Ứng dụng tích phân tính tỷ số diện tích hình trái tim ghép bởi hai elip bằng nhau

Bạn Hoa vừa mê học toán, vừa mê một bạn nam lớp bên cạnh. Ngày sinh nhật Hoa thì bạn nam ấy đã tặng cho Hoa một tờ giấy, trong đó có vẽ hai hình elip bằng nhau và ghép lại sao cho hai trục lớn vuông góc với nhau tạo ra hình trái tim rất đẹp.

Phần hai cánh có diện tích $S_1, S_2$ được tô màu vàng, phần có diện tích $S_3, S_4, S_5, S_6$ được tô màu đỏ. Hoa vui vẻ đón nhận "món quà" nhưng sau đó lại tỏ ra khó hiểu. Một người bạn đã tư vấn cho Hoa rằng màu đỏ tượng trưng cho tình yêu, màu vàng lại tượng trưng cho tình bạn, bây giờ chỉ còn cách tính tỉ số $\dfrac{S_3+S_4+S_5+S_6}{S_1+S_2}$ bằng bao nhiêu mới biết Crush thực sự có tình cảm với Hoa hay chỉ xem Hoa là bạn, các em hãy tính giúp bạn Hoa tỉ số trên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm); biết rằng khoảng cách từ $O$ đến giao điểm hai elip bằng $1,8 \mathrm{~cm}.$

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

>>Xem thêm: 3 công thức tính nhanh diện tích hình phẳng hay bậc nhất trong chương Nguyên hàm và tích phân

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

Giải. Chọn lại hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Phương trình hai elip là $\left( {{E}_{1}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{8}+\dfrac{{{y}^{2}}}{k}=1,\text{ }\left( {{E}_{2}} \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{k}+\dfrac{{{y}^{2}}}{8}=1$ (bán trục lớn là $2\sqrt{2}$ và bán trục nhỏ gọi là $\sqrt{k}$).

Cộng lại, ta được: $\left( \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{k} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=2\Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{k} \right){{\left( \dfrac{18}{10} \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow k=\dfrac{648}{319}$ trong đó ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=O{{A}^{2}}=1,{{8}^{2}}.$

Và cũng rút ra được: $\left( k+8 \right){{x}^{2}}=8k\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\dfrac{8k}{k+8}}.$

Vì tính đối xứng nên ${{S}_{1}}={{S}_{2}}=\int\limits_{-\sqrt{\dfrac{8k}{k+8}}}^{\sqrt{\dfrac{8k}{k+8}}}{\left[ \sqrt{8\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{k} \right)}-\sqrt{k\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{8} \right)} \right]dx}=a\text{ }\left( \text{STO A} \right)$ (diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=\sqrt{8\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{k} \right)},\text{ }y=\sqrt{k\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{8} \right)}$).

Cũng vậy, ta có: ${{S}_{3}}={{S}_{4}}={{S}_{5}}={{S}_{6}}=b$ và $a+2b=\dfrac{1}{2}{{S}_{\text{elip}}}=\dfrac{1}{2}\pi \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{k}$

Rút ra $2b=\dfrac{1}{2}\pi \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{k}-A.$ Vậy $\dfrac{{{S}_{3}}+{{S}_{4}}+{{S}_{5}}+{{S}_{6}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}=\dfrac{4b}{2a}=\dfrac{2b}{a}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\pi \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{k}-A}{A}\approx 1,46.$

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau.

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.

Câu hỏi dành cho các em tự luyện:

Trái tim trong hình vẽ được ghép lại từ hai parabol giống nhau, đỉnh của hai parabol có tọa độ là $\left( 0;-12 \right)$ và $\left( -12;0 \right).$

Các giao điểm của hai parabol cùng nằm trên một đường tròn có bán kính $5\sqrt{2}.$ Khi đó tỷ số diện tích $\dfrac{{{S}_{3}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}=\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$

>>Lời giải