Ứng dụng điểm uốn của đồ thị hàm đa thức bậc ba (phần 1)

Hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị $(C).$ Điểm uốn của $(C)$ là điểm có toạ độ $I\left( -\frac{b}{3a};y\left( -\frac{b}{3a} \right) \right).$

• Với $A$ là điểm thuộc $(C)$ thì $AI$ cắt $(C)$ tại điểm thứ ba $B$ thoả mãn $IA=IB$ hay cách khác $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$

• Khi đó tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau.

Trích bài giảng vận dụng cao 2018 Môn Toán tại khoá học PRO XMAX Vted.vn

Câu 1. Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-1$ có đồ thị $(C).$ Hai điểm $A,B$ phân biệt trên $(C)$ có hoành độ lần lượt là $a$ và $b\text{ }(a>b)$ và tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau, $AB=2.$ Tính $S=2a+3b.$

Điểm uốn của $(C)$ là điểm $I(1;-1).$

Vậy $A(a;{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+2a-1),B(2-a;{{(2-a)}^{3}}-3{{(2-a)}^{2}}+2(2-a)-1).$

Do $AB = \sqrt {4{{(a - 1)}^2} + 4{{({a^3} - 3{a^2} + 2a)}^2}} = 2\left| {a - 1} \right|\sqrt {1 + {a^2}{{(a - 2)}^2}} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = 2 \end{array} \right..$

Do đó $a=2,b=0\Rightarrow S=4.$

Chọn đáp án A.

Xem thêm bài giảng và đề thi vận dụng cao 2018 Môn Toán tại Vted.vn