TR(0)=0\Leftrightarrow {{C}_{0}}=0\Rightarrow TR=40Q-0,15{{Q}^{3}}=pQ\Rightarrow p=40-0,15{{Q}^{2}}\Leftrightarrow Q=\sqrt{\dfrac{40-p}{0,15}}\left( Q>0 \right).$

Ta có $\varepsilon _{p}^{Q}={Q}'(p).\dfrac{p}{Q}=\dfrac{-1}{2\times 0,15\sqrt{\dfrac{40-p}{0,15}}}.\dfrac{p}{Q}=-\dfrac{p}{2(40-p)}\Rightarrow \varepsilon _{p}^{Q}(p=30)=-1,5.$

Tại mức giá $p=30$ nếu tăng giá 1% thì lượng cầu giảm khoảng 1,5%.

Câu 4: Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược $p=1400-7,5Q.$ Hãy xác định hệ số co giãn của cầu theo giá tại mỗi mức giá $p.$ Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên $MC=3{{Q}^{2}}-12Q+140.$

Có $p=1400-7,5Q\Leftrightarrow Q=\dfrac{560}{3}-\dfrac{2}{15}p\Rightarrow \varepsilon _{p}^{Q}={Q}'(p).\dfrac{p}{Q}=-\dfrac{2}{15}.\dfrac{p}{\dfrac{560}{3}-\dfrac{2}{15}p}.$

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là

$\pi =TR-TC=\left( 1400Q-7,5{{Q}^{2}} \right)-\left( {{Q}^{3}}-6{{Q}^{2}}+140Q \right)=-{{Q}^{3}}-1,5{{Q}^{2}}+1260Q.$

+) Điều kiện cần: ${\pi }'=0\Leftrightarrow -3{{Q}^{2}}-3Q+1260=0\Leftrightarrow Q=20\left( Q>0 \right).$

+) Điều kiện đủ: ${\pi }''=-6Q-3\Rightarrow {\pi }''(20)=-123<0$ thoả mãn.

Vậy mức sản lượng cho tối đa lợi nhuận là 20.

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH 

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

KHOÁ PRO S1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

KHOÁ PRO S1 GIẢI TÍCH

tương đương chương trình Giải tích 1 và Giải tích 2 khối ngành kỹ thuật.