Ứng dụng tích phân tính thể tích của chiếc phao hình xuyến

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 01)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 02)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 03)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 04)

[XPLUS 2024] - Bộ đề dự đoán Môn Toán thi TN THPT Quốc Gia 2024 (Đề số 05)

Thể tích của chiếc phao hình xuyến với bán kính vòng trong và vòng ngoài lần lượt là $r,\text{ }R$ là $V=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}(R+r){{(R-r)}^{2}}.$

Chứng minh. Hình xuyến này được tạo thành khi quay hình tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 0;\dfrac{R+r}{2} \right)$ bán kính $\dfrac{R-r}{2}$ quanh trục hoành

Phương trình đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{R+r}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow y=\dfrac{R+r}{2}\pm \sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Vì vậy $V=\pi \int\limits_{-\dfrac{R-r}{2}}^{\dfrac{R-r}{2}}{\left[ {{\left( \dfrac{R+r}{2}+\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{R+r}{2}-\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right]dx}$$=2\pi \left( R+r \right)\int\limits_{-\dfrac{R-r}{2}}^{\dfrac{R-r}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}.$

Tích phân $\int\limits_{-\dfrac{R-r}{2}}^{\dfrac{R-r}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}$ chính là diện tích của nửa hình tròn bán kính $\dfrac{R-r}{2}$

Vì vậy $V=2\pi \left( R+r \right)\times \dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{R-r}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( R+r \right){{\left( R-r \right)}^{2}}.$

Ví dụ 1: Một cái cổng chào bằng hơi có chiều cao so với mặt đất $11 \mathrm{~m}$ (không tính phần phao chứa không khí), chân của cổng chào tiếp xúc với mặt đất theo một đường tròn có đường kính là $2 \mathrm{~m}$ và bề rộng của cống chào là $22 \mathrm{~m}$ (không tính phần phao chứa không khi). Bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào. Tính thể tích không khí chứa bên trong cồng chào.

Áp dụng công thức với $r=11\text{ m},R=13\text{ m}$ thể tích không khí chứa bên trong cổng chào (nửa chiếc phao) là $V=\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}\left( R+r \right){{\left( R-r \right)}^{2}}=\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}\left( 13+11 \right){{\left( 13-11 \right)}^{2}}=12{{\pi }^{2}}\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Một phao bơi được bơm từ một cái ruột xe hơi và có kích thước như hình sau

Thể tích của phao bơi (không kể đầu van và coi độ dày của phao không đáng kể) bằng

Áp dụng công thức với $r=20\text{ cm},R=40\text{ cm}$ thể tích của chiếc phao bơi là $V=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( R+r \right){{\left( R-r \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( 40+20 \right){{\left( 40-20 \right)}^{2}}=6000{{\pi }^{2}}\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong lễ bàn giao công trình của một công ty xây dựng cầu đường, công ty thiết kế một cổng chào bằng phao chứa không khí ở bên trong, có hình dạng giống như một nửa cái săm ô tô khi bơm căng. Cổng chào có chiều cao so với mặt đường là $8m$ (tham khảo hình vẽ), phần chân của cổng chào tiếp xúc với mặt đường theo một hình tròn có đường kính là $2m.$ Nếu bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào, mặt đường coi là bằng phẳng thì thể tích không khí chứa bên trong cổng chào bằng

$R=8,\text{ }r=6$ nên thể tích của nửa chiếc phao là $\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}(R+r){{(R-r)}^{2}}=\dfrac{1}{8}{{\pi }^{2}}(8+6){{(8-6)}^{2}}=7{{\pi }^{2}}\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ $R_1=21 \mathrm{~cm},$ bán kính đường tròn lớn $R_2=31 \mathrm{~cm}.$ Thể tích không khí được chứa bên trong săm (bỏ qua độ dày vỏ săm) là

$V=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right){{\left( {{R}_{2}}-{{R}_{1}} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}{{\pi }^{2}}\left( 21+31 \right){{\left( 31-21 \right)}^{2}}=1300{{\pi }^{2}}\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}.$ Chọn đáp án C.

Khoá học Toán 10 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm