Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

11.3. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

Trong phần này, chúng ta sẽ thảo luận về một số ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế học. Đầu tiên, chúng ta giới thiệu một số hàm số trong kinh tế học.

- Hàm chi phí

Nếu $C(x)$ là tổng chi phí mà doanh nghiệp phải trả để sản xuất $x$ đơn vị hàng hoá thì $C(x)$ được gọi là hàm chi phí và chi phí sản xuất trung bình (chi phí sản xuất bình quân) cho mỗi đơn vị hàng hoá là $c(x)=\dfrac{C(x)}{x}.$

- Hàm cầu

Gọi $p(x)$ là giá bán mỗi đơn vị hàng hoá khi giao dịch $x$ đơn vị hàng hoá. Khi đó $p(x)$ được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và hàm số này được kì vọng là hàm giảm theo biến $x.$

- Hàm doanh thu

Nếu $x$ đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị là $p(x)$, thì hàm doanh thu, kí hiệu là $R(x)$, được tính bởi công thức

                    \[R(x)=x.p(x)\text{.}\]

- Hàm lợi nhuận

Nếu $x$ đơn vị hàng hoá được bán với giá mỗi đơn vị là $p(x)$, thì hàm lợi nhuận, kí hiệu là $P(x)$, được tính bởi công thức

  \[P(x)=R(x)-C(x)=x.p(x)-C(x).\]

Hàm chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên

Chi phí biên là tốc độ thay đổi của hàm chi phí $C(x)$ đối với $x$, tức là đạo hàm ${C}'(x).$

Đạo hàm ${R}'(x)$ của hàm doanh thu $R(x)$ được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra.

Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm ${P}'(x)$ của hàm lợi nhuận $P\left( x \right).$

Các bài toán tối ưu trong kinh tế: Doanh thu lớn nhất, chi phí sản xuất nhỏ nhất, chi phí sản xuất bình quân nhỏ nhất, lợi nhuận lớn nhất, tốc độ bán hàng lớn nhất,...

Các em chú ý với $x$ đơn vị hàng hóa thì $x\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$ Do vậy khi khảo sát hàm số đã biết $\underset{D}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$ hoặc $\underset{D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)$ với ${{x}_{0}}\notin \mathbb{Z}$ ta kiểm tra thêm các giá trị $f\left( \left[ {{x}_{0}} \right] \right),\text{ }f\left( \left[ {{x}_{0}} \right]+1 \right).$

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

>>Xem thêm: Các dạng bài toán thực tế ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh một trục

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính quãng đường vật chuyển động

a) Bài toán cho trước các hàm

b) Bài toán tăng giảm theo tỉ lệ

Một sản phẩm bán ra với giá ${{p}_{1}}$ đồng bán được ${{x}_{1}}$ sản phẩm

Giảm giá bán $a$ đồng bán được thêm $b$ sản phẩm

Vậy giảm giá bán $ay$ đồng bán được thêm $by$ sản phẩm

Gía bán lúc này là $p\left( x \right)={{p}_{1}}-ay$ đồng và số lượng sản phẩm bán ra là $x={{x}_{1}}+by\Rightarrow p\left( x \right)={{p}_{1}}-a.\dfrac{x-{{x}_{1}}}{b}$ chính là hàm cầu.

Ngoài ra ta có thể xây dựng hàm cầu bậc nhất khi biết $p\left( {{x}_{1}} \right)={{p}_{1}};\text{ }p\left( {{x}_{2}} \right)={{p}_{2}}$ thì $p\left( x \right)=\dfrac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\left( x-{{x}_{1}} \right)+{{p}_{1}}.$

Ví dụ. Với $p\left( 100 \right)=10;p\left( 120 \right)=9\Rightarrow p\left( x \right)=\dfrac{9-10}{120-100}\left( x-100 \right)+10=15-\dfrac{1}{20}x.$

Tương tự khi tăng giá bán:

Một sản phẩm bán ra với giá ${{p}_{1}}$ đồng bán được ${{x}_{1}}$ sản phẩm

Tăng giá bán $a$ đồng số lượng bán ra giảm $b$ sản phẩm

Vậy tăng giá bán $ay$ đồng số lượng bán ra giảm $by$ sản phẩm

Gía bán lúc này là $p\left( x \right)={{p}_{1}}+ay$ đồng và số lượng sản phẩm bán ra là $x={{x}_{1}}-by\Rightarrow p\left( x \right)={{p}_{1}}-a.\dfrac{x-{{x}_{1}}}{b}$ chính là hàm cầu.

c) Bài toán quản trị hàng tồn kho

Lưu trữ nguyên liệu trong một chu kì sản xuất

Trong một chu kì sản xuất n ngày. Giả sử mỗi ngày cần x đơn vị nguyên liệu để sản xuất thì trong n ngày số đơn vị nguyên liệu cần để sản xuất là nx và trung bình mỗi ngày cần lưu trữ trong kho $\dfrac{nx}{2}$ đơn vị nguyên liệu.

Lưu trữ hàng tồn kho trong một chu kì bán hàng

Trong một chu kì bán hàng n ngày. Giả sử mỗi ngày bán được x sản phẩm thì trong n ngày bán được nx sản phẩm và trung bình mỗi ngày cần lưu trữ trong kho $\dfrac{nx}{2}$ sản phẩm.

Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế (Live Combo X) (Phần 1)

Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế (Live Combo X) (Phần 2)

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu 6 [Q816298818] Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-1999 x^2+1001000 x+250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+1000+\frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Câu 7 [Q226237860] Nếu $C(x)$ là chi phí sản xuất $x$ đơn vị hàng hoá, thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi đơn vị hàng hoá là $c(x)=\frac{C(x)}{x}$. Biết rằng hàm chi phí cho bởi công thức $C(x)=3400+6 x+0,02 x^2$ (nghìn đồng). Hỏi phải sản xuất bao nhiêu đơn vị hàng hoá để chi phí sản xuất trung bình nhỏ nhất?

Câu 8 [Q636341996] Một cuốn tạp chí được bán với giá 20 nghìn đồng, chi phí để xuất bản $x$ cuốn tạp chí được cho bởi $C(x)=0,0001 x^2-0,2 x+10000$ (đơn vị 10 nghìn đồng). Chi phí phát hành mỗi cuốn tạp chí là 4 nghìn đồng. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được các hợp đồng quảng cáo. Số lượng tạp chí cần xuất bản để có mức lãi cao nhất là? (Giả thiết rằng số cuốn tạp chí in ra đều được bán hết).

Câu 9 [Q720666048] Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B . Máy A làm việc trong $x$ ngày cho số lãi là $x^3+2 x$ (triệu đồng); máy B làm việc trong $y$ ngày cho số lãi là $326 y-27 y^2$ (triệu đồng). Biết rằng máy A và B không đồng thời làm việc. Số lãi lớn nhất mà doanh nghiệp này thu được khi sản xuất mặt hàng này là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 10 [Q211131780] Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 khổ giấy A4 trong một giờ. Chi phí để bảo trì, vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí in ấn của $n$ máy chạy trong một giờ là $20(3 n+5)$ ngàn đồng. Hỏi nếu in 50000 khổ giấy A 4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để thu được số lãi lớn nhất.

Câu 12 [Q838396889] Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ $x \mathrm{~km}$ /giờ trên cao tốc sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức $0,001 x+\frac{6,4}{x}$ lít/km và giá nhiên liệu là 20 nghìn đồng/lít, tốc độ của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế từ $60 \mathrm{~km} /$ giờ đến $120 \mathrm{~km} /$ giờ. Hỏi nên lái xe ở tốc độ bao nhiêu $\mathrm{km} / \mathrm{g}$ iờ thì chi phí nhiên liệu là thấp nhất?

