Ứng dụng tích phân tính Thể tích vật thể - Thể tích của chiếc lều có sáu cạnh bên cong là các đường parabol

Người ta dựng một cái lều vải $\left( H \right)$ có dạng hình “chóp lục giác cong đều”  như hình vẽ bên. Đáy của $\left( H \right)$ là một hình lục giác đều cạnh $3\text{ m}.$ Chiều cao $SO=6\text{ m}$ (vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $\left( H \right)$ là các sợi dây ${{c}_{1}},\text{ }{{c}_{2}},\text{ }{{c}_{3}},\text{ }{{c}_{4}},\text{ }{{c}_{5}},\text{ }{{c}_{6}}$ nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO.$ Giả sử giao tuyến (nếu có) của $\left( H \right)$ với mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $SO$ là một lục giác đều và khi $\left( P \right)$ qua trung điểm của $SO$ thì lục giác đều có cạnh bằng $1\text{ m}.$ Thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều $\left( H \right)$ đó là bao nhiêu mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Giải. Chọn trục toạ độ $Oy$ trùng với $OS$ và $Ox$ trùng với $O{{A}_{1}}.$

Chú ý. Ở đây chọn trục $Oy$ trùng với $OS$ vì đề bài cho trục đối xứng của các đường parabol song song với $OS.$

Phương trình đường cong parabol ${{c}_{1}}$ là $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ đi qua các điểm $(0;6),\text{ }(3;0),\text{ }(1;3).$

Do đó $\left\{ \begin{align}& c=6 \\& 9a+3b+c=0 \\& a+b+c=3 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2},b=-\dfrac{7}{2},c=6\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{7}{2}x+6.$

Khi cắt $(H)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Oy$ tại điểm có tung độ $y\text{ }(0\le y\le 6)$ ta được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh $x$ xác định bởi $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-\dfrac{7}{2}x+6.$

Giải phương trình bậc hai ẩn $x,$ rút ra $x=\dfrac{7\pm \sqrt{1+8y}}{2}$ với $0\le x\le 3$ nên nhận $x=\dfrac{7-\sqrt{1+8y}}{2}.$

Do đó diện tích thiết diện vuông góc với trục $Oy$ tại điểm có tung độ $y\text{ }(0\le y\le 6)$ là

$S\left( y \right)=6.\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{\left( \dfrac{7-\sqrt{1+8y}}{2} \right)}^{2}}.$

Và thể tích của $(H)$ là ${{V}_{Oy}}=\int\limits_{0}^{6}{S\left( y \right)dy}=\int\limits_{0}^{6}{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}{{\left( \dfrac{7-\sqrt{1+8y}}{2} \right)}^{2}}dy}=\dfrac{135\sqrt{3}}{8}\approx \text{29,2 }{{\text{m}}^{\text{3}}}.$

>>Xem bài viết tương tự Thể tích chướng ngại vật tường cong tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/vtedvn-ung-dung-tich-phan-tinh-the-tich-vat-the-4800.html

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Câu hỏi dành cho các em tự luyện:

Câu 1. Người ta dựng một cái lều vải $\left( H \right)$ có dạng hình “chóp bát giác cong đều”  như hình vẽ bên. Đáy của $\left( H \right)$ là một hình bát giác đều độ dài cạnh $a=6\sin \left( \dfrac{\pi }{8} \right)\text{ m}\text{.}$ Chiều cao $SO=6\text{ m}$ (vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của $\left( H \right)$ là các sợi dây \[{{d}_{1}},\text{ }{{d}_{2}},\text{ }{{d}_{3}},\text{ }{{d}_{4}},\text{ }{{d}_{5}},\text{ }{{d}_{6}},\text{ }{{d}_{7}},\text{ }{{d}_{8}}\] nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với $SO.$ Giả sử giao tuyến (nếu có) của $\left( H \right)$ với mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $SO$ là một bát giác đều và khi $\left( P \right)$ qua trung điểm của $SO$ thì bát giác đều có độ dài cạnh $b=2\sin \left( \dfrac{\pi }{8} \right)\text{ m}\text{.}$ Thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều $\left( H \right)$ là bao nhiêu mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Lời giải

Câu 2. Một cái lều cắm trại có đáy là hình chữ nhật kích thước $210\text{ cm}\times 195\text{ cm}$ và chiều cao là $120\text{ cm}\text{.}$ Bốn cạnh bên cong được tạo thành từ hai đường parabol nhận đỉnh của lều làm đỉnh của parabol (hình vẽ).

Thể tích phần không gian bên trong lều là bao nhiêu mét khối?

>>Lời giải

Câu 3. Cho chiếc trống dạng khối tròn xoay như hình vẽ, có đường sinh là một phần elip được cắt bởi đường thẳng song song với trục lớn của elip. Biết elip có độ dài trục lớn là $120\text{ cm,}$ độ dài trục nhỏ là $60\text{ cm}$ và đáy trống là hình tròn có đường kính là $60\text{ cm}\text{.}$ Thể tích của chiếc trống là bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Lời giải

Câu 4. Một lều cắm trại có dạng như hình vẽ dưới, khung lều được tạo thành từ hai parabol giống nhau có chung đỉnh O và thuộc hai mặt phẳng vuông góc nhau (một parabol đi qua A, O, C và một parabol đi qua B, D, O), bốn chân tạo thành hình vuông ABCD có cạnh là \[2\sqrt{2}(m)\], chiều cao tính từ đỉnh lều là \[2\,m\]. Biết mặt cắt của lều khi cắt bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng \[(ABCD)\] luôn là một hình vuông. Tính thể tích của lều (đơn vị là \[{{m}^{3}}\]).

>>Lời giải

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau.

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.