Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

>>Xem thêm Công thức thể tích hình nêm và chứng minh cùng bài toán áp dụng

Cho một vật thể trong không gian $Oxyz.$ Gọi $\mathcal{B}$ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại các điểm có hoành độ $x=a, x=b$. Một mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ là $x$ cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là $S(x)$. Giả sử $S(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a ; b]$.

Khi đó thể tích $V$ của phần vật thể $\mathcal{B}$ được tính bởi công thức

\[V=\int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}.\]

Ghi chú. Tương tự như vậy, khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với các trục $Oy,\text{ }Oz$ có diện tích thiết diện lần lượt là $S\left( y \right)\text{ }\left( a\le y\le b \right),\text{ }S\left( z \right)\text{ }\left( a\le z\le b \right)$ thì

$V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( y \right)dy},\text{ }V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( z \right)dz}.$

Nhận xét: Khi cắt vật thể có chiều cao $h$ (chọn trục $Ox$ trùng với đường cao) bởi mặt phẳng vuông góc với đường cao này tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( 0\le x\le h \right)$ thu được thiết diện có diện tích không đổi là $S\left( x \right)=S$ thì

$V=\int\limits_{0}^{h}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{h}{Sdx}=S\cdot h.$

Kiến thức cần sử dụng

• Diện tích các hình cơ bản như hình tròn, tam giác, hình thang, hình chữ nhật, …
• Diện tích của một hình parabol có độ dài cạnh đáy là $b,$ chiều cao $h$ là $S=\dfrac{2}{3}bh.$
• Diện tích của một hình elip có độ dài trục lớn $2a,$ độ dài trục nhỏ $2b$ là $S=\pi ab.$

Thể tích phần chung của hai khối trụ có trục vuông góc với nhau

Xét hai khối trụ có bán kính đáy là $r$ và $R$ có trục vuông góc với nhau (với $R>r$)

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $Oy,\text{ }Oz$ lần lượt là trục của khối trụ nằm ngang và trục của khối trụ đứng.

Xét thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }\left( -r\le x\le r \right).$

Thiết diện thu được là một hình chữ nhật có độ dài cạnh:

Chiều rộng là $a=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Chiều dài là $b=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Diện tích thiết diện là $S\left( x \right)=ab=4\sqrt{\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}.$

Thể tích phần chung của hai khối trụ có trục vuông góc với nhau là

$V=\int\limits_{-r}^{r}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{-r}^{r}{4\sqrt{\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}dx}.$

Đặc biệt, khi hai khối trụ có cùng bán kính thì thể tích phần chung của chúng là

$V=\int\limits_{-r}^{r}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{-r}^{r}{4\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{16{{r}^{3}}}{3}.$

Công thức tính thể tích hình nêm – chứng minh – bài toán áp dụng

Đối với hình nêm thứ nhất:

Chọn trục $Ox$ trùng với đường kính. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }(-R\le x\le R)$ là một tam giác vuông có độ dài cạnh $\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ và $\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\tan \alpha .$

Diện tích thiết diện là $S(x)=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\tan \alpha =({{R}^{2}}-{{x}^{2}})\tan \alpha .$

Thể tích vật thể bằng $\int\limits_{-R}^{R}{S(x)dx}=\int\limits_{-R}^{R}{({{R}^{2}}-{{x}^{2}})\tan \alpha dx}=\dfrac{2}{3}{{R}^{3}}\tan \alpha .$

Đối với hình nêm thứ hai:

Chọn trục $Ox$ trùng với bán kính. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\text{ }(0\le x\le R)$ là một hình chữ nhật có độ dài cạnh lần lượt bằng $2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$ và $(R-x)\tan \alpha .$

Vậy diện tích thiết diện $S(x)=2\tan \alpha (R-x)\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}.$

Thể tích vật thể bằng $\int\limits_{0}^{R}{S(x)dx}=\int\limits_{0}^{R}{2\tan \alpha (R-x)\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}=\left( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{2}{3} \right){{R}^{3}}\tan \alpha .$

[Combo X] Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể (Đề số 01)

[Combo X] Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể (Đề số 02)

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu 5 [Q173364811] Một cái lều cắm trại có đáy là hình chữ nhật kích thước $210 \mathrm{~cm} \times 195 \mathrm{~cm}$ và chiều cao là 120 cm . Bốn cạnh bên cong được tạo thành từ hai đường parabol nhận đỉnh của lều làm đỉnh của parabol (hình vẽ). Thể tích phần không gian bên trong lều là bao nhiêu mét khối?

