Vận dụng Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến

Tìm giá trị lớn nhất (tương ứng, giá trị nhỏ nhất) của biểu thức $F(x;y)=Ax+By$ trên miền nghiệm $S$ của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

                                                                    \[S:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y \leqslant {c_1}} \\ {{a_2}x + {b_2}y \leqslant {c_2}} \\ \cdots \\ {{a_n}x + {b_n}y \leqslant {c_n}} \end{array}} \right.\left( 1 \right)\]

ở đó $\text{A},\text{B}$ là hai số thực cho trước, không đồng thời bằng $0.$

Các bài toán như vậy gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến. Biểu thức $F(x;y)$ ở trên gọi là hàm mục tiêu.

a) Mỗi bất phương trình trong hệ $\left( 1 \right)$ gọi là một ràng buộc. Nếu $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là một nghiệm của hệ $\left( 1 \right)$ thì ta nói $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là một phương án chấp nhận được hoặc phương án khả thi của bài toán. Tập các phương án chấp nhận được còn gọi là miền chấp nhận được. Nếu $F(x;y)$ đạt giá trị lớn nhất (tương ứng, giá trị nhỏ nhất) trên miền nghiệm $S$ tại $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì cặp $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ gọi là một phương án tối ưu của bài toán và giá trị $F\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ gọi là giá trị tối ưu.

Nếu phương án chấp nhận được $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là một đỉnh của miền nghiệm thì $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ gọi là một điểm cực biên hoặc phương án cực biên.

b) Bài toán quy hoạch tuyến tính trên được kí hiệu như sau:

                                                                  \[F(x;y)=Ax+By\to \max (\min )\]

với các ràng buộc

                                                                          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y \leqslant {c_1}} \\ {{a_2}x + {b_2}y \leqslant {c_2}} \\ \cdots \\ {{a_n}x + {b_n}y \leqslant {c_n}} \end{array}} \right.\]

c) Trong hệ $\left( 1 \right),$ một số ràng buộc có thể được viết dưới dạng $ax+by\ge c.$

Bài toán quy hoạch tuyến tính với miền chấp nhận được là miền đa giác

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính với tập các phương án chấp nhận được $S.$ Người ta chứng minh được rằng:

- Nếu $S=\varnothing$ thì bài toán không có phương án tối ưu.

- Nếu $S \neq \varnothing$ và là miền đa giác thì bài toán luôn có phương án tối ưu và phương án tối ưu là một trong các phương án cực biên.

Các bước giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền chấp nhận được là miền đa giác:

Bước 1. Đặt biến.

Bước 2. Xác định hàm mục tiêu.

Bước 3. Xác định hệ bất phương trình bậc nhát gồm tất cả các ràng buộc của bài toán.

Bước 4. Biểu diễn tập các phương án chấp nhận được. Tìm các phương án cực biên.

Bước 5. Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực biên, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiểu rồi kết luận.

>>Xem thêm: Tìm khúc hẹp nhất của một con sông

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán thực tế

>>Xem thêm: Bài toán thực tế: Hàm số theo chương trình SGK mới Toán 10

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong hình học

>>Xem thêm: Vận dụng đạo hàm giải quyết một số bài toán tối ưu trong chuyển động

>>Xem thêm: Các dạng toán thực tế Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

>>Xem thêm: Các dạng bài toán thực tế ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh một trục

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể

>>Xem thêm: Ứng dụng tích phân tính quãng đường vật chuyển động

Ví dụ 1. Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại vitamin $\text{A}$ và $\text{B}$ đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:

i) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả $\text{A}$ lẫn $\text{B;}$

ii) Trong một ngày mỗi người có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin $\text{A}$ và không quá 500 đơn vị vitamin $\text{B;}$

iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên, nên mỗi ngày, một người sử dụng số đơn vị vitamin $\text{B}$ không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin $\text{A}$ nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin $\text{A}.$

Biết rằng mỗi đơn vị vitamin $\text{A}$ có giá $90$ đồng và mỗi đơn vị vitamin $\text{B}$ có giá $75$ đồng. Tìm phương án dùng hai loại vitamin $\text{A}$ và $\text{B}$ thoả mãn các điều kiện ở trên sao cho chi phí rẻ nhất.

Giải. Bước 1. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số đơn vị vitamin $A$ và $B$ mà một người dùng mỗi ngày.

Bước 2. Chi phí mua vitamin là $F(x;y)=90x+75y$ đồng.

Bước 3. Hệ bất phương trình ràng buộc $x$ và $y$ là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 \leqslant x \leqslant 600} \\ {0 \leqslant y \leqslant 500} \\ {400 \leqslant x + y \leqslant 1000} \\ {\dfrac{1}{2}x \leqslant y \leqslant 3x.} \end{array}} \right.$

Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền lục giác $MNPQRS$ trong hình vẽ bên

Các điểm cực biên là \[M(100;300),N\left( \dfrac{500}{3};500 \right),P(500;500),Q(600;400),R(600;300),S\left( \dfrac{800}{3};\dfrac{400}{3} \right).\]

Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ trên miền lục giác $MNPQRS.$

Ta biết rằng $F(x;y)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của lục giác. Tính giá trị của $F(x;y)$ tại các đỉnh của lục giác ta được: \[F(100;300)=31500;F\left( \dfrac{500}{3};500 \right)=52500;F(500;500)=82500;\]

\[F(600;400)=84000;F(600;300)=76500;F\left( \dfrac{800}{3};\dfrac{400}{3} \right)=34000.\]

Giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ bằng $31500$ tại $M(100;300).$ Phương án tối ưu là $(100;300).$ Vậy chi phí mua vitamin nhỏ nhất là $31500$ đồng khi $x=100$ và $y=300.$

Ví dụ 2. Một công ty sản xuất hai loại thực phẩm $X, Y.$ Nguyên liệu để sản xuất gồm ba loại là bột, đường và dầu thực vật, với lượng dự trữ tương ứng là $15$ tấn, $12$ tấn, $10$ tấn. Để sản xuất:

- $1$ tấn thực phẩm loại $X$ cần $0,5$ tấn bột, $0,5$ tấn đường, $0,2$ tấn dầu thực vật;

- $1$ tấn thực phẩm loại $Y$ cần $0,6$ tấn bột, $0,3$ tấn đường, $0,5$ tấn dầu thực vật.

Giá bán một tấn thực phẩm $X$ là $100$ triệu đồng, giá bán một tấn thực phẩm $Y$ là $112$ triệu đồng. Hỏi cần sản xuất mỗi loại thực phẩm bao nhiêu tấn để có doanh thu lớn nhất?

Giải. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn thực phẩm $X$ và $Y$ cần sản xuất.

Số tiền bán thực phẩm thu được là $F(x ; y)=100 x+112 y$ triệu đồng.

Số tấn bột để sản xuất $x$ tấn thực phẩm $X$ và $y$ tấn thực phẩm $Y$ là $0,5 x+0,6 y.$

Số tấn đường để sản xuất $x$ tấn thực phẩm $X$ và $y$ tấn thực phẩm $Y$ là $0,5 x+0,3 y.$

Số tấn dầu thực vật để sản xuất $x$ tấn thực phẩm $X$ và $y$ tấn thực phẩm $Y$ là $0,2 x+0,5 y.$

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 0,6y \leqslant 15} \\ {0,5x + 0,3y \leqslant 12} \\ {0,2x + 0,5y \leqslant 10} \\ {x \geqslant 0,y \geqslant 0} \end{array}} \right.\]

Tập các phương án chấp nhận được là miền ngũ giác tô màu trong hình vẽ bên

Các đỉnh của miền nghiệm là \[O(0;0),A(0;20),B\left( \dfrac{150}{13};\dfrac{200}{13} \right),C(18;10),D(24;0)\text{. }\]

Ta có:$F(0;0)=100\cdot 0+112\cdot 0=0;F(0;20)=100\cdot 0+112\cdot 20=2240;$

$F\left( \dfrac{150}{13};\dfrac{200}{13} \right)=100\cdot \dfrac{150}{13}+112\cdot \dfrac{200}{13}=\dfrac{37400}{13};$

$F(18;10)=100\cdot 18+112\cdot 10=2920;F(24;0)=100\cdot 24+112\cdot 0=2400.$

Giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ bằng $2920$ tại $C\left( 18;10 \right).$ Phương án tối ưu là $\left( 18;10 \right).$ Vậy doanh thu lớn nhất là $2920$ triệu đồng khi $x=18,\text{ }y=10.$

Ví dụ 3. Một công ty sơn sản xuất hai loại sơn là sơn nội thất và sơn ngoài trời. Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại $X$ và $Y$ với trữ lượng lần lượt là $6$ tấn và $8$ tấn. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần $2$ tấn nguyên liệu $X$ và $1$ tấn nguyên liệu $Y.$ Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần $1$ tấn nguyên liệu $X$ và $2$ tấn nguyên liệu $Y.$ Qua nghiên cứu thị trường, công ty thấy rằng nhu cầu sơn nội thất không nhiều hơn sơn ngoài trời quá $1$ tấn và nhu cầu cực đại của sơn nội thất là $2$ tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là $60$ triệu đồng, một tấn sơn ngoài trời là $30$ triệu đồng. Công ty cần sản xuất mỗi loại sơn bao nhiêu tấn để doanh thu lớn nhất?

Giải. Bước 1. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời công ty cần sản xuất.

Bước 2. Doanh thu của công ty là $F(x ; y)=60 x+30 y$ (triệu đồng).

Bước 3. Hệ bất phương trình bậc nhất ràng buộc $x$ và $y$ là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 \leqslant x \leqslant 2} \\ {y \geqslant 0} \\ {2x + y \leqslant 6} \\ {x + 2y \leqslant 8} \\ {x \leqslant y + 1} \end{array}} \right.\]

Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền lục giác $O A B C D E$ trong hình vẽ bên.

Các điểm cực biên là: $O(0 ; 0), A(1 ; 0), B(2 ; 1), C(2 ; 2), D\left(\dfrac{4}{3} ; \dfrac{10}{3}\right), E(0 ; 4).$

Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của $F(x ; y)$ trên miền lục giác $O A B C D E$.

Ta biết rằng, $F(x ; y)$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của lục giác. Tính giá trị của $F(x ; y)$ tại các đỉnh của đa giác ta được: $F(0 ; 0)=0 ; F(1 ; 0)=60 ; F(2 ; 1)=150 ; F(2 ; 2)=F\left(\dfrac{4}{3} ; \dfrac{10}{3}\right)=180 ; F(0 ; 4)=120.$

Chú ý rằng vì đường thẳng $C D$ có phương trình $2 x+y=6,$ nên với mọi điểm $M(x ; y)$ thuộc đường thẳng $C D$ ta đều có $F(x ; y)=60 x+30 y=30(2 x+y)=30 \cdot 6=180.$ Vậy biểu thức $F(x ; y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $180$ tại mọi điểm $M(x ; y)$ thuộc đoạn thẳng $C D.$ Như vậy bài toán có vô số phương án tối ưu, đó là toạ độ của tất cả các điểm thuộc đoạn thẳng $C D.$ Từ đó suy ra, công ty cần sản xuất $x$ tấn sơn nội thất và $y=6-2 x$ tấn sơn ngoài trời với $\dfrac{4}{3} \leq x \leq 2$ thì doanh thu lớn nhất.

Ví dụ 4. Để chế biến một hộp thực phẩm $A$ cần $0,2\text{ kg}$ cà chua và $0,1\text{ kg}$ thịt; một hộp thực phẩm $B$ cần $0,2\text{ kg}$ cà chua và $0,3\text{ kg}$ thịt. Lợi nhuận thu được từ $1$ hộp thực phẩm $A$ và $1$ hộp thực phẩm  lần lượt là $4000$ đồng và $5000$ đồng. Chị Hoa có $2\text{ kg}$ cà chua và $2\text{ kg}$ thịt để sản xuất các hộp thực phẩm $A$ và $B.$ Với lượng nguyên liệu như trên, lợi nhuận lớn nhất chị Hoa có thể thu được là bao nhiêu nghìn đồng?

Giải. Gọi $x,\text{ }y$lần lượt là số hộp thực phẩm $A,\text{ }B$ cần sản xuất.

Lợi nhuận thu được là $F\left( x;y \right)=4000x+5000y=1000\left( 4x+5y \right)$ đồng.

Ta có hệ điều kiện ràng buộc giữa $x,\text{ }y$ là $\left\{ \begin{array}{l}x,y \ge 0\\0,2x + 0,2y \le 2\\0,1x + 0,3y \le 2\end{array} \right..$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ trên hình vẽ

Các điểm cực biên là $O\left( 0;0 \right),\text{ }A\left( 0;\dfrac{20}{3} \right),\text{ }B\left( 5;5 \right),\text{ }C\left( 10;0 \right).$

Ta có $F\left( 0;0 \right)=0,\text{ }F\left( 0;\dfrac{20}{3} \right)=\dfrac{100000}{3},\text{ }F\left( 5;5 \right)=45000,\text{ }F\left( 10;0 \right)=40000.$

Giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ bằng $45000$ đồng tại $B\left( 5;5 \right).$ Phương án tối ưu là $\left( 5;5 \right).$ Vậy lợi nhuận lớn nhất chị Hoa có thể thu được là $45000$ đồng khi $x=y=5.$

Ví dụ 5. Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Thời gian để một công nhân hoàn thiện $1$ chiếc bàn và $1$ chiếc ghế lần lượt là $120$ phút và $30$ phút. Xưởng có $4$ công nhân, mỗi công nhân làm việc không quá $6$ tiếng mỗi ngày. Biết rằng sản phẩm của xưởng luôn được tiêu thụ hết, mỗi chiếc bàn lãi $200$ nghìn đồng, mỗi chiếc ghế lãi $75$ nghìn đồng và số ghế không vượt quá $4$ lần số bàn. Trong một ngày sản xuất, xưởng có thể thu được lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu tiền? Viết câu trả lời theo đơn vị triệu đồng.

Giải. Gọi $x,\text{ }y$ lần lượt là số bàn và số ghế xưởng sản xuất trong một ngày.

Lợi nhuận trong một ngày của xưởng là $F\left( x;y \right)=0,2x+0,075y$ triệu đồng.

Ta có hệ điều kiện ràng buộc giữa $x,\text{ }y$ là $\left\{ \begin{array}{l}x,{\rm{ }}y \ge 0\\y \le 4x\\2x + 0,5y \le 4 \times 6 = 24\end{array} \right..$

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác $OAB$ trên hình vẽ.

Các điểm cực biên là $O\left( 0;0 \right),\text{ }A\left( 6;24 \right),\text{ }B\left( 12;0 \right).$

Ta có $F\left( 0;0 \right)=0,\text{ }F\left( 6;24 \right)=3,\text{ }F\left( 12;0 \right)=2,4.$ Giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ bằng $3$ triệu đồng tại $A\left( 6;24 \right).$ Phương án tối ưu là $\left( 6;24 \right).$ Vậy lợi nhuận lớn nhất của xưởng trong một ngày là chị Hoa có thể thu được là $3$ triệu đồng khi $x=6,\text{ }y=24.$

Ví dụ 6. Bà Lan được tư vấn bổ sung chế độ ăn kiêng đặc biệt bằng cách sử dụng hai loại thực phẩm khác nhau là $X$ và $Y.$ Mỗi gói thực phẩm $X$ chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin $B.$ Mỗi gói thực phẩm $Y$ chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin $B.$ Yêu cầu hằng ngày tối thiểu trong chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin $B.$ Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Gọi $x,\text{ }y$ lần lượt là số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày.

a) Hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$ là

\[\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 12\\2x + y \ge 16\\x + 2y \ge 14\\0 \le x \le 12\\0 \le y \le 12\end{array} \right.\]

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B$ là một ngũ giác.

c) Biết 1 gói thực phẩm loại $X$ giá 20000 đồng, 1 gói thực phẩm $Y$ giá 25000 đồng khi đó bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm loại $X$ và 2 gói thực phẩm loại $X$ trong một ngày để chi phí mua là ít nhất.

d) Điểm $\left( 10;8 \right)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình mô tả số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin $B.$

Giải. a) Đ b) Đ c) Đ d) S

a) Hệ phương trình ràng buộc giữa $x$ và $y$ là \[\left\{ \begin{array}{l}20x + 20y \ge 240\\20x + 10y \ge 160\\10x + 20y \ge 140\\0 \le x \le 12\\0 \le y \le 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y\ge 12\\2x + y \ge 16\\x + 2y \ge 14\\0 \le x \le 12\\0 \le y \le 12\end{array} \right..\]

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là ngũ giác $ABCDE$ trên hình vẽ.

c) Chi phí mua thực phẩm trong một ngày là $F\left( x;y \right)=20000x+25000y=5000\left( 4x+5y \right)$ đồng.

Các điểm cực biên là $A\left( 2;12 \right),\text{ }B\left( 12;12 \right),\text{ }C\left( 12;1 \right),\text{ }D\left( 10;2 \right),\text{ }E\left( 4;8 \right).$

Ta có $F\left( 1;12 \right)=340000,\text{ }F\left( 12;12 \right)=540000,\text{ }F\left( 12;1 \right)=265000;$

$F\left( 10;2 \right)=250000,\text{ }F\left( 4;8 \right)=280000.$

Vậy bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm loại $X$ và 2 gói thực phẩm loại $Y$ trong một ngày để chi phí mua là ít nhất.

d) Điểm $\left( 10;8 \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Ví dụ 7. Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi sản phẩm yêu cầu sử dụng ba máy. Máy đầu tiên có thể được sử dụng nhiều nhất là $70$ giờ, máy thứ hai nhiều nhất là $40$ giờ và máy thứ ba nhiều nhất là $90$ giờ. Sản phẩm thứ nhất cần $2$ giờ trên máy $I,$ $1$ giờ trên máy $II$ và $1$ giờ trên máy $III;$ sản phẩm thứ hai cần $1$ giờ cho mỗi máy $I, II$ và $3$ giờ trên máy $III.$ Nếu lợi nhuận là $400$ nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ nhất và $600$ nghìn đồng/đơn vị cho sản phẩm thứ hai, thì cần sản xuất bao nhiêu đơn vị mỗi sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Ví dụ 8. Một trung tâm tổ chức sự kiện có một phòng tổ chức lễ cưới với hai kiểu bàn ăn: bàn hình chữ nhật ngồi $6$ người với giá thuê $200$ nghìn đồng và bàn tròn ngồi $10$ người với giá thuê $300$ nghìn đồng. Anh Nam muốn thuê phòng để tổ chức đám cưới với $250$ khách mời. Căn phòng chỉ chứa được tối đa $35$ bàn các loại và chỉ có $15$ bàn hình chữ nhật. Hỏi anh Nam phải thuê mỗi loại bàn bao nhiêu để giảm thiểu tối đa chi phí mà vẫn đáp ứng được các yêu cầu trên?

Ví dụ 9. Một cơ sở sản xuất hai loại sữa chua $X$ và $Y.$ Nguyên liệu chính để sản xuất hai loại sữa chua này là dâu tây, sữa và đường. Để sản xuất một đơn vị sữa chua $X$ và một đơn vị sữa chua $Y$ cần lượng nguyên liệu như trong bảng:

Nguyên liệu	Sữa chua X	Sữa chua Y
Dâu tây	2 kg	3 kg
Sữa	2 kg	1 kg
Đường	0 kg	1 kg

Nguồn nguyên liệu dự trữ dâu tây, sữa và đường lần lượt là $1,2$ tấn; $0,8$ tấn và $0,3$ tấn. Giá bán mỗi đơn vị sữa chua $X$ và $Y$ lần lượt là $800$ nghìn đồng và $1,2$ triệu đồng. Cơ sở sản xuất cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sữa chua $X$ và $Y$ để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Ví dụ 10. Một nhà máy hoá chất sản xuất hai hợp chất $X$ và $Y.$ Khi sản xuất một đơn vị hợp chất $X$ sẽ có $2 \mathrm{dm}^3$ khí $\mathrm{CO}$ (carbon monoxide) và $6 \mathrm{dm}^3$ khí $\mathrm{SO_2}$ (sulfur dioxide) phát tán ra môi trường. Khi sản xuất một đơn vị hợp chất $Y$ sẽ có $4 \mathrm{dm}^3$ khí $\mathrm{CO}$ và $3 \mathrm{dm}^3$ khi $\mathrm{SO}_2$ phát tán ra môi trường. Các yêu cầu về khí thải chỉ cho phép nhà máy phát thải ra môi trường mỗi tuần không quá $3000 \mathrm{dm}^3$ khí $\mathrm{CO}$ và không quá $5400 \mathrm{dm}^3$ khí $\mathrm{SO}_2.$ Nhà máy có thể bán hết tất cả các đơn vị hợp chất $X$ và $Y$ sản xuất ra với giá $36000$ đồng một đơn vị hợp chất $X$ và $24000$ đồng một đơn vị hợp chất $Y.$ Xác định số đơn vị hợp chất $X$ và $Y$ mỗi loại cần sản xuất trong một tuần để thu được lợi nhuận cao nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về khí thải môi trường.

Ví dụ 11. Chế độ ăn của một người yêu cầu mỗi ngày tối thiểu $400$ đơn vị vitamin, $500$ đơn vị khoáng chất và $1400$ đơn vị calo. Có hai loại thức ăn $F_1$ và $F_2;$ mỗi đơn vị $F_1$ giá $1200$ đồng và mỗi đơn vị $F_2$ giá $720$ đồng. Mỗi đơn vị thức ăn $F_1$ chứa $2$ đơn vị vitamin, $1$ đơn vị khoáng chất và $4$ đơn vị calo. Mỗi đơn vị thức ăn $F_2$ chứa $1$ đơn vị vitamin, $2$ đơn vị khoáng chất và $4$ đơn vị calo. Tìm chế độ ăn hỗn hợp $F_1$ và $F_2$ sao cho chi phí là ít nhất mà vẫn đảm bảo các yêu cầu về dinh dưỡng.

Ví dụ 12. Một hãng bán gà rán nghiên cứu thấy rằng để làm ra món gà rán có chất lượng tốt nhất thì thức ăn cho gà cần được bổ sung thêm $4$ loại vitamin $\mathrm{V} 1, \mathrm{~V} 2, \mathrm{~V} 3$ và $\mathrm{V} 4.$ Tổng lượng vitamin tối thiểu phải bổ sung cho mỗi $100 \mathrm{~g}$ thức ăn cho gà là: V1 cần 50 đơn vị, V2 cần 100 đơn vị, V3 cần 60 đơn vị và V4 cần 180 đơn vị. Có hai loại thức ăn $\mathrm{S} 1$ và $\mathrm{S} 2$ cung cấp 4 loại vitamin này. Loại $\mathrm{S} 1$ có giá 720 đồng một gam và mỗi gam $\mathrm{S} 1$ có chứa 5 đơn vị $\mathrm{V} 1,25$ đơn vị V2, 10 đơn vị $\mathrm{V} 3$ và 35 đơn vị V4. Loại $\mathrm{S} 2$ có giá 960 đồng một gam và mỗi gam $\mathrm{S} 2$ có chứa 25 đơn vị $\mathrm{V} 1,10$ đơn vị $\mathrm{V} 2,10$ đơn vị $\mathrm{V} 3$ và 20 đơn vị V4. Hỏi cần phải thêm vào 100 gam thức ăn cho gà mỗi loại $\mathrm{S} 1$ và $\mathrm{S} 2$ bao nhiêu gam để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo dinh dưỡng cho gà?

