Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu hình học: Tìm khúc hẹp nhất của một con sông

Hình vẽ bên mô tả một con sông với bờ phải là một phần đường cong $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ và bờ trái là một phần đường cong $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét. Tính từ bờ phải sang bờ trái, khúc hẹp nhất của đoạn sông giới hạn bởi $0\le x\le 2$ là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học

Lời giải. Xét hai điểm $A\left( {a; - {a^3} + 3{a^2}} \right) \in \left( {{C_1}} \right):y = - {x^3} + 3{x^2};$

$B\left( {b; - {b^3} + 3{b^2} + 2} \right) \in \left( {{C_2}} \right):y = - {x^3} + 3{x^2} + 2$

với $a,b\in \left[ 0;2 \right].$

Gọi $d,\text{ }\Delta $ lần lượt là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{1}} \right),\text{ }\left( {{C}_{2}} \right)$ tại các điểm $A,\text{ }B$ sao cho chúng song song với nhau và $d$ luôn nằm trên $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\Delta $ luôn nằm dưới $\left( {{C}_{2}} \right).$

Với điều kiện này, ta có $a\in D\subset \left[ 0;2 \right]$ nào đó.

Và $d||\Delta \Rightarrow {{k}_{d}}={{k}_{\Delta }}\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}+6a=-3{{b}^{2}}+6b$

$\Rightarrow b=2-a\Rightarrow B\left( 2-a;-{{\left( 2-a \right)}^{3}}+3{{\left( 2-a \right)}^{2}}+2 \right).$

Khi đó khoảng cách giữa hai bờ sông là $MN\ge d\left( d,\Delta  \right),\forall a\in D\Leftrightarrow MN\ge \underset{D}{\mathop{\max }}\,d\left( d,\Delta  \right).$

Ta có \[d\left( d,\Delta  \right)\le AB,\forall a\in D\Rightarrow d\left( d,\Delta  \right)\le \underset{D}{\mathop{\min }}\,AB.\]

Vậy \[M{{N}_{\min }}=\underset{D}{\mathop{\max }}\,d\left( d,\Delta  \right)=\underset{D}{\mathop{\min }}\,AB\ge \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,AB\]

$=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( a \right)=g\left( \approx 1,3054 \right)\approx 0,65077\text{ km}\approx \text{651 m}$

với $AB=g\left( a \right)=\sqrt{{{\left( a-2+a \right)}^{2}}+{{\left( -{{\left( 2-a \right)}^{3}}+3{{\left( 2-a \right)}^{2}}+2+{{a}^{3}}-3{{a}^{2}} \right)}^{2}}}.$

Ghi chú. Về mặt hình học để tìm \[\underset{D}{\mathop{\min }}\,AB,\] lập luận $AB\bot d||\Delta \Rightarrow {{k}_{AB}}=-\dfrac{1}{{{k}_{d}}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{-{{\left( 2-a \right)}^{3}}+3{{\left( 2-a \right)}^{2}}+2-\left( -{{a}^{3}}+3{{a}^{2}} \right)}{\left( 2-a \right)-a}=-\dfrac{1}{-3{{a}^{2}}+6a}\Rightarrow a\approx 1,3054.$

Câu hỏi dành cho các em tự luyện:

Hình vẽ bên mô tả khúc cua của một con đường với lề phải là một phần parabol $\left( {{P}_{1}} \right):x=\dfrac{{{y}^{2}}}{4}$ và lề trái là một phần parabol $\left( {{P}_{2}} \right):x=\dfrac{{{y}^{2}}}{16}-9,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Bề rộng mặt đường hẹp nhất (khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm lần lượt thuộc hai lề đường) quanh khúc cua đó là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hình vẽ bên mô tả một con sông với bờ trái là một phần parabol $\left( P \right):y=3{{x}^{2}}$ và bờ phải là một phần đường cong $\left( C \right):y=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{x}$ với $x>0,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét. Tính từ bờ trái sang bờ phải, khúc hẹp nhất của con sông này là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.