Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán thực tế

Câu 1. Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu $v_0=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao $h$ so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm $t$ (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau: \[h=v_0 t-\dfrac{1}{2} g t^2\] trong đó $v_0$ là vận tốc ban đầu của vật, $g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ là gia tốc rơi tự do. Hỏi vận tốc của vật khi nó chạm đất là bao nhiêu mét/giây?

Giải. Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ (giây) sau khi ném là $v\left( t \right)={h}'\left( t \right)={{v}_{0}}-gt$.

Vật chạm đất tại thời điểm $t>0$ mà $h\left( t \right)=0$ nên ta có: \[{{v}_{0}}t-\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow t=0;\text{ }t=\dfrac{2{{v}_{0}}}{g}.\]

Khi chạm đất, vận tốc của vật là $v\left( \dfrac{2{{v}_{0}}}{g} \right)=-{{v}_{0}}=-20\text{ }(~\text{m}/\text{s}).$ Dấu âm thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

Câu 2. Một quả bóng được thả rơi tự do từ độ cao $461,3 \mathrm{~m}$ xuống mặt đất. Bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường quả bóng rơi (tính bằng mét) tại thời điểm $t$ (giây) sau khi thả được cho bởi công thức sau: $s=\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}$ trong đó $g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ là gia tốc rơi tự do. Hỏi vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là bao nhiêu mét/giây? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Giải. Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là $s=\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}=4,9{{t}^{2}}.$

Do vậy, vận tốc của quả bóng tại thời điểm $t$ (giây) sau khi thả là $v\left( t \right)={s}'\left( t \right)=gt=9,8t.$

Mặt khác, vì thả rơi tự do từ độ cao $461,3 \mathrm{~m}$ nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm $t$ mà $s\left( t \right)=461,3$.

Từ đó, ta có: \[4,9{{t}^{2}}=461,3\Leftrightarrow t=\sqrt{\dfrac{461,3}{4,9}}\text{ (gi }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ y)}\text{.}\]

Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là \[9,8\cdot \sqrt{\dfrac{461,3}{4,9}}\approx 95,1\text{ }(~\text{m}/\text{s}).\]

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán thực tế

>>Xem thêm: Bài toán thực tế: Hàm số theo chương trình SGK mới Toán 10

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong chuyển động

Câu 3. Mặt bể bơi của một dự án chung cư cao cấp có dạng một hình chữ nhật với chiều dài \[25\text{ m}\] và chiều rộng $8\text{ m}\text{.}$ Bể bơi sâu $1\text{ m}$ ở bên đầu nông và sâu $2\text{ m}$ bên đầu sâu. Biết hai đầu nông, sâu thuộc hai bên theo chiều dài của bề bơi (hình vẽ).

Ban đầu bể không có nước, nước bắt đầu được bơm vào bể lúc 7 giờ sáng với tốc độ $1\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}$ mỗi phút. Vào lúc 8 giờ 4 phút sáng thì mực nước dâng lên với tốc độ $\dfrac{1}{a}$ $\mathrm{m} /$phút. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Giải. Bắt đầu bơm nước từ 7 giờ sáng với tốc độ $1\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}$ mỗi phút thì vào lúc 8 giờ 4 phút sáng (64 phút) trong bể chứa $64\text{ }{{\text{m}}^{3}}$ nước.

Ta có ${{V}_{ABCDEF}}={{S}_{AED}}\cdot AB=\dfrac{1}{2}AE\cdot AD\cdot AB=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 25\cdot 8=100\text{ }{{\text{m}}^{3}}>64\text{ }{{\text{m}}^{3}}.$

Do đó thể tích nước có trong bể lúc 8 giờ 4 phút sáng là thể tích khối lăng trụ $MEQ\cdot NFP$ trên hình vẽ và chiều cao mực nước là $h=EM.$

Theo Thales, ta có: $\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{MQ}{AD}\Rightarrow MQ=\dfrac{25}{1}\cdot EM=25h$

$\Rightarrow V={{S}_{EMQ}}\cdot MN=\dfrac{1}{2}\cdot EM\cdot MQ\cdot MN=\dfrac{1}{2}\cdot h\cdot 25h\cdot 8=100{{h}^{2}}.$

Hay $V\left( t \right)=100{{h}^{2}}\left( t \right),$ lúc 8 giờ 4 phút sáng thì $V\left( t \right)=100{{h}^{2}}\left( t \right)=64\Rightarrow h\left( t \right)=0,8$ và lấy đạo hàm hai vế, ta có: ${V}'\left( t \right)=200h\left( t \right)\cdot {h}'\left( t \right)\Rightarrow {h}'\left( t \right)=\dfrac{{V}'\left( t \right)}{200h\left( t \right)}=\dfrac{1}{200\cdot 0,8}=\dfrac{1}{160}$ $\mathrm{m} /$phút.

Vậy $a=160.$

Câu 4. Có hai thùng hàng $A$ và $B$ được đặt trên sàn nhà kho. Hai thùng được nối với nhau bằng một sợi dây dài 15 m , sợi dây luôn căng và được kéo qua một ròng rọc gắn tại điểm $P$ trên trần nhà. Biết trần nhà cao 4 m so với mặt sàn (đoạn $P Q=4 \mathrm{~m}$ ) và trong quá trình di chuyển, hai thùng hàng luôn nằm trên mặt sàn (bỏ qua lực ma sát). Nếu thùng $A$ cách $Q$ khoảng $3 m$ và đang được kéo ra xa $Q$ với tốc độ không đổi $0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$, hỏi thùng $B$ đang di chuyển về phía $Q$ với tốc độ bao nhiêu $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải. Sau $t$ giây kể từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động từ $Q$ thì $QA={{v}_{A}}\cdot t=0,5t.$

$\Rightarrow AP=\sqrt{Q{{A}^{2}}+P{{Q}^{2}}}=\sqrt{0,25{{t}^{2}}+{{4}^{2}}}$

$\Rightarrow BQ\left( t \right)=\sqrt{B{{P}^{2}}-P{{Q}^{2}}}=\sqrt{{{\left( l-AP \right)}^{2}}-P{{Q}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 15-\sqrt{0,25{{t}^{2}}+{{4}^{2}}} \right)}^{2}}-{{4}^{2}}}.$

Khi $QA=3\Leftrightarrow 0,5t=3\Leftrightarrow t=6$

$ \Rightarrow BQ'\left( 6 \right) = \dfrac{d}{{dt}}\left( {\sqrt {{{\left( {15 - \sqrt {0,25{t^2} + {4^2}} } \right)}^2} - {4^2}} } \right)\left| \begin{gathered}
\hfill \\
t = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right. = - \dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}} \approx - 0,33{\text{ m/s}}{\text{.}}$

Vậy thùng $B$ đang di chuyển về phía $Q$ với tốc độ $0,33\text{ m/s}\text{.}$

Câu 5. Một chiếc thang dài $9$ mét tựa vào một bức tường thẳng dứng trên một mặt đất bằng phẳng. Khi đầu dưới của thang di chuyển (trên mặt đất) ra xa bức tường với vận tốc không đổi là $2(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ thì đầu trên cùng của thang sẽ trượt xuống dọc theo bức tường. Khi điểm đầu thang cách mặt đất $3$ mét thì tốc độ di chuyển của nó bằng bao nhiêu? (đơn vị: ( $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Giải. Khi $AB=3\text{ m}\Rightarrow BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{9}^{2}}-{{3}^{2}}}=6\sqrt{2}\text{ m}\text{.}$

Ta có $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}\Rightarrow 2AB\cdot \dfrac{d\left( AB \right)}{dt}=2AC\cdot \dfrac{d\left( AC \right)}{dt}-2BC\cdot \dfrac{d\left( BC \right)}{dt}$

Do chiều dài thang $AC=9\text{ m}$ không thay đổi khi đầu dưới của thang di chuyển ra xa bước tường nên $d\left( AC \right)=0.$

Do đó $\dfrac{d\left( AB \right)}{dt}=-\dfrac{BC}{AB}\cdot \dfrac{d\left( BC \right)}{dt}=-\dfrac{6\sqrt{2}}{3}\cdot 2\approx -5,66\text{ m/s}\text{.}$

Vậy khi điểm đầu thang cách mặt đất $3$ mét thì tốc độ di chuyển của nó là $5,66$ mét/giây.

Câu 6. Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol, đoạn dốc lên $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $0,5$ và $-0,75.$ Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q.$ Giả sử gốc toạ độ đặt tại $P$ và phương trình của parabol là $y=a x^2+b x+c$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Biết khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm $P$ và $Q$  là $40\text{ m}\text{.}$ Chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ là bao nhiêu mét?

>>Lời giải

Câu 7. Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là \[\]$400\text{ m}\text{.}$ Độ dốc của mặt cầu không vượt quá $10^{\circ}$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình vẽ). Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Lời giải

Câu 8. Trong hình vẽ, xe $A$ kéo xe $B$ bằng một sợi dây dài $39\text{ m}$ qua một ròng rọc ở độ cao $12\text{ m}\text{.}$ Xe $A$ xuất phát từ $N$ và chạy với vận tốc không đổi $2\text{ m/s}$ theo chiều mũi tên.

Tính vận tốc (đơn vị: mét/giây) của xe $B$ khi xe $A$ cách $N$ một khoảng là $5\text{ m}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

>>Lời giải

Câu 9. Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong, đoạn dốc xuống $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $-1,62$ và $-2,7.$ Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung đường cong tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q.$ Giả sử gốc toạ độ đặt tại $P$ và phương trình của cung đường cong là $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Biết khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm $P$ và $Q$  là $40\text{ m}\text{.}$ Chênh lệch độ cao giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của ray tàu lượn giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ là bao nhiêu mét?

>>Lời giải

Câu 10. Một thùng chứa dầu có thiết diện ngang (mặt cắt trong của thùng) là một hình elip có độ dài trục lớn $2\text{ m,}$ độ dài trục nhỏ $\text{1 m}$ và chiều dài mặt trong của thùng là $\text{8 m}\text{.}$ Thùng được đặt sao cho trục bé của elip nằm theo phương thẳng đứng (hình vẽ).

Ban đầu thùng không có dầu, dầu được bơm vào thùng với tốc độ $\text{1 }{{\text{m}}^{\text{3}}}$ mỗi phút. Vào lúc mực dầu trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là $\text{0,5 m}$ thì mực dầu trong thùng dâng lên với tốc độ bao nhiêu centimét/phút? (làn tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Lời giải

Câu 11. Một thùng chứa dầu có thiết diện ngang (mặt cắt trong của thùng) là một hình elip có độ dài trục lớn $2\text{ m,}$ độ dài trục nhỏ $\text{1 m}$ và chiều dài mặt trong của thùng là $\text{8 m}\text{.}$ Thùng được đặt sao cho trục bé của elip nằm theo phương thẳng đứng (hình vẽ).

Ban đầu thùng không có dầu, dầu được bơm vào thùng với tốc độ $\text{1 }{{\text{m}}^{\text{3}}}$ mỗi phút. Vào lúc mực dầu trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là $\text{0,8 m}$ thì mực dầu trong thùng dâng lên với tốc độ bao nhiêu centimét/phút? (làn tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Lời giải

Câu 12. Một chậu cá cảnh nhỏ có dạng khối tròn xoay, cạnh bên cong là một cung tròn bán kính $20\text{ cm,}$ góc ở tâm là ${{300}^{\circ }}.$

Ban đầu chậu không có nước, nước được rót vào chậu với tốc độ $5$ lít/phút. Vào lúc mực nước trong chậu (tính từ điểm thấp nhất của đáy chậu đến mặt nước) là $10\text{ cm}$ thì tốc độ dâng cao mực nước là bao nhiêu centimét/phút? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục, giả thiết độ dày vỏ chậu không đáng kể).

>>Lời giải

Câu 13. Một chậu đựng nước có dạng hình nón cụt, bán kính đáy nhỏ và bán kính đáy lớn trong lòng chậu lần lượt là $20\text{ cm}$ và $30\text{ cm,}$ độ dài cạnh bên trong lòng chậu là $40\text{ cm}\text{.}$

Ban đầu chậu không có nước, nước được bơm vào chậu lúc $7$ giờ sáng với tốc độ \[100\left( 21+2\sqrt{15} \right)\pi \text{ c}{{\text{m}}^{3}}\text{/ph }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ t}\text{.}\] Vào lúc $7$ giờ $6$ phút sáng mực nước trong chậu (tính từ điểm thấp nhất của đáy chậu đến mặt nước) dâng lên với tốc độ là bao nhiêu centimét/phút? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

>>Lời giải

Câu 14. Một cái xô đựng nước có dạng hình chóp cụt đều cao $40\text{ cm,}$ đáy và miệng chậu tương ứng là các hình vuông có độ dài cạnh $20\text{ cm}$ và $30\text{ cm}\text{.}$ Ban đầu chậu không có nước, nước được bơm vào chậu lúc $7$ giờ sáng với tốc độ \[2128\text{ c}{{\text{m}}^{3}}\text{/ph }\!\!\acute{\mathrm{u}}\!\!\text{ t}\text{.}\] Vào lúc $7$ giờ $6$ phút sáng mực nước trong chậu (tính từ điểm thấp nhất của đáy chậu đến mặt nước) dâng lên với tốc độ là bao nhiêu centimét/phút? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

>>Lời giải

Câu 15. Một máy bay đang bay ở độ cao $10\text{ km}$ so với mặt đất, thu phát tín hiệu qua một ăng – ten ra đa dưới mặt đất. Khi máy bay cách ra đa \[16\text{ km,}\] ra đa phát hiện khoảng cách giữa máy bay và ra đa thay đổi với tốc độ $546\text{ km/h}\text{.}$Tìm vận tốc của máy bay khi đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị tính theo $\text{km/h}$).

>>Lời giải

Câu 16: Một ly thủy tinh có hình dạng phần chứa nước là một hình parabol tròn xoay. Hình dạng này được tạo ra bằng cách quay một phần của đường parabol quanh trục đối xứng của nó. Biết phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là $10\text{ cm,}$ đường kính miệng ly là $8\text{ cm}$ (chỉ tính phần chứa nước, không tính phần thủy tinh).

Ban đầu, ly không có nước. Nước được rót vào ly với tốc độ không đổi $8\pi \text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}\text{/s}\text{.}$ Hỏi thời điểm trong ly chứa một lượng nước có thể tích bằng $\dfrac{1}{4}$ thể tích của ly khi nó chứa đầy nước thì mực nước trong ly dâng lên với tốc độ bao nhiêu $\text{cm/s?}$

>>Lời giải

Câu 17: Một ly thủy tinh có phần chứa nước hình dạng tròn xoay. Hình dạng này được tạo ra bằng cách quay một nửa hình elip quanh trục lớn của nó. Biết phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là $10\text{ cm,}$ đường kính miệng ly là $8\text{ cm}$ (chỉ tính phần chứa nước, không tính phần thủy tinh).

Ban đầu, ly không có nước. Nước được rót vào ly với tốc độ không đổi $6\pi \text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}\text{/s}\text{.}$ Hỏi thời điểm trong ly chứa một lượng nước có thể tích bằng $\dfrac{5}{16}$ thể tích của ly khi nó chứa đầy nước thì mực nước trong ly dâng lên với tốc độ bao nhiêu $\text{cm/s?}$

>>Lời giải

Câu 18. Một cái ao hình dạng lăng trụ đứng tứ giác: sâu $2\text{ m,}$ đáy ao là hình chữ nhật kích thước $20\text{ m}\times 10\text{ m}$ và mặt ao là hình chữ nhật kích thước $\text{30 m}\times 10\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ).

Nước được bơm vào ao với tốc độ là $720\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}\text{/h}\text{.}$ Mực nước trong ao dâng lên với tốc độ (đơn vị: cm/phút) khi chiều cao mực nước trong ao là $80\text{ cm}$ bằng bao nhiêu?

>>Lời giải

Câu 19. Anh A bơm nước vào một chiếc thùng nhựa đựng nước với hai đáy là hai hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau và có kích thước (chỉ tính phần chứa nước) như hình vẽ với tốc độ bơm nước vào thùng là $20$ lít/phút. Vận tốc nước dâng lên ở cạnh bên của thùng nhựa (đơn vị: cm/phút) khi chiều cao mực nước trong thùng là $30\text{ cm}$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

>>Lời giải

Câu 20. Một bình chứa nước có hình dạng như hình vẽ.

Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao $x\text{ dm }\left( 0\le x\le 4 \right)$ thì mặt nước là hình vuông có độ dài cạnh $\sqrt{2+\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}\text{ dm}\text{.}$Nước được rót vào bình với tốc độ không đổi $900\text{ c}{{\text{m}}^{\text{3}}}\text{/s}\text{.}$ Khi nước trong bình có chiều cao $1\text{ dm}$ thì mực nước trong bình dâng lên với tốc độ bao nhiêu $\text{cm/s}?$

>>Lời giải

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.