Ví dụ 13. Một công ty cần thuê xe để chở $140$ người và $9$ tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe $A$ và $B,$ trong đó loại xe $A$ có $10$ chiếc và loại xe $B$ có $9$ chiếc. Một chiếc xe loại $A$ cho thuê với giá $4$ triệu đồng, một chié́c xe loại $B$ cho thuê với giá $3$ triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại $A$ có thể chở tối đa $20$ người và $0,6$ tấn hàng; mỗi xe loại $B$ có thể chở tối đa $10$ người và $1,5$ tấn hàng. Phải thuê bao nhiêu xe loại $A$ và bao nhiêu xe loại $B$ để chi phí bỏ ra là í nhất mà vẫn chở được hết hàng và người?

Ví dụ 14. Một công ty bán hàng toàn quốc đang lên kế hoạch tổ chức cuộc họp bán hàng tại Đà Nẵng. Giá vé máy bay khứ hồi thấp nhất từ Hà Nội đến Đà Nẵng là $2$ triệu đồng và giá vé khứ hồi thấp nhất từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng là $2,4$ triệu đồng. Có $28$ đại diện bán hàng ở Hà Nội và $22$ đại diện bán hàng ở Thành phố Hồ Chí Minh có thể đến Đà Nẵng dự cuộc họp này. Tổng cộng ít nhất $40$ đại diện bán hàng từ Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh phải tham dự cuộc họp này với í nhất $12$ người từ Hà Nội và $16$ người từ Thành phố Hồ Chí Minh. Cần cử bao nhiêu đại diện bán hàng ở Hà Nội và bao nhiêu đại diện bán hàng ở Thành phố Hồ Chí Minh đến dự cuộc họp bán hàng ở Đà Nẵng để tổng chi phí vé máy bay là nhỏ nhất?

Ví dụ 15. Một cửa hàng chuyên về cà phê, có sẵn $75 \mathrm{~kg}$ cà phê Colombia nguyên chất và $120 \mathrm{~kg}$ cà phê thương hiệu của cửa hàng. Những thứ này sẽ được pha thành các gói cà phê $1 \mathrm{~kg}$ như sau: Một gói tiêu chuẩn có chứa $250 \mathrm{~g}$ cà phê Colombia nguyên chất và $750 \mathrm{~g}$ cà phê thương hiệu; một gói cao cấp chứa $500 \mathrm{~g}$ cà phê Colombia nguyên chất và $500 \mathrm{~g}$ cà phê thương hiệu.

a) Gọi $x$ là số gói cà phê tiêu chuẩn và $y$ là số gói cà phê cao cấp, hãy viết hệ bất phương trình bậc nhất mô tả số lượng gói có thể có của mỗi loại.

b) Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất nhận được ở câu a) và tìm các đỉnh của miền nghiệm.

c) Lợi nhuận của mỗi gói cà phê tiêu chuẩn là $30$ nghìn đồng và của mỗi gói cà phê cao cấp là $40$ nghìn đồng. Hỏi cần chuẩn bị bao nhiêu gói cà phê mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Giả sử rằng tất cả các gói cà phê đã chuẩn bị đều có thể bán được.

Ví dụ 16: Một cửa hàng điện tử dự định kinh doanh hai loại tivi: loại 50 inch và loại 55 inch với số vốn ban đầu không vượt quá 1,8 tỉ đồng. Giá nhập vào tivi loại 50 inch là 15 triệu đồng/1 chiếc và lợi nhuận dự kiến 2 triệu đồng/1 chiếc, giá nhập vào tivi loại 55 inch là 25 triệu đồng/ 1 chiếc và lợi nhuận dự kiến 3 triệu đồng/1 chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu tiêu thụ của thị trường sẽ không vượt quá 100 chiếc tivi cả hai loại. Lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng có thể thu được là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã bán hết hàng)?

Giải. Gọi $x,\text{ }y\text{ }\left( x\ge 0,y\ge 0 \right)$ lần lượt là số lượng tivi loại 50 inch và loại 55 inch cửa hàng nhập về bán.

Tổng nhu cầu thị trường $x+y\le 100.$

Ta có tổng số vốn bỏ ra $15x+25y\le 1800\Leftrightarrow 3x+5y\le 360.$

Lợi nhuận thu về $F\left( x;y \right)=2x+3y$ (triệu đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered}x,y \geqslant 0 \hfill \\3x + 5y \leqslant 360 \hfill \\x + y \leqslant 100 \hfill \\\end{gathered} \right.$ là miền tứ giác $OABC$ như hình vẽ.

Tọa độ các điểm cực biên là $O\left( 0;0 \right),A\left( 100;0 \right),B\left( 70;30 \right),C\left( 0;72 \right).$

Ta có $F\left( 0;0 \right)=0;F\left( 100;0 \right)=200;F\left( 0;72 \right)=216;F\left( 70;30 \right)=230.$

Vậy lợi nhuận lớn nhất của cửa hàng có thể thu được là $230$ (triệu đồng).

Ví dụ 17: Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng I và II để sản xuất hai loại sản phẩm A và B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm A thì phân xưởng phải dù̀ng máy I trong 3 giờ, máy II trong 1 giờ và thu được lãi 2 triệu đồng. Nếu sản xuất một tấn sản phẩm B thì phân xưởng phải dùng máy I trong 1 giờ, máy II trong 1 giờ và thu được lãi 1,6 triệu đồng. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy I làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy II làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng đó có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Giải. Gọi $x,\text{ }y$ lần lượt là số tấn sản phẩm A và B sản xuất trong một ngày.

Số tiền lãi trong một ngày là $F\left( x;y \right)=2x+1,6y$ (triệu đồng).

Số giờ máy I làm việc trong một ngày là $3x+y\le 6.$

Số giờ máy II làm việc trong một ngày là $x+y\le 4.$

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{gathered}x \geqslant 0 \hfill \\y \geqslant 0 \hfill \\3x + y \leqslant 6 \hfill \\x + y \leqslant 4 \hfill \\\end{gathered} \right..$

Miền nghiệm là miền đa giác $ABCD$ trong hình vẽ.

Ta có $F\left( 0;0 \right)=0;\text{ }F\left( 2;0 \right)=4;\text{ }F\left( 1;3 \right)=6,8;\text{ }F\left( 0;4 \right)=6,4.$

Vậy số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng đó có thể thu được trong một ngày là $6,8$ (triệu đồng).

Ví dụ 18: Trong năm tới, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng. Biết rằng, giá mua vào và lợi nhuận dự kiến được cho bởi bảng sau:

	Điều hoà hai chiều	Điều hoà một chiều
Giá mua vào	20 triệu đồng  máy	10 triệu đồng  máy
Lợi nhuận dự kiến	3,5 triệu đồng  máy	2 triệu đồng  máy

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Cửa hàng cần đầu tư kinh doanh $x$ loại máy hai chiều và $y$ loại máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất. Tổng $x^2+y^2$ bằng bao nhiêu?

Giải. Tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại nên $x+y\le 100.$

Số vốn đầu tư ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên $20x+10y\le 1200\Leftrightarrow 2x+y\le 120.$

Ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}& x,y\ge 0 \\& x+y\le 100 \\& 2x+y\le 120 \\\end{align} \right.$ có miền nghiệm là miền đa giác $OABC$ trong hình vẽ.

Lợi nhuận thu được là $F\left( x;y \right)=3,5x+2y$ (triệu đồng). Các điểm cực biên $O\left( 0;0 \right),A\left( 60;0 \right),B\left( 20;80 \right),C\left( 0;100 \right)$

và $F\left( 0;0 \right)=0;F\left( 60;0 \right)=210;F\left( 20;80 \right)=230;F\left( 0;100 \right)=200.$

Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất khi $x=20,y=80\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{20}^{2}}+{{80}^{2}}=6800.$

Ví dụ 19: Một nhà đầu tư có số vốn là 5 tỷ đồng (5000 triệu đồng) để phân bổ vào Quỹ cổ phiếu A và quỹ trái phiếu B. Các thông tin và điều kiện đầu tư được xác định như sau: Quỹ Cổ phiếu A có tỷ suất sinh lời là $17 \% /$ năm. Quỹ trái phiếu $B$ có tỷ suất sinh lời là $8 \% /$ năm. Tổng số tiền đầu tư không vượt quá 5000 triệu đồng. Phải đầu tư ít nhất 1200 triệu đồng vào quỹ trái phiếu B. Không đầu tư quá 3200 triệu đồng vào quỹ cổ phiếu A . Với các điều kiện trên thì nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Giải. Gọi $x,\text{ }y$ (tỷ đồng) lần lượt là số tiền đầu tư vào Qũy cổ phiếu A và Qũy trái phiếu B.

Ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}& 0\le x\le 3,2 \\& y\ge 1,2 \\& x+y\le 5 \\\end{align} \right.$ có miền nghiệm là miền đa giác $ABCD$ trên hình vẽ.

Lợi nhuận hàng năm dự kiến $F\left( x;y \right)=0,17x+0,08y$ (tỷ đồng).

Các điểm cực biên là $A\left( 0;1,2 \right),B\left( 3,2;1,2 \right),C\left( 3,2;1,8 \right),D\left( 0;5 \right).$

Ta có $F\left( 0;1,2 \right)=0,096;\text{ }F\left( 3,2;1,2 \right)=0,64;\text{ }F\left( 3,2;1,8 \right)=0,688;\text{ }F\left( 0;5 \right)=0,4.$

Vậy lợi nhuận hàng năm lớn nhất là $0,688$ tỷ đồng hay $688$ triệu đồng.

Ví dụ 20: Một công ty trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa cần thuê xe để chở không dưới 180 người và không dưới 16 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$. Trong đó xe loại $A$ có 20 chiếc, xe loại $B$ có 12 chiếc. Một chiếc xe loại $A$ cho thuê với giá 4 triệu đồng, loại $B$ giá 3,5 triệu đồng. Xe $A$ chỉ chở tối đa 15 người và 0,5 tấn hàng. Xe $B$ chỉ chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Hỏi phải phải thuê mỗi loại bao nhiêu chiếc xe thì chi phí vận chuyển là thấp nhất?

Ví dụ 21: Một xưởng cơ khí sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Để sản xuất một sản phẩm A phải dùng máy I trong 1 giờ và máy II trong 3 giờ, đối với một sản phẩm B phải dùng máy I trong 2 giờ và máy II trong 2 giờ. Mỗi tuần máy I làm việc tối đa 40 giờ, máy II làm việc tối đa 60 giờ. Mỗi sản phẩm A cho lợi nhuận 2 triệu đồng, mỗi sản phẩm B cho lợi nhuận 1,5 triệu đồng. Biết rằng sản phẩm sản xuất ra đều bán hết. Hỏi mỗi tuần xưởng cơ khí thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Giải. Gọi $x,\text{ }y$ lần lượt là số sản phẩm A, số sản phẩm B xưởng cơ khí sản xuất trong một tuần.

Thời gian máy I làm việc trong một tuần là $x+2y\le 40.$

Thời gian máy II làm việc trong một tuần là $3x+2y\le 60.$

Ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}& x,y\ge 0 \\& x+2y\le 40 \\& 3x+2y\le 60 \\\end{align} \right.$ có miền nghiệm là đa giác $OABC$ như hình vẽ.

Các điểm cực biên là $O\left( 0;0 \right),A\left( 20;0 \right),B\left( 10;15 \right),C\left( 0;20 \right)$ và lợi nhuận mỗi tuần là $F\left( x;y \right)=2x+1,5y$ (triệu đồng).

Ta có $F\left( 0;0 \right)=0;\text{ }F\left( 20;0 \right)=40;\text{ }F\left( 10;15 \right)=42,5;\text{ }F\left( 0;20 \right)=30.$

Vậy mỗi tuần xưởng cơ khí thu được lợi nhuận cao nhất là $42,5$ triệu đồng.

Ví dụ 22: Một hộ kinh doanh sản xuất hai loại sản phẩm, gồm sản phẩm thường và sản phẩm cao cấp. Mỗi sản phẩm thực hiện hai công đoạn là lắp ráp và hoàn thiện, có tối đa 12 giờ cho mỗi công đoạn. Mỗi sản phẩm thường cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện, mỗi sản phẩm cao cấp cần 2 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện. Hộ kinh doanh sản xuất tối đa 7 sản phẩm mỗi ngày. Biết mỗi sản phẩm thường, mỗi sản phẩm cao cấp cho lợi nhuận lần lượt là 2 triệu đồng, 3 triệu đồng. Hỏi mỗi ngày, hộ kinh doanh đó thu được lợi nhuận nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ sản xuất các sản phẩm trên?

Ví dụ 23: Nhóm của bạn Lan dự định làm thủ công các bó hoa bằng nguyên liệu là kēm nhung để bán, góp tiền ủng hộ các em nhỏ mồ côi nhân dịp ngày quốc tế thiếu nhi $1 / 6$ sắp tới. Biết cằn 2 giờ để làm một bó hoa nhỏ có giá 60 nghin đồng và 3 giờ để làm một bó hoa lớn có giá 100 nghìn đồng. Nhóm của Lan chl có thể sắp xếp tối đa 36 giờ để làm và yêu cầu của nhóm đặt ra là phải làm it nhất 15 bó hoa. Hãy cho biết nhóm bạn Lan thu được số tiền lớn nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 24: Trường THPT X chuẩn bị tổ chức cho 500 người (bao gồm học sinh và giáo viên) đi tham quan trải nghiệm. Để chuẩn bị cho chuyến đi, nhà trường cần vận chuyển tổng cộng 29 tấn hàng hóa (bao gồm vật dụng, thực phẩm,...). Công ty vận tải A báo giá cho thuê xe như sau:

Xe lớn: Có thể chở tối đa 50 người và 2 tấn hàng. Chi phí thuê là 10 triệu đồng/xe. Công ty vận tải A có 13 xe loại này.

Xe nhỏ: Có thể chở tối đa 30 người và 3 tấn hàng. Chi phí thuê là 7 triệu đồng/xe. Công ty vận tải A có 15 xe loại này.

Sau khi tính toán, nhà trường chọn phương án để tổng chi phí thuê xe là thấp nhất. Số tiền thuê xe thấp nhất mà nhà trường phải trả là bao nhiêu triệu đồng?

Giải. Gọi $x,\text{ }y$ lần lượt là số xe loại lớn, loại nhỏ cần thuê.

Chi phí thuê xe là $F\left( x;y \right)=10x+7y$ (triệu đồng).

Hệ bất phương trình điều kiện $\left\{ \begin{align}& 0\le x\le 13 \\& 0\le y\le 15 \\& 50x+30y\ge 500 \\& 2x+3y\ge 29 \\\end{align} \right.$

Miền nghiệm là miền đa giác $ABCD$ trên hình vẽ, các điểm cực biên là $A\left( 13;15 \right),B\left( 1;15 \right),C\left( 7;5 \right),D\left( 13;1 \right).$

Ta có $F\left( 13;15 \right)=235;F\left( 1;15 \right)=115;F\left( 7;5 \right)=105;F\left( 13;1 \right)=137.$ Do đó chi phí thuê xe thấp nhất là $105$ triệu đồng.

Bài toán quy hoạch tuyến tính với miền chấp nhận được không là miền đa giác

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính với tập các phương án chấp nhận được $S$. Người ta chứng minh được rằng:
- Nếu bài toán có phương án tối ưu thì phương án tối ưu là một trong các phương án cực biên.
- Nếu hàm mục tiêu $F(x, y)=A x+B y$ có $A>0, B>0$ và các ràng buộc bao gồm $x \geq 0$, $y \geq 0$ và miền chấp nhận được không là miền đa giác thì $F(x ; y)$ có giá trị nhỏ nhất mà không có giá trị lớn nhất.

Ví dụ 1. Một chuyên gia dinh dưỡng dự định làm một thực đơn gồm hai loại thực phẩm chính $X$ và $Y.$ Biết rằng:

- Cứ $100$ gam thực phẩm $X$ chứa $2$ đơn vị chất béo, $1$ đơn vị carbohydrate và $4$ đơn vị protein.

- Cứ $100$ gam thực phẩm $Y$ chứa $3$ đơn vị chất béo, $3$ đơn vị carbohydrate và $3$ đơn vị protein.

Vị chuyên gia này muốn thức ăn phải cung cấp ít nhất $18$ đơn vị chất béo, $12$ đơn vị carbohydrate và $24$ đơn vị protein. Chuyên gia này phải làm thực đơn thế nào để chi phí mua nguyên liệu là rẻ nhất và vẫn đảm bảo các yêu cầu ở trên? Biết rằng $100$ gam thực phẩm $X$ có giá $20$ nghìn đồng và $100$ gam thực phẩm $Y$ có giá $25$ nghìn đồng.

Giải. Bước 1. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số trăm gam thực phẩm $X$ và $Y$ trong thực đơn.

Bước 2. Chi phí mua thực phẩm là $F(x ; y)=20 x+25 y$ (nghìn đồng).

Bước 3. Hệ bất phương trình ràng buộc $x$ và $y$ là \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \geqslant 0,y \geqslant 0} \\ {2x + 3y \geqslant 18} \\ {x + 3y \geqslant 12} \\ {4x + 3y \geqslant 24} \end{array}} \right.\]

Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tô màu, không là miền đa giác, trong hình vẽ bên

Ở đây $d_1: 2 x+3 y=18 ; d_2: x+3 y=12 ; d_3: 4 x+3 y=24.$ Các điểm cực biên là $A(0 ; 8), B(3 ; 4), C(6 ; 2), D(12 ; 0).$

Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x ; y)$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Theo Nhận xét ở trên, $F(x ; y)$ có giá trị nhỏ nhất trên $S$ và đạt được tại một trong các điểm cực biên củ̉a miền chấp nhận được. Tính giá trị của $F(x ; y)$ tại các điểm cực biên ta được: $F(0 ; 8)=200 ; F(3 ; 4)=160 ; F(6 ; 2)=170 ; F(12 ; 0)=240.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F(x ; y)$ trên miền $S$ là 160 đạt được tại $B(3 ; 4).$ Suy ra phương án tối ưu là $B(3 ; 4)$ và giá trị tối ưu là $160.$

Vậy chuyên gia thực phẩm cần mua $300$ gam thực phẩm $X$ và $400$ gam thực phẩm $Y$ thì chi phí mua thực phẩm sẽ ít nhất mà vẫn đảm bảo yêu cầu về dinh dưỡng.

Ví dụ 2. Một chủ trang trại cần sử dụng phân bón để chăm sóc cho một loại đậu tương. Loại đậu tương này cần ít nhất $18$ đơn vị đạm và ít nhất $6$ đơn vị phosphate. Ông chủ trang trại có thể sử dụng hai loại phân bón $X$ và $Y.$ Giá cả, hàm lượng đạm và hàm lượng phosphate có trong một tạ phân bón $X$ và một tạ phân bón $Y$ được cho bởi bảng sau:

Phân bón	Số đơn vị đạm	Số đơn vị phosphate	Giá (triệu đồng)
$X$	$3$	$2$	$1,7$
$Y$	$6$	$1$	$1,2$

Hãy cho biết chủ trang trại cần phải mua bao nhiêu tạ phân bón $X,$ bao nhiêu tạ phân bón $Y$ để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo chế độ dinh dưỡng cho loại đậu tương trên?

Giải. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tạ phân phân bón $X$ và $Y$ cần phải mua.

Chi phí mua hai loại phân bón này là $F\left( x;y \right)=1,7x+1,2y$ (triệu đồng).

Hệ bất phương trình ràng buộc giữa $x$ và $y$ là $\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0,y \geqslant 0 \hfill \\ 3x + 6y \geqslant 18 \hfill \\ 2x + y \geqslant 6 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tô màu, không là miền đa giác, trong hình vẽ bên

Các điểm cực biên là $A\left( 0;6 \right),B\left( 2;2 \right),C\left( 6;0 \right).$ Và $F\left( 0;6 \right)=7,2;F\left( 2;2 \right)=5,8;F\left( 6;0 \right)=10,2.$

Vậy chủ trang trại cần mua $2$ tạ mỗi loại phân bón $X,\text{ }Y$ để chi phí mua thấp nhất là $5,8$ triệu đồng mà vẫn đảm bảo chế độ dinh dưỡng cho đậu tương.

Ví dụ 3. Trong một cuộc thi về “bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức yêu cầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng hằng ngày thì mỗi gia đình có \[4\] thành viên cần ít nhất \[900\] đơn vị prôtêin và \[400\] đơn vị lipít trong thức ăn hằng ngày. Mỗi kg thịt bò chứa \[800\] đơn vị prôtêin và \[200\] đơn vị lipit, \[1\text{ (kg)}\] thịt heo chứa \[600\] đơn vị prôtêin và \[400\]đơn vị lipit. Biết rằng người nội trợ chỉ được chi tối đa \[200\] ngàn đồng để mua thịt. Biết rằng \[1\text{ (kg)}\] thịt bò giá \[200\] ngàn đồng, \[1\text{ (kg)}\] thịt heo giá \[100\] ngàn đồng. Người nội trợ nên mua \[x\text{ (kg)}\] thịt bò và \[y\text{ (kg)}\] thịt heo để phí thấp nhất cho khẩu phần thức ăn mà vẫn đảm bảo chất dinh dưỡng, khi đó hãy tìm \[x+2y.\]

Giải. Chi phí mua thịt là $F\left( x;y \right)=200x+100y$ (ngàn đồng).

Hệ điều kiện ràng buộc giữa $x$ và $y$ là $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\800x + 600y \ge 900\\200x +400y \ge 400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge2\end{array} \right..$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tô màu, không là miền đa giác, trong hình vẽ bên

Các điểm cực biên là $A\left( 0;\text{ }1,5 \right),B\left( 0,6;\text{ }0,7 \right),C\left( 2;\text{ }0 \right).$

Ta có $F\left( 0;1,5 \right)=150,F\left( 0,6;0,7 \right)=190,F\left( 2;0 \right)=400.$

Vậy chi phí mua thịt thấp nhất khi $x=0,\text{ }y=1,5\Rightarrow x+2y=3.$

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học chính:

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TRONG CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX