Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng quỹ tích

f) Kỹ năng cần sử dụng

Đường cong $\left( L \right)$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn: độ dài đoạn thẳng, góc, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, trung điểm đoạn thẳng,...

Bước 1. Tìm được hoành độ điểm M, tung độ điểm M lần lượt là x và y.

Bước 2. Rút y theo x để áp dụng công thức (1) hoặc (2) hoặc phân chia hình phẳng giới hạn bởi ba đường.

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu 1 ［Q034006660］Người ta thiết kế hoa văn trên những viên gạch lát sàn hình vuông độ dài cạnh là 1 m với phần ở giữa là một bông hoa giới hạn bởi đường cong kín $(L)$ ．Biết rằng nếu $M, N$ là hai điểm nằm trên hai cạnh kề nhau của hình vuông và $M N=1 \mathrm{~m}$ thì $M N$ cắt $(L)$ tại điểm $P$ là trung điểm của $M N$. Diện tích của bông hoa trên mỗi viên gạch này là bao nhiêu centimét vuông？（làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 2 ［Q708339330］Người ta thiết kế hoa văn trên những viên gạch lát sàn hình vuông độ dài cạnh là 1 m với phần ở giữa là một bông hoa giới hạn bởi đường cong kín $(L)$. Biết rằng nếu $M$ là điểm thuộc $(L)$ thì khoảng cách từ nó đến một đỉnh của hình vuông bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ nó đến đường chéo của hình vuông không đi qua đỉnh đó．Diện tích của bông hoa trên mỗi viên gạch này là bao nhiêu centimét vuông？（làm tròn đến hàng đơn vị）．

Câu 3 ［Q738433834］Hoa văn ở giữa viên gạch lát hình vuông $A B C D$ độ dài cạnh 1 m được giới hạn bởi bốn đường cong $\left(L_{1}\right),\left(L_{2}\right),\left(L_{3}\right),\left(L_{4}\right)$ trong hình vẽ. Biết rằng $\left(L_{1}\right)$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M E=1,5 \cdot d(M, \Delta)$ với $E$ là trung điểm của $A D$ và $\Delta$ là trục đối xứng của hình vuông $A B C D ;\left(L_{2}\right)$ có được bằng cách lấy đối xứng $\left(L_{1}\right)$ qua $A C ;\left(L_{3}\right)$ có được bằng cách lấy đối xứng $\left(L_{1}\right)$ qua $\Delta$ và $\left(L_{4}\right)$ có được bằng cách lấy đối xứng $\left(L_{1}\right)$ qua $B D$ ．Diện tích của hoa văn đó là bao nhiêu centimét vuông？（làm tròn kết quả đến hàng đơn vị）．

Câu 4 [Q406768640] Ông An có một cái hồ có dạng tam giác đều $A B C$ cạnh bằng $40 \sqrt{3} \mathrm{~m}$. Ông muốn chia cái hồ đó thành hai phần: phần 1 dùng để nuôi vịt kí hiệu là hình phẳng $(H)$, phần 2 dùng để nuôi cá. Biết hình phẳng $(H)$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ nằm trong tam giác đều $A B C$ và thỏa mãn $d(M ; A C) \geq 10+M B$. Hãy tính diện tích phần dùng để nuôi cá theo đơn vị mét vuông. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 5 [Q624271844] Hình vẽ dưới đây cho biết một miền $(H)$ (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4. Miền $(H)$ này là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông không vượt quá khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích miền $(H)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 6 ［Q068083900］Người ta thiết kế hoa văn trên những viên gạch lát sàn hình vuông $A B C D$ độ dài cạnh là 1 m với phần ở giữa là một bông hoa giới hạn bởi đường cong kín $(L)$. Biết rằng nếu $M$ là điểm thuộc $(L)$ thì tích khoảng cách từ nó đến hai đường chéo của hình vuông bằng tích khoảng cách từ nó đến hai cạnh $A B, A D$ hoặc $C B, C D$ ．Diện tích của bông hoa trên mỗi viên gạch này là bao nhiêu centimét vuông？（làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 7 ［Q498871213］Người ta thiết kế hoa văn trên những viên gạch lát sàn hình vuông độ dài cạnh là 1 m với phần ở giữa là một bông hoa giới hạn bởi đường cong kín $(L)$. Biết rằng nếu $M$ là điểm thuộc $(L)$ thì tích khoảng cách từ nó đến hai cạnh kề nhau của hình vuông bằng khoảng cách từ nó đến một đỉnh của hình vuông không thuộc hai cạnh đó．Diện tích của bông hoa trên mỗi viên gạch này là bao nhiêu centimét vuông？（làm tròn đến hàng đơn vị）．

Câu 8 [Q739895848] Người ta thiết kế một dải sóng trên những viên gạch lát sàn hình chữ nhật $A B C D$ với $A B=160 \mathrm{~cm}, A D=80 \mathrm{~cm}$ bằng hai đường cong $\left(L_{1}\right),\left(L_{2}\right)$ và các cạnh hình chữ nhật như hình vẽ. Biết rằng, nếu $M$ là điểm thuộc $\left(L_{1}\right)$ thì $M A=\sqrt{5} d(M, B D)$ và nếu $N$ là điểm thuộc $\left(L_{2}\right)$ thì $N D=\sqrt{5} d(N, \Delta)$ với $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $B D$. Diện tích của dải sóng trên mỗi viên gạch này là bao nhiêu centimét vuông? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 9 [Q781788966] Một miếng bìa hình vuông $A B C D$ tâm $O$ có cạnh bằng 8 và hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi một đường cong kín $(L)$. Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $A B C D$ và tia $O M$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $O M \cdot O N=8$. Tính diện tích miền $(H)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 10 [Q399088366] Trong một cuộc thi sáng tạo các chủ đề liên quan đến Kỷ niệm 50 năm ngày miền Nam hoàn toàn giải phóng, tại hệ thống trường Nguyễn Khuyến-Lê Thánh Tông, một em học sinh đến từ lớp 12B1 đã đạt giải đặc biệt với một thiết kế vô cùng độc đáo. Em học sinh này đã thiết kế bề mặt của một chiếc đồng hồ treo tường bằng sự kết hợp giữa lịch sử, mỹ thuật và toán học. Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có cạnh bằng 2 dm , nơi đây lưu giữ hình ảnh của chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào dinh độc lập.
  \item Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng 2 dm .
  \item Đường cong trung gian có tên $(L)$ là tập hợp tất cả điểm $P$ sao cho nếu kẻ tia $O t$ bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại $M, N$ thì $P$ là trung điểm $M N(O$ là tâm đường tròn). Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ theo đơn vị $\mathrm{dm}^{2}$ và làm tròn đến hàng phần trăm.
\end{itemize}

Câu 11 [Q369376936] Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông $A B C D$ tâm $O$ bằng một đường cong kín $(L)$ rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $A B C D$ và tia $O M$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $M N=2 \mathrm{dm}$. Biết rằng $A B=8 \mathrm{dm}$. Phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Câu 12 [Q666606488] Một người nghệ sĩ đã vẽ chiếc nơ nằm bên trong hình chữ nhật $A B C D$ tâm $O$ có chiều dài 4 dm và chiều rộng 2 dm . Chiếc nơ là hình phẳng giới hạn bởi đường cong kín $(L)$ sao cho khi kẻ tia $O t$ bất kì cắt $(L)$ và cạnh hình chữ nhật lần lượt tại $M$ và $N$ thì $M N=1 \mathrm{dm}$. Tính diện tích chiếc nơ đó theo $\mathrm{dm}^{2}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 13 [Q613816375] Người ta tạo ra một lối đi xung quanh một sân chơi hình vuông $A B C D$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của hình vuông và một đường cong kín $(L)$ (hình vẽ). Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của hình vuông $A B C D$ và tia $O M$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $M N=2 \mathrm{~m}$. Biết rằng $A B=8 \mathrm{~m}$. Diện tích của lối đi đó là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 14 ［Q353333968］Người ta tạo ra một lối đi xung quanh một sân chơi hình tam giác đều $A B C$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của tam giác và một đường cong kín $(L)$（hình vẽ）．Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của tam giác $A B C$ và tia $O M$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $M N=2 \mathrm{~m}$. Biết rằng $O A=6 \mathrm{~m}$ ．Diện tích của lối đi đó là bao nhiêu mét vuông？（làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)．

Câu 15 ［Q666835888］Người ta tạo ra một lối đi xung quanh một sân chơi hình lục giác đều $A B C D E F$ tâm $O$ giới hạn bởi các cạnh của lục giác và một đường cong kín $(L)$（hình vẽ）．Nếu điểm $M$ thuộc cạnh của lục giác và tia $O M$ cắt $(L)$ tại điểm $N$ thì $M N=2 \mathrm{~m}$. Biết rằng $O A=8 \mathrm{~m}$ ．Diện tích của lối đi đó là bao nhiêu mét vuông？（làm tròn kết quả đến hàng đơn vị）．

Câu 16 [Q853838838] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong kín $(L)$ là tập hợp các điểm $M(x ; y)$ sao cho $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=9 x y$.

Câu 17 [Q243363060] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ là tập hợp các điểm $M(x ; y)$ sao cho $x^{3}+y^{3}=6 x y$.

Câu 18 [Q078013166] Cho $(C)$ là đường tròn tâm $O$ bán kính 2 và $(E)$ là elip tâm $O$ có độ dài trục lớn 8 , độ dài trục nhỏ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(L)$ là tập hợp các điểm $M$ sao cho nếu kẻ tia $O t$ bất kì cắt $(C),(E),(L)$ lần lượt tại $M, N$ và $P$ thì $P$ là trung điểm $M N$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 19 [Q882648134] Một lập trình viên tạo một trò chơi. Trong trò chơi đó có một vùng đất hình chữ nhật $A B C D$ có $A B=80 \mathrm{~m}, A D=40 \mathrm{~m}$. Một con sông nằm bên cạnh vùng đất đó, $A D$ là bờ sông. Một giếng nước khoan được đặt tại điểm $I$ nằm trong hình chữ nhật cùng cách hai cạnh $B C, C D 20 \mathrm{~m}$. Nhân vật trong game khi đến vùng đất này cần phải di chuyển đến giếng nước hoặc bờ sông để lấy nước. Lập trình viên muốn tô màu một phần của vùng đất đó sao cho khi đứng trong vùng tô màu này, nhân vật di chuyển đến giếng nước để lấy nước nhanh hơn so với đến bờ sông. Diện tích vùng tô màu đó là bao nhiêu mét vuông? (Giả sử rằng khi di chuyển, vận tốc của nhân vật không đổi; làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Lời giải

Câu 20 [Q713586450] Mặt dial của một chiếc đồng hồ có dạng hình tròn $(C)$ đường kính $A B=42 \mathrm{~mm}$ được chia thành hai khu vực bởi đường cong kín $(L)$.

Xét điểm $O$ trên đường kính $A B$ sao cho $O A=2 O B$ và $\left(C^{\prime}\right)$ là đường tròn đường kính $O A$. Biết rằng tiếp tuyến $M t$ bất kì của $\left(C^{\prime}\right)$ cắt $(L)$ tại điểm $H$ thì $\widehat{O H M}=90^{\circ}$. Tính diện tích của khu vực giới hạn bởi $(C)$ và $(L)$ theo milimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Lời giải

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TRONG CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.