Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng. Tính số tiền mua sơn để trang trí một bức tường hình chữ nhật được giới hạn bởi các đường cong mũ và logarit

Một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước lần lượt là $6\,\text{m}$ và $4\,\text{m}$ được bạn Minh trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{a}^{x}}\,\,\left( 0<a\ne 1 \right)$ và $g\left( x \right)={{\log }_{b}}x\,\,\,\left( 0<b\ne 1 \right)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x.$ Bức tường được chia thành ba phần (tham khảo hình vẽ). Phần ${{H}_{1}}$ được sơn màu xanh da trời, phần ${{H}_{2}}$ sơn màu vàng và phần ${{H}_{3}}$ được sơn màu xanh lá cây. Bạn Minh cần mua các hộp sơn mà mỗi hộp chỉ sơn được một màu tương ứng với các màu mà bạn Minh định sơn. Mỗi hộp sơn chỉ sơn được tối đa $3\,\,{{\text{m}}^{\text{2}}}$ tường, đồng thời giá một hộp sơn màu xanh da trời là $120\,\,000$ đồng, giá một hộp sơn màu xanh lá cây là $140\,\,000$ đồng, giá một hộp sơn màu vàng là $160\,\,000$ đồng. Cửa hàng chỉ bán số các hộp sơn là các số nguyên dương. Bạn Minh cần bao nhiêu triệu đồng mua sơn để trang trí cho bức tường đó?

>>Lời giải

Hai đồ thị \[f(x)={{a}^{x}},\] \[g(x)={{\log }_{b}}x\] đối xứng nhau qua đường thẳng \[d:y=x\] khi $a=b.$

Điểm $\left( 3;2 \right)$ thuộc đồ thị hàm số $g\left( x \right)={{\log }_{b}}x$ nên ${{\log }_{b}}3=2\Leftrightarrow {{b}^{2}}=3\Rightarrow a=b=\sqrt{3}.$

Ta có ${{S}_{{{H}_{1}}}}+{{S}_{{{H}_{2}}}}+{{S}_{{{H}_{3}}}}={{S}_{ABCD}}=6.4=24.$

Xét ${{\sqrt{3}}^{x}}=2\Leftrightarrow x={{\log }_{\sqrt{3}}}2\Rightarrow {{S}_{{{H}_{1}}}}=\int\limits_{-3}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}{\left( 2-{{\sqrt{3}}^{x}} \right)dx}\approx 5,23$ (lưu vào biến nhớ A)

Ta có $A:3\approx 1,74$ nên cần mua 2 hộp sơn màu xanh da trời.

Xét ${{\log }_{\sqrt{3}}}x=-2\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{{{H}_{3}}}}=\int\limits_{\dfrac{1}{3}}^{3}{\left( {{\log }_{\sqrt{3}}}x+2 \right)dx}\approx 7,14$ (lưu vào biến nhớ B)

Ta có $B:3\approx 2,38$ nên cần mua 3 hộp sơn màu xanh lá cây.

Ta có $\dfrac{{{S}_{{{H}_{2}}}}}{3}=\dfrac{24-{{S}_{{{H}_{1}}}}-{{S}_{{{H}_{3}}}}}{3}=\dfrac{24-A-B}{3}\approx 3,87$ nên cần mua 4 hộp sơn màu vàng.

Số tiền mua sơn là $2\times 0,12+3\times 0,14+4\times 0,16=1,3$ (triệu đồng).

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

>>Xem thêm: Thể tích của tòa nhà có mặt cắt theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.