Câu 12 [Q316609688] Một rào chắn bê tông có hình dạng như trong hình, đơn vị trên các trục tọa độ là mét. Khối lượng của hàng rào là bao nhiêu tấn bê tông, nếu mật độ của bê tông là $\rho=2,3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 13 [Q659363571] Một lều cắm trại có dạng như hình vẽ dưới, khung lều được tạo thành từ hai parabol giống nhau có chung đỉnh $O$ và thuộc hai mặt phẳng vuông góc nhau (một parabol đi qua $A, O, C$ và một parabol đi qua $B$, $D, O$ ), bốn chân tạo thành hình vuông $A B C D$ có cạnh là $2 \sqrt{2}(m)$, chiều cao tính từ đỉnh lều là $2 m$. Biết mặt cắt của lều khi cắt bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng $(A B C D)$ luôn là một hình vuông. Tính thể tích của lều (đơn vị là $m^3$ ).

Câu 17 [Q440400272] Anh A bơm nước vào một chiếc thùng nhựa đựng nước với hai đáy là hai hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau và có kích thước (chỉ tính phần chứa nước) như hình vẽ với tốc độ bơm nước vào thùng là 20 lít/phút. Mực nước trong thùng dâng lên với tốc độ (đơn vị: $\mathrm{cm} / \mathrm{phút}$ ) khi chiều cao mực nước trong thùng là 30 cm bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 18 [Q683357306] Anh A bơm nước vào một chiếc thùng nhựa đựng nước với hai đáy là hai hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau và có kích thước (chỉ tính phần chứa nước) như hình vẽ với tốc độ bơm nước vào thùng là 20 lít/phút. Vận tốc nước dâng lên ở cạnh bên của thùng nhựa (đơn vị: $\mathrm{cm} / \mathrm{phút}$ ) khi chiều cao mực nước trong thùng là 30 cm bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 19 [Q068689996] Anh A bơm nước vào một chiếc thùng nhựa đựng nước hình dạng chóp cụt đều có chiều cao 60 cm , đáy thùng là hình lục giác đều độ dài cạnh 40 cm và miệng thùng là hình lục giác đều độ dài cạnh 80 cm (chỉ tính phần chứa nước) với tốc độ bơm nước vào thùng là 20 lít/phút. Mực nước trong thùng dâng lên với tốc độ (đơn vị: $\mathrm{cm} /$ phút) khi chiều cao mực nước trong thùng là 30 cm bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 20 [Q384429879] Anh A bơm nước vào một chiếc thùng nhựa đựng nước hình dạng chóp cụt đều có chiều cao 60 cm , đáy thùng là hình lục giác đều độ dài cạnh 40 cm và miệng thùng là hình lục giác đều độ dài cạnh 80 cm (chỉ tính phần chứa nước) với tốc độ bơm nước vào thùng là 20 lít/phút. Vận tốc nước dâng lên ở cạnh bên của thùng nhựa (đơn vị: $\mathrm{cm} / \mathrm{phút}$ ) khi chiều cao mực nước trong thùng là 30 cm bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 21 [Q432000606] Một đường hầm mô hình như hình vẽ có chiều dài $5(\mathrm{~cm})$. Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được mặt cắt là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao. Ở đó hình parabol là hình phẳng được giới hạn bởi một đường parabol và đoạn thẳng nối hai điểm thuộc parabol đồng thời vuông góc với trục đối xứng của parabol đó được gọi là đáy, khoảng cách từ đỉnh của parabol xuống đáy gọi là chiều cao. Chiều cao của mỗi mặt cắt hình parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5} x(\mathrm{~cm})$, với $x(\mathrm{~cm})$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình đến mặt phẳng chứa mặt cắt.
a) Nếu một hình parabol có đáy bằng $d$ và chiều cao bằng $h$ như hình vẽ thì phương trình của parabol là $y=-\frac{4 h}{d^2} x^2+h$.
b) Diện tích cửa lớn của đường hầm mô hình bằng $12\left(\mathrm{~cm}^2\right)$.
c) Chiều cao cửa nhỏ của đường hầm mô hình bằng $2(\mathrm{~cm})$.
d) Nếu người ta làm một khối có kích thước như mô hình đường hầm ở trên bằng nguyên liệu có giá 5,4 nghìn đồng cho mỗi $\mathrm{cm}^3$ thì số tiền cần bỏ ra để mua nguyên liệu là 156 nghìn đồng.

