Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

>>Xem thêm Công thức thể tích hình nêm và chứng minh cùng bài toán áp dụng

Cho một vật thể trong không gian $Oxyz.$ Gọi $\mathcal{B}$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại các điểm có hoành độ $x=a, x=b$. Một mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ là $x$ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là $S(x)$. Giả sử $S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a ; b]$.

Khi đó thể tích $V$ của phần vật thể $\mathcal{B}$ được tính bởi công thức

\[V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}.\]

Ghi chú. Tương tự như vậy, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với các trục $Oy,\text{ }Oz$ có diện tích thiết diện lần lượt là $S\left( y \right)\text{ }\left( a\le y\le b \right),\text{ }S\left( z \right)\text{ }\left( a\le z\le b \right)$ thì

$V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( y \right)dy},\text{ }V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( z \right)dz}.$

Nhận xét: Khi cắt vật thể có chiều cao $h$ (chọn trục $Ox$ trùng với đường cao) bởi mặt phẳng vuông góc với đường cao này tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( 0\le x\le h \right)$ thu được thiết diện có diện tích không đổi là $S\left( x \right)=S$ thì

$V=\int\limits_{0}^{h}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{h}{Sdx}=S\cdot h.$

Kiến thức cần sử dụng

• Diện tích các hình cơ bản như hình tròn, tam giác, hình thang, hình chữ nhật, …
• Diện tích của một hình parabol có độ dài cạnh đáy là $b,$ chiều cao $h$ là $S=\dfrac{2}{3}bh.$
• Diện tích của một hình elip có độ dài trục lớn $2a,$ độ dài trục nhỏ $2b$ là $S=\pi ab.$

Thể tích phần chung của hai khối trụ có trục vuông góc với nhau

Xét hai khối trụ có bán kính đáy là $r$ và $R$ có trục vuông góc với nhau (với $R>r$)

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $Oy,\text{ }Oz$ lần lượt là trục của khối trụ nằm ngang và trục của khối trụ đứng.

Xét thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( -r\le x\le r \right).$

Thiết diện thu được là một hình chữ nhật có độ dài cạnh:

Chiều rộng là $a=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Chiều dài là $b=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Diện tích thiết diện là $S\left( x \right)=ab=4\sqrt{\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}.$

Thể tích phần chung của hai khối trụ có trục vuông góc với nhau là

$V=\int\limits_{-r}^{r}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{-r}^{r}{4\sqrt{\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}dx}.$

Đặc biệt, khi hai khối trụ có cùng bán kính thì thể tích phần chung của chúng là

$V=\int\limits_{-r}^{r}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{-r}^{r}{4\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{16{{r}^{3}}}{3}.$

Công thức tính thể tích hình nêm – chứng minh – bài toán áp dụng

Đối với hình nêm thứ nhất:

Chọn trục $Ox$ trùng với đường kính. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }(-R\le x\le R)$ là một tam giác vuông có độ dài cạnh $\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ và $\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\tan \alpha .$

Diện tích thiết diện là $S(x)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\tan \alpha =({{R}^{2}}-{{x}^{2}})\tan \alpha .$

Thể tích vật thể bằng $\int\limits_{-R}^{R}{S(x)dx}=\int\limits_{-R}^{R}{({{R}^{2}}-{{x}^{2}})\tan \alpha dx}=\dfrac{2}{3}{{R}^{3}}\tan \alpha .$

Đối với hình nêm thứ hai:

Chọn trục $Ox$ trùng với bán kính. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }(0\le x\le R)$ là một hình chữ nhật có độ dài cạnh lần lượt bằng $2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ và $(R-x)\tan \alpha .$

Vậy diện tích thiết diện $S(x)=2\tan \alpha (R-x)\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Thể tích vật thể bằng $\int\limits_{0}^{R}{S(x)dx}=\int\limits_{0}^{R}{2\tan \alpha (R-x)\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}=\left( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{2}{3} \right){{R}^{3}}\tan \alpha .$

[Combo X] Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể (Đề số 01)

[Combo X] Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể (Đề số 02)

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Đăng ký cả Combo giảm trực tiếp 532.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn: 2.268.000 đồng

Đăng ký cả Combo đối với học sinh đã tham gia các khoá PRO X11 giảm trực tiếp 800.000 đồng học phí đến lúc thi chỉ còn 2.000.000 đồng

Đăng ký cả Combo được tặng khoá học: XPLUS: LUYỆN GIẢI ĐỀ THI THPT 2024 MÔN TOÁN

Gồm khoảng 200 đề thi thử chọn lọc của các trường, sở giáo dục các năm gần đây và Bộ đề dự đoán do trực tiếp thầy Đặng Thành Nam biên soạn các năm 2024, 2023. Tất cả các đề đều có thi online tại Vted.vn và Lời giải chi tiết, một số đề gồm cả Video Live chữa đề.

Đăng ký cả Combo học sinh được tham gia nhóm LIVE: được học Livestream một số bài giảng chuyên đề của khoá PRO X, Vận dụng cao XMAX và Live Chữa đề ôn tập theo từng chủ đề, tổng kết chương và học kì. Thầy Nam bắt đầu Live vào đầu tháng 8, mỗi tuần hai buổi vào tối thứ 3 và thứ 5 hàng tuần.

Nhóm Live Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (2K7 - Chương trình SGK mới)

Khoá học PRO X và XMAX khai giảng từ ngày 20/06/2024 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2024.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.