Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng - Diện tích mặt sân được chia bởi một đường cong bậc ba

Mặt sân của một công viên có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=100~\text{m, }AD=80~\text{m}.$ Để tạo thiết kế độc đáo và lạ mắt người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai khu gồm một khu dành cho trẻ em (màu hồng), một khu dành cho người lớn (màu xanh) và khi gắn lên hệ trục tọa độ $Oxy,$ đường cong trong hình vẽ là một phần của một đồ thị hàm số bậc ba.

Biết $AI=40~\text{m, }AE=60~\text{m, }AG=20~\text{m}$ và $EF||AB,\text{ }GH||AD.$ Mặt sân màu xanh chi phí hoàn thiện là $400\text{ }000$ đồng mỗi mét vuông và mặt sân màu hồng chi phí hoàn thiện là $600\text{ }000$ đồng mỗi mét vuông. Hỏi chi phí hoàn thiện cả mặt sân công viên này là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

>>Xem thêm: Các dạng bài toán thực tế ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh một trục

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Giải. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét thì tọa độ các điểm là $A\left( 0;0 \right),B\left( 100;0 \right),C\left( 100;80 \right),D\left( 0;80 \right)$ và $E\left( 0;60 \right),F\left( 100;60 \right),G\left( 20;0 \right),H\left( 20;60 \right),I\left( 0;40 \right).$

Đường cong bậc ba có phương trình $y-60=k{{\left( x-20 \right)}^{2}}\left( x-100 \right)$ (có hai điểm chung với đường thẳng $EF:y=60$ hoành độ là $x=20,\text{ }x=100$ trong đó tại $H$ là điểm tiếp xúc), đường cong này đi qua điểm $I\left( 0;40 \right)$

$\Leftrightarrow 40-60=k\cdot {{\left( 0-20 \right)}^{2}}\left( 0-100 \right)\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{2000}\Rightarrow y=\dfrac{1}{2000}{{\left( x-20 \right)}^{2}}\left( x-100 \right)+60.$

Diện tích mặt sân màu xanh là $S=\int\limits_{0}^{100}{\left[ \dfrac{1}{2000}{{\left( x-20 \right)}^{2}}\left( x-100 \right)+60 \right]dx}$ và diện tích mặt sân màu hồng là ${{S}_{ABCD}}-S=100\cdot 80-S.$

Chi phí hoàn thiện mặt sân công viên này là $0,4S+0,6\left( 100\cdot 80-S \right)\approx 3966,67\approx 3967$ (triệu đồng).

Câu hỏi tương tự, dành cho các em tự luyện

Mặt sân của một công viên có dạng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=30~\text{m, }AD=60~\text{m}.$ Để tạo thiết kế độc đáo và lạ mắt người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai khu gồm một khu dành cho trẻ em (màu hồng), một khu dành cho người lớn (màu vàng chanh) và khi gắn lên hệ trục tọa độ $Oxy,$ đường cong trong hình vẽ là một phần của một đồ thị hàm số $y=a\sin \left( bx \right)+c\text{ }\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$ với $b>0.$

Biết $AM=20~\text{m, }BE=5\pi ~\text{m}\text{.}$ Mặt sân màu vàng chanh chi phí hoàn thiện là $400\text{ }000$ đồng mỗi mét vuông và mặt sân màu hồng chi phí hoàn thiện là $600\text{ }000$ đồng mỗi mét vuông. Hỏi chi phí hoàn thiện cả mặt sân công viên này là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Lời giải

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau.

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.