Câu 22 [Q558358818] Người ta dựng một cái lều vải $(H)$ có dạng hình "chóp bát giác cong đều" như hình vẽ bên. Đáy của $(H)$ là một hình bát giác đều độ dài cạnh $a=6 \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \mathrm{m}$. Chiều cao $S O=6 \mathrm{~m}$ (vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây $d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8$ nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $S O$. Giả sử giao tuyến (nếu có) của $(H)$ với mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $S O$ là một bát giác đều và khi $(P)$ qua trung điểm của $S O$ thì bát giác đều có độ dài cạnh $b=2 \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \mathrm{m}$. Thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều $(H)$ là bao nhiêu mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 31 [Q344856981] Bánh taco là một món ăn đặc trưng của Mexico, bánh taco được tạo thành từ một chiếc bánh tortilla (bánh ngô) cuộn quanh thức ăn. Cụ thể, để làm một chiếc bánh taco ta lấy bánh tortilla tròn có đường kính 20 cm đặt vào mặt trong của hình trụ có bán kính $R=4 \mathrm{~cm}$, dọc theo đường kính của tortilla và gấp bánh lại quanh hình trụ. Sau đó ta sẽ đổ đầy thịt, phô mai, và rau củ đến tận mép bánh. Gọi $x$ là khoảng cách từ tâm bánh tortilla đến một điểm P trên đường kính (tham khảo hình vẽ).

Tính thể tích của bánh taco theo đơn vị $\mathrm{cm}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 33 [Q133958613] Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một Elip $(E)$ có độ dài trục lớn 150 m , độ dài trục nhỏ 90 m . Mặt cắt ngang của sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $(E)$ và cắt $(E)$ tại $M$ và $N$ là hình phẳng tô đậm trong hình vẽ, giới hạn bởi $M N$ và đường tròn có tâm $I$ và $\widehat{M I N}=90^{\circ}$. Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái vòm và bên trên mặt sân, coi mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái vòm không đáng kể. Biết rằng công suất tối thiểu cần sử dụng là $200 \mathrm{BTU} / \mathrm{m}^3$. Hỏi cần lắp ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa có công suất 50000 BTU?

Câu 34 [Q981632361] Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tò̀a nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0=26 \mathrm{~m}$, mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{30}=20 \mathrm{~m}$. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_{\min }=13,75 \mathrm{~m}$. Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (đơn vị tính: mét khối).

Câu 36 [Q796899013] Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình chữ nhật (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà kích thước $30 \mathrm{~m} \times 20 \mathrm{~m}$, mặt đỉnh kích thước $24 \mathrm{~m} \times 16 \mathrm{~m}$. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà kích thước $18 \mathrm{~m} \times 12 \mathrm{~m}$. Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (đơn vị tính: mét khối).

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 6): Diện tích của con đường dạo bộ trong một công viên

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 5): Diện tích của chiếc diều

Mỗi ngày một câu hỏi ứng dụng tích phân (Câu số 4): Khoảng cách giữa hai sợi dây trang trí trên cổng hình parabol

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

Combo X Luyện thi 2025 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K7 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/45sFkXS

PRO X: Luyện thi THPT 2025 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2025 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2025 Môn Toán (100 ngày)

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2025 kết thúc.