Trên sân vân động, người ta tổ chức một cuộc thi chạy thông minh. Sân vận động là hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=100\text{ m},\text{ }CD=80\text{ m}\text{.}$ Ở chính giữa sân người ta vẽ một đường tròn có tâm trùng với tâm của hình chữ nhật, bán kính bằng $25\text{ m}\text{.}$ Lấy $E$ là một vị trí trên cạnh $AB$ sao cho $EB=20\text{ m}\text{.}$ Mỗi vận động viên cần xuất phát từ một điểm $M$ trên đường tròn và chạy theo cung đường $MDCBEMD.$ Vận động viên thắng cuộc là người chạy với quãng đường ngắn nhất. Tính độ dài quãng đường ngắn nhất vận động viên phải chạy (đơn vị mét, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Xem thêm: Tìm khúc hẹp nhất của một con sông

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán thực tế

>>Xem thêm: Bài toán thực tế: Hàm số theo chương trình SGK mới Toán 10

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học

Độ dài cung đường mỗi vận động viên phải chạy là

$s=MD+DC+CB+BE+EM+MD=2MD+ME+200\text{ m}\text{.}$

Lấy điểm $F$ sao cho $\overrightarrow{OF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OE}\Rightarrow ME=2MF$ do

$\dfrac{OM}{OE}=\dfrac{OF}{OM}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta OME\backsim \Delta OFM\Rightarrow ME=2MF.$

Khi đó sử dụng BĐT tam giác, ta có:

$s=2\left( MD+MF \right)+200\ge 2DF+200$$=2\sqrt{O{{D}^{2}}+O{{F}^{2}}-2OD\cdot OF\cdot \cos \widehat{DOF}}+200.$

Ta có $O{{D}^{2}}=\text{5}{{\text{0}}^{2}}+{{40}^{2}},O{{E}^{2}}={{50}^{2}},D{{E}^{2}}={{80}^{2}}+{{80}^{2}}$

$\Rightarrow \cos \widehat{DOF}=\cos \widehat{DOE}=\dfrac{O{{D}^{2}}+O{{E}^{2}}-D{{E}^{2}}}{2OD\cdot OE}=\dfrac{\left( {{50}^{2}}+{{40}^{2}} \right)+{{50}^{2}}-\left( {{80}^{2}}+{{80}^{2}} \right)}{100\sqrt{{{50}^{2}}+{{40}^{2}}}}=-\dfrac{31\sqrt{41}}{205}$

$\Rightarrow {{s}_{\min }}=2\sqrt{\left( {{50}^{2}}+{{40}^{2}} \right)+{{\left( \dfrac{50}{4} \right)}^{2}}-2\sqrt{{{50}^{2}}+{{40}^{2}}}\cdot \dfrac{50}{4}\cdot -\dfrac{31\sqrt{41}}{205}}+200=200+5\sqrt{929}\text{ m}\approx 352\text{ m}\text{.}$

Câu hỏi tương tự dành cho các em tự luyện:

Câu 31 [Q285637737] Từ một địa điểm $O$ cố định của một vùng đất cù lao (các mặt của vùng đất đều giáp với các con sông), người ta cần chọn một địa điểm $T$ trên vùng cù lao sao cho $O T=60 \mathrm{~km}$ để xây dựng các con đường cao tốc (cầu vượt cao tốc) nối từ hai địa điểm $X$ và $Y$ của hai tỉnh thành lân cận đến $T$. Cho biết $O X=120 \mathrm{~km}, O Y=150 \mathrm{~km}, \widehat{X O Y}=120^{\circ}$. Chi phí hoàn thành 1 km đoạn đường từ $T$ đến $X$ là 100.000 USD , chi phí hoàn thành 1 km đoạn đường $T$ đến $Y$ là 200.000 USD. Chi phí nhỏ nhất để hoàn thành cung đường cao tốc từ $X$ đến $T$ và từ $T$ đến $Y$ là bao nhiêu triệu đô? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 32 [Q989205873] Ở một thành phố biển $Q$ có một hòn đảo, trên đảo có điểm $O$ cố định. Người ta cần xây dựng các con đường nối hai ga xe $X$ và $Y$ trên đất liền tới một điểm $T$ cách điểm $O$ một khoảng $r=6 \mathrm{~km}$. Cho biết $O X=12 \mathrm{~km}, O Y=15 \mathrm{~km}, \widehat{X O Y}=\varphi$ với $\cos \varphi=\frac{13}{18},\left(0^{\circ}<\varphi<90^{\circ}\right)$. Dự kiến đường đi từ $X$ tới $T$ là đường thẳng hai làn xe , đường đi từ $Y$ tới $T$ là đường thẳng bốn làn xe . Chi phí xây dựng cho một km đường hai làn xe và bốn làn xe lần lượt là 1 triệu đô và 2 triệu đô. Tổng chi phí xây dựng cả hai con đường trên nhỏ nhất là bao nhiêu triệu đô?

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.