Câu 13 [Q967738769] Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ $x \mathrm{~km}$ /giờ trên cao tốc sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức $0,001 x+\frac{6,4}{x}$ lít/km và giá nhiên liệu là 20 nghìn đồng/lít, tốc độ của xe tải trên một tuyến đường cao tốc bị hạn chế từ $60 \mathrm{~km} /$ giờ đến $120 \mathrm{~km} /$ giờ. Nếu người lái xe tải được trả lương $200 \mathrm{nghìn}$ đồng/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu $\mathrm{km} /$ giờ để chi phí nhiên liệu là thấp nhất?

Câu 14 [Q869407648] Doanh số bán hàng của một loại sản phẩm trong một khoảng thời gian dự kiến là $R(x)=\frac{500}{1+499 e^{-x}}$ (tỉ đồng) trong đó $x$ là thời gian tính bằng năm kể từ thời điểm mở bán. Tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm thứ mấy kể từ thời điểm mở bán?

Câu 15 [Q835032369] Tại ngày thứ $t$ của năm 2024 (tính từ ngày $01 / 01 / 2024)(1 \leq t \leq 366)$ số cá thế sinh vật $X$ trong quần thể được ước lượng bởi: $N(t)=-\frac{1}{300} t^3+b t^2+c t+12000$ (con) và ngày 26/09/2024 là ngày có số lượng cá thể sinh vật $X$ nhiều nhất với 55740 con. Ngày $26 / 10 / 2024$ số lượng cá thể sinh vật $X$ được ước lượng khoảng bao nhiêu nghìn con? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục).

Câu 16 [Q893808790] Một xe ô tô chờ khách du lịch có sức chứa tối đa là 16 hành khách. Trong một khu du lịch, một đoàn khách gồm 22 người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Lái xe đưa ra thỏa thuận với đoàn khách du lịch như sau. Nếu một chuyến xe chở $x$ (người) thì giá tiền cho mỗi người là $\frac{(40-x)^2}{2}$ (nghìn đồng). Với thoả thuận như trên thì lái xe có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu nghìn đồng từ một chuyến chở khách (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 17 [Q670079708] Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm $(0<x \leq 2500)$, tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $f(x)=2006 x-x^2$ và tổng chi phí là $g(x)=x^2+1438 x-1209$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (nghìn đồng) $(0<t<320)$. Giá trị của $t$ bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Câu 18 [Q520333612] Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm $(0<x<2000)$, tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000 x-x^2$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440 x+50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ ( nghìn đồng) với $0<t<300$. Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?

Câu 19 [Q527762777] Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm $T$ được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $T$ là $x(\$)$ thì số sản phẩm $T$ các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x)=x-200$ và số sản phẩm $T$ mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200 \$$. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a(\$)$ và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4: 1$. Hãy xác định giá trị của $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Câu 20 [Q181665773] Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500 x-1,6 x^2+0,004 x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7 x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Câu 25 [Q663364208] Chi phí về nhiên liệu của một con tàu được chia làm hai phần. Phần chi phí thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ tàu và bằng 480 nghìn đồng mỗi giờ. Chi phí phần thứ hai trên 1 km đường tỉ lệ thuận với lập phương của tốc độ tàu, khi tốc độ bằng $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ thì chi phí phần thứ hai bằng 100 nghìn đồng mỗi giờ. Giả sử con tàu đó luôn giữ nguyên tốc độ di chuyển, để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất thì tốc độ của con tàu đó bằng bao nhiêu $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ ? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 26 [Q666043546] Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy $A$ cung cấp cho nhà máy $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy $B$ (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01 x^2$ (đơn vị: triệu đồng). Chi phí để nhà máy $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=\frac{1}{2}(200+27 x)$ (đơn vị: triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy $A$ phải đóng cho nhà nước là $10 \%$ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi nhà máy $A$ bán cho nhà máy $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để thu được lợi nhuận (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng) cao nhất?

