Véctơ trong không gian: Vận dụng điều kiện bốn điểm đồng phẳng


Véctơ trong không gian: Vận dụng điều kiện bốn điểm đồng phẳng dành cho HSG Toán lớp 11

Trong mặt phẳng ta đã biết với ba điểm $A,B,C$ ta luôn có biểu diễn $\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$ với $O$ là điểm bất kì và $m,n$ là các số thực không phụ thuộc vào $O.$

Và nếu $m+n=1$ hay $\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+\left( 1-m \right)\overrightarrow{OC}$ thì $A,B,C$ thẳng hàng

Vậy trong không gian với bốn điểm $A,B,C,D$ điều kiện nào để chúng đồng phẳng?

Bổ đề: Bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi và chỉ khi $\overrightarrow{OD}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}+p\overrightarrow{OC}$ với $O$ là điểm bất kì và $m,n,p$ là các số thực sao cho $m+n+p=1.$

Chứng minh chiều thuận, chiều nghịch các em biến đổi ngược lại chứng minh dưới đây

Vì $A,B,C,D$ đồng phẳng nên $\overrightarrow{AD}=n\overrightarrow{AB}+p\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=n\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right)+p\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} \right)$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OD}=\left( 1-n-p \right)\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}+p\overrightarrow{OC}.$ Đặt $m=1-n-p$ ta có $\overrightarrow{OD}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}+p\overrightarrow{OC}$ và $m+n+p=1.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC,$ xét mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt các tia $SA,SB,SC,SG$ (với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$) lần lượt tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{G}_{1}}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}=3\dfrac{SG}{S{{G}_{1}}}.$

Giải. Ta có $3\overrightarrow{SG}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}\overrightarrow{S{{A}_{1}}}+\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}\overrightarrow{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}\overrightarrow{S{{C}_{1}}}=3\dfrac{SG}{S{{G}_{1}}}\overrightarrow{S{{G}_{1}}}\left( * \right)$

Do bốn điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{G}_{1}}$ đồng phẳng nên $\dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}=3\dfrac{SG}{S{{G}_{1}}}.$ Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=1.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi qua trọng tâm của tứ diện và cắt $SA,SB,SC$ lần lượt tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{1}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{C}_{1}}}=4,$ từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\dfrac{1}{S{{A}_{1}}.S{{B}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{B}_{1}}.S{{C}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{C}_{1}}.S{{A}_{1}}}.$

Giải. Với $G$ là trọng tâm tứ diện $SABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GS}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{SG}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right)$

$=\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}\overrightarrow{S{{A}_{1}}}+\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}\overrightarrow{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}\overrightarrow{S{{C}_{1}}} \right)$

Do bốn điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},G$ đồng phẳng nên $\dfrac{1}{4}\left( \dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}} \right)=1\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{C}_{1}}}=4.$

Áp dụng bất đẳng thức ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}\ge 3\left( ab+bc+ca \right)\Rightarrow T\le \dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{C}_{1}}} \right)}^{2}}=\dfrac{16}{3}.$

Dấu bằng xảy ra khi $S{{A}_{1}}=S{{B}_{1}}=S{{C}_{1}}$ tức mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $G$ và song song với mặt phẳng $\left( ABC \right).$

*Khi $SA=a,SB=b,SC=c$ và đặt $x=S{{A}_{1}},y=S{{B}_{1}},z=S{{C}_{1}}$ ta có $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=4.$

Ví dụ 3: Cho tứ diện $ABCD,$ các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$ Gọi $P,Q$ là các điểm lần lượt thuộc $AD$ và $BC$ sao cho $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QB}=k\overrightarrow{QC},\left( k\ne 1 \right).$ Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng.

Giải.

Lấy một điểm $O$ tuỳ ý và đặt $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{Ob}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$

khi đó theo quy tắc trung điểm ta có $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right),\overrightarrow{ON}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \right)=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{d} \right)$

Và $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=k\left( \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OP} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{k-1}\left( k\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a} \right)$

Và $\overrightarrow{QB}=k\overrightarrow{QC}\Rightarrow \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ}=k\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OQ} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{k-1}\left( k\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b} \right)$

Suy ra $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{k-1}\left( k\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{1}{k-1}\left[ k\left( \overrightarrow{c}+\overrightarrow{d} \right)-\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right) \right]=\dfrac{1}{k-1}\left[ 2k\overrightarrow{ON}-2\overrightarrow{OM} \right]$

Hay \[\overrightarrow{OP}=\dfrac{2k}{k-1}\overrightarrow{ON}-\dfrac{2}{k-1}\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OQ}\Rightarrow M,N,P,Q\] đồng phẳng do $\dfrac{2k}{k-1}-\dfrac{2}{k-1}-1=1.$

Cách 2: Từ \[\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD}\Rightarrow \overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{k-1}\left( k\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MA} \right);\overrightarrow{QB}=k\overrightarrow{QC}\Rightarrow \overrightarrow{MQ}=\dfrac{1}{k-1}\left( k\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB} \right)\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=\dfrac{k}{k-1}\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD} \right)=\dfrac{2k}{k-1}\overrightarrow{MN}\Rightarrow M,N,P,Q\] đồng phẳng.

Ví dụ 4: Xét mặt phẳng thay đổi cắt ba cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp $S.ABC$ lần lượt tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ sao cho $\dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}+2\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}=8.$ Chứng minh rằng mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Giải. Đặt $x=\dfrac{SA}{S{{A}_{1}}};y=\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}};z=\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}\Rightarrow x+2y+z=8$

Khi đó áp dụng bổ đề trên và giả thiết đã cho ta có

$\dfrac{1}{8}\left( \overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC} \right)=\dfrac{1}{8}\left( x\overrightarrow{S{{A}_{1}}}+2y\overrightarrow{S{{B}_{1}}}+z\overrightarrow{S{{C}_{1}}} \right)=\overrightarrow{SM}\Rightarrow M\