Câu 27 [Q382986668] Một công ty muốn đầu tư vào hệ thống điện mặt trời có công suất $x$ (đơn vị tính: MW). Theo nghiên cứu cho thấy một số thông tin sau: Chi phí đầu tư ban đầu là $C_1(x)=1400+55 x$ (tỷ đồng). Doanh thu hàng năm là $R(x)=28 x-0,15 x^2$ (tỷ đồng/năm). Chi phí vận hành hàng năm là $C_2(x)=12+0,35 x+0,012 x^2$ (tỷ đồng/năm). Hãy tìm công suất $x$ (làm tròn đến hàng đơn vị) để tối đa hóa lợi nhuận trên đầu tư, được tính là tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu.

Câu 37 [Q378328072] Một công ty nước ngoài đang cần thuê nhân viên để bán các hợp đồng bảo hiểm cho khách hàng. Công ty nhận thấy nếu thuê $x$ nhân viên với chi phí là 750 USD/tuần cho mỗi nhân viên thì công ty sẽ bán được $q(x)=x^3-12 x^2+60 x$ hợp đồng bảo hiểm. Do hạn chế về không gian, công ty không thể thuê quá 7 nhân viên. Biết công ty nhận được 50 USD cho mỗi hợp đồng bán ra, chi phí cố định mỗi tuần là 2500 USD.
a) Điều kiện của $x$ là: $x \in[0 ; 7]$ và $x \in \mathrm{~N}$.
b) Chi phí hàng tuần mà công ty phải thanh toán là $750 x+2500$ (USD).
c) Lợi nhuận hàng tuần của công ty là $T(x)=x^3-12 x^2-690 x-2500$ (USD).
d) Công ty cần thuê 6 nhân viên để đạt lợi nhuận hàng tuần nhiều nhất.

Câu 38 [Q028023085] Một nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$, nhà máy $A$ chỉ bán sản phẩm cho nhà máy $B$ và nhà máy $B$ cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy $A$ sản xuất được. Nhà máy $A$ có khả năng sản xuất được tối đa là 200 tấn sản phẩm trong 1 tháng. Nếu bán ra $x$ tấn sản phẩm cho nhà máy $B$ thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $50-0,0002 x^2$ triệu đồng. Trong một tháng nhà máy $A$ phải chi phí cho nhân công và chi cho khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra khi sản xuất mỗi tấn sản phẩm thì nhà máy phải chi phí thêm cho mua nguyên liệu là 35 triệu đồng. Biết rằng nhà máy $A$ phải nộp $5 \%$ doanh thu cho cơ quan thuế. Tính lợi nhuận sau thuế (lợi nhuận sau khi đã trừ tiền thuế) lớn nhất thu được trong 1 tháng của nhà máy $A$ (đơn vị tính là tỉ đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 39 [Q888759858] Hiệu quả nhiên liệu $E$, tính bằng số kilômét đi được trên mỗi lít xăng ( $\mathrm{km} / \mathrm{l}$ ), của một mẫu xe ô tô được mô hình hóa theo tốc độ $v(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ bằng công thức sau: $E(v)=-0,000025 v^3+0,003 v^2+13,5$. Mô hình này được áp dụng cho các tốc độ $v$ từ $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ đến $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}(20 \leq v \leq 120)$. Tìm giá trị nhiên liệu hiệu quả nhất (tức là đi được nhiều km nhất trên mỗi lít xăng, làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 40 [Q907070436] Nếu một điện trở $R$ được nối với một ắc-quy có suất điện động $E$ và điện trở trong $r$ thì công suất tiêu thụ trên điện trở $R$ là $P=\frac{E^2 R}{(R+r)^2}$, trong đó $R, r$ được tính bằng ôm $(\Omega), E$ được tính bằng vôn $(\mathrm{V})$ và $P$ được tính bằng oát (W). Cho $E=12(\mathrm{~V})$ và $r=2(\Omega)$, còn $R$ biến thiên thì công suất $P$ đạt giá trị cực đại bằng bao nhiêu W?

Câu 41 [Q596813893] Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 300000 quả bóng Pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất được 60 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 125 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 90 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động (gồm chi phí thiết lập các máy và phải trả cho người giám sát) là thấp nhất?

Câu 47 [Q363914430] Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi $v=10(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng trên một giờ.
a) Khi vận tốc $v=30(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là 43000 đồng.
b) Khi vận tốc $v=20(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là nhỏ nhất.
c) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông với vận tốc $x(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ là $f(x)=\frac{480}{x}+0,03 x^3$.
d) Khi vận tốc $v=10(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$ thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên một km đường sông là 48000 đồng.

Câu 48 [Q484573888] Giả sử giá của một cổ phiếu nào đó (tính bằng euro) trong một ngày nhất định (có 8 giờ giao dịch) được mô tả bởi hàm số: $f(x)=35,7 \frac{x+2}{x^2+21}, x \in[0 ; 8]$, trong đó $x$ là thời gian (tính bằng giờ) kể từ khi phiên giao dịch mở cửa. Nếu một người mua 100 cổ phiếu và bán chúng ngay trong ngày này thì người đó có lợi nhuận tối đa là bao nhiêu euro?

Câu 49 [Q486346506] Một công ty xây dựng một nhà máy mới có chi phí 225 tỷ đồng. Chi phí sản xuất $x$ nghìn sản phẩm mỗi năm tại nhà máy này là $0,5 x^2+2 x+6$ tỷ đồng. Khi nhà máy đã được xây dựng, công ty sẽ sản xuất sản phẩm ở số lượng sao cho lợi nhuận lớn nhất. Giá bán sản phẩm trong năm đầu là 10 triệu đồng, và mỗi năm tiếp theo, giá tăng thêm 1 triệu đồng so với năm ngay trước đó. Hỏi sau bao nhiêu năm việc xây dựng nhà máy mới, công ty sẽ hoàn vốn?

Câu 50 [Q830810919] Một xưởng gốm chuyên sản xuất chậu bonsai nghệ thuật. Mỗi ngày, xưởng có thể sản xuất tối đa 150 chiếc chậu. Nếu xưởng sản xuất $x$ chiếc chậu $(1 \leq x \leq 150)$ và bán hết thì tổng doanh thu là $T(x)=-0,5 x^2+265 x$ (nghìn đồng). Chi phí mua nguyên vật liệu thô để sản xuất $x$ chiếc chậu (chưa chiết khấu) là $A(x)=75 x+250+\frac{12000}{x}$ (nghìn đồng). Chính sách chiết khấu mua nguyên vật liệu: nếu mua nguyên vật liệu cho từ 80 chiếc chậu trở lên thì giảm giá $15 \%$ trên tổng chi phí $A(x)$, mua ít hơn thì không được giảm giá. Chi phí bán hàng và marketing là $B(x)=0,1 x^2+3 x+220$ (nghìn đồng). Chi phí nhân công và vận hành xưởng là $C(x)=0,2 x^2+5 x+630$ (nghìn đồng). Thuế thu nhập doanh nghiệp là $5 \%$ trên lợi nhuận trước thuế. Hỏi lợi nhuận sau thuế lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị triệu đồng)?

Câu 51 [Q332884440] Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm, bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là $x$ USD thì số sản phẩm nhà máy sản xuất được là $R(x)=x-150$ và số sản phẩm tiêu thụ trong nước là $Q(x)=2700-x$. Số sản phẩm còn lại được xuất khẩu với giá cố định là 1900 USD mỗi sản phẩm. Biết rằng với mỗi sản phẩm xuất khẩu thì nhà máy phải chịu mức thuế là $m$ USD. Lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được từ Nhà nước luôn giữ tỷ lệ bằng $4: 1$. Hãy tìm giá trị của $m$ để lợi nhuận từ xuất khẩu của nhà máy đạt giá trị lớn nhất.

Câu 52 [Q069555870] Một tàu thuỷ chạy trên biển có tốc độ tối đa là $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Chi phí về nhiên liệu của con tàu đó bao gồm hai phần: Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và có chi phí bằng 280 nghìn đồng/giờ; phần thứ hai có chi phí trên một kilômét đường đi tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc đi trên trên quãng đường đó và khi vận tốc $v=10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ thì chi phí phần thứ hai bằng $30 \mathrm{nghìn}$ đồng/giờ. Để chi phí nhiên liệu trên một kilômét đường đi là nhỏ nhất thì vận tốc của tàu (tính theo đơn vị km/h) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Câu 53 [Q284254247] Một phân xưởng được đặt hàng sản xuất 1550 quả bóng pickleball. Hiện tại phân xưởng đang có một số máy có thể cài đặt để mỗi máy trong 1 giờ sản xuất tự động được 40 quả bóng pickleball mà không cần công nhân tham gia. Chi phí nhân công cài đặt mỗi máy là 500 nghìn đồng và vận hành hệ thống là 400 nghìn đồng mỗi giờ. Phân xưởng nên dùng bao nhiêu máy để tiết kiệm chi phí nhân công và vận hành hệ thống nhất?

Câu 54 [Q863696556] Một công ty sản xuất và bán ra hai sản phẩm $A$ và $B$. Biết giá bán mỗi sản phẩm $A$ là 40 nghìn đồng. Giá bán mỗi sản phẩm $B$ phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $B$ bán ra: từ 1 đến 100 sản phẩm, giá bán là 50 nghìn đồng; từ 101 đến 200 sản phẩm, giá bán là 54 nghìn đồng;...; khi bán thêm 100 sản phẩm giá bán giảm 1 nghìn đồng so với giá bán của 100 sản phẩm đã bán ngay trưởc đó. Biết chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $A$ và $B$ đều là 30 nghìn đồng. Giả sử trong một tuần công ty sản xuất và bán ra đúng 5000 sản phẩm $A$ và $B$. Hỏi trong một tuần lợi nhuận của công ty có thể đạt được lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 1 [Q294640969] Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu triệu đồng để doanh thu là lớn nhất?

Câu 2 [Q969939405] Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá mỗi vé là bao nhiêu nghìn đồng để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Câu 3 [Q298001699] Giám đốc của nhà hát $A$ đang phân vân trong việc xác định giá vé trong các chương trình được trình diễn trong nhà hát. Việc này rất quan trọng vì nó quyết định chuyện nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta xác định được rằng: Nếu giá vé là 20 USD thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền vé lên 1 USD mỗi người sẽ mất đi 100 khách hàng trong số trung bình. Trung bình mỗi khách dành 1,8 USD cho việc mua đồ uống và đồ ăn nhẹ trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc này xác định giá vé là bao nhiêu USD để tổng doanh thu của nhà hát là lớn nhất.

Câu 4 [Q560383966] Nhân dịp Ngày Quốc tế phụ nữ $8-3$, câu lạc bộ mĩ thuật của An muốn tổ chức kinh doanh thiệp chúc mừng ngày $8-3$ để gây quỹ sinh hoạt cho câu lạc bộ. Mỗi tấm thiệp mua về với giá 8 nghìn đồng. Các bạn trong câu lạc bộ sẽ sáng tác thêm nội dung của thiệp (vẽ thêm hình ảnh người, hoa cỏ, lời chúc...) và sau đó bán lại. Với mức giá bán 20 nghìn đồng cho 1 tấm thiệp, câu lạc bộ có thể bán được 500 chiếc. Cứ với mỗi 1 nghìn đồng giảm giá, số lượng hàng bán ra tăng thêm 50 chiếc. Vậy câu lạc bộ nên để giá bán bao nhiêu nghìn đồng để gây được nhiều quỹ sinh hoạt nhất?
A. 19 .
B. 19,5 .
C. 18,5 .
D. 18 .

Câu 5 [Q954549833] Một doanh nghiệp tư nhân $A$ chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 27 triệu đồng/chiếc và giá bán ra là 31 triệu đồng/chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm đẩy mạnh tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Ước tính rằng cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng để thu được lợi nhuận cao nhất?

Câu 14 [Q888999423] Một cửa hàng trà sữa sắp khai trương đang nghiên cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc trà sữa. Sau khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 30.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 6000 cốc, còn từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 200 cốc. Biết tất cả các chi phí để pha một cốc trà sữa không thay đổi là 20.000 đồng. Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc trà sữa với giá bao nhiêu nghìn đồng để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Câu 15 [Q452012009] Một xưởng mộc dùng gỗ gụ để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là 5000 USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị nguyên liệu là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất 1 chiếc bàn. Hỏi mỗi lần xưởng mộc nên đặt mua bao nhiêu đơn vị nguyên liệu và bao lâu đặt giao nguyên liệu một lần để chi phí trung bình hằng ngày (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí lưu trữ) trong chu kì sản xuất giữa các lần giao là ít nhất?

Câu 16 [Q743555446] Một hiệu sách A có một tựa sách tên X được người đọc tìm mua rất nhiều. Trung bình mỗi ngày bán được 27 cuốn. Chi phí mỗi lần đặt hàng là 500 nghìn đồng và chi phí lưu kho một cuốn sách mỗi ngày là 270 đồng. Hiệu sách A nên đặt hàng bao nhiểu cuốn sách trên một đơn hàng từ nhà sản xuất để chi phí trung bình hằng ngày (bao gồm chi phí đặt hàng và chi phí lưu kho) là nhỏ nhất?

Câu 17 [Q063716363] Một cửa hàng phân phối gạo với chi phí mua vào là 30 nghìn đồng $/ 1 \mathrm{~kg}$ và bán ra 35 nghìn đồng $/ 1 \mathrm{~kg}$. Với giá bán này thì số gạo bán được trong một tháng là 12000 kg . Để đẩy mạnh hơn nữa doanh số tiêu thụ gạo trong một tháng, cửa hàng dự định giảm giá bán và uớc tính rằng nếu giảm 1 nghìn đồng $/ 1 \mathrm{~kg}$ thì số lượng gạo bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm 4000 kg . Cửa hàng phải định giá bán gao mới là bao nhiêu nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất?

Câu 18 [Q421031646] Một khách sạn đang cho khách thuê với mức giá 5 triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có 200 khách thuê và mỗi khách sẽ lưu trú trong 5 ngày. Thống kê cho thấy, nếu cứ tăng giá cho thuê thêm 500 nghìn đồng/người/ngày thì sẽ giảm 4 khách thuê mỗi tháng và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng giảm đi 1 ngày. Hỏi khách sạn nên áp dụng mức giá cho thuê là bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận mỗi tháng là lớn nhất, biết rằng tổng chi phí trong một ngày lưu trú của mỗi khách mà khách sạn chi ra là 3 triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 19 [Q423749798] Một đại lỵ́ nhập khẩu trái cây tươi để phân phối cho các cửa hàng. Mỗi lần nhập khẩu trái cây, khoán chi phí vận chuyển (không đổi) là 25 triệu đồng. Chi phí bảo quản mỗi tạ $(100 \mathrm{~kg})$ trái cây dự trữ trong kho là 80 nghìn đồng/ngày. Thời gian bảo quản trái cây trong kho tối đa 10 ngày. Biết rằng, kể từ ngày đầu tiên nhập hàng, đại lý sẽ phân phối tới các cửa hàng 25 tạ trái cây mỗi ngày. Mỗi lần nhập hàng, đại lý phải nhập đủ trái cây cho bao nhiêu ngày phân phối để chi phí trung bình cho mỗi ngày thấp nhất (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phi bảo quản trong kho)?

Câu 24 [Q650608530] Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Nếu giá bán rau là 30000 đồng/kg thì 1 tấn rau thu hoạch được bán hết. Nếu giá bán rau cao hơn 30000 đồng / kg thì không bán hết 1 tấn rau. Cứ bán tăng thêm 1000 đồng cho 1 kg rau, số rau thừa lại tăng thêm 20 kg . Số rau thừa này được một cơ sở chăn nuôi thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 25 [Q840073317] Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một chiếc. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/ 1 chiếc, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 chiếc mỗi tuần. Biết rằng nếu bán $x$ chiếc điện thoại A thì giá bán mỗi chiếc là $p(x)$ (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần là $C(x)=12000-3 x$ (triệu đồng). Để lợi nhuận hàng tuần là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi chiếc điện thoại A với giá bao nhiêu triệu đồng?

Câu 26 [Q220266000] Một showroom ô tô trung bình bán được 45 ô tô A mỗi quý với giá 1,299 tỷ đồng một xe. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 200 triệu đồng một xe, số lượng ô tô A đó bán ra sẽ tăng thêm khoảng 20 xe mỗi quý. Biết rằng hàm chi phi hàng quý là $C(x)=0,001 x^3-0,085 x^2+1,437 x+0,3$ (tỷ đồng), trong đó $x$ là số ô tô A bán ra trong một quý. Showroom này nên đặt giá bán (đơn vị tỷ đồng) là bao nhiêu để lợi nhuận mỗi quý là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 27 [Q530558586] Một cơ sở sản xuất ly nhựa đang bán mỗi cái ly nhựa với giá 30000 đồng và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 cái ly nhựa. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 cái ly nhựa. Biết chi phí sản xuất một cái ly nhựa không thay đồi là 18000 đồng.
a) Nếu cơ sở bán mỗi cái ly nhựa với giá 30000 đồng thì số tiền lãi sau 1 tháng là 36 triệu đồng.
b) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì mỗi ly nhựa cần bán với giá 39000 đồng.
c) Sau khi cơ sở tăng giá mỗi cái ly nhựa thêm $x$ (nghìn đồng) thì tổng số lợi nhuận một tháng của cơ sở được tính theo công thức $f(x)=-100 x^2+1800 x+36000$ (nghìn đồng).
d) Để đạt được lợi nhuận lớn nhất thì số ly nhựa bán ra giảm 800 chiếc mỗi tháng.

Câu 28 [Q330113332] Một công ty trung bình bán được 900 cái máy lọc nước mỗi tháng với giá 8 triệu đồng một cái. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 100 nghìn đồng thì số lượng máy lọc nước bán ra tăng 10 cái. Biết hàm chi phí là $C(x)=2000-\frac{9}{5} x$ (triệu đồng), với $x$ là số máy lọc nước bán ra trong tháng. Tìm lợi nhuận lớn nhất mà công ty thu được. (tính theo triệu đồng)

Câu 29 [Q436678732] Một khu du lịch sinh thái thực hiện bán vé vào cổng với các mức giá khác nhau. Qua thực tiễn, bộ phận kinh doanh của khu du lịch nhận thấy rằng: nếu bán vé với mức giá 80000 đồng/vé thì trung bình mỗi ngày bán được 300 vé và cứ giảm giá 5000 đồng/vé thì số vé trung bình mỗi ngày bán được lại tăng thêm 50 vé.
a) Nếu bán với giá 70000 đồng/vé thì trung bình mỗi ngày khu du lịch thu được bao nhiêu tiền từ bán vé?
b) Để số tiền trung bình mỗi ngày thu được từ bán vé là cao nhất, khu du lịch nên bán vé với giá bao nhiêu?

Câu 30 [Q554520229] Một công ty kinh doanh trong lĩnh vực vận tải đang vận hành một đội gồm 35 xe chở hàng cùng loại với lợi nhuận trung bình của mỗi xe là 1 triệu đồng một ngày. Để mở rộng mô hình kinh doanh, công ty dự định bổ sung một số xe chở hàng cùng loại với xe đang vận hành. Công ty đã tiến hành khảo sát và phân tích thị trường, kết quả cho thấy: cứ bổ sung một xe chở hàng cùng loại vào hoạt động thì lợi nhuận trung bình của mỗi xe trong cả đội lại giảm đi 20 nghìn đồng một ngày. Hỏi nếu công ty bổ sung thêm xe chở hàng cùng loại thì lợi nhuận trung bình mỗi ngày của đội xe lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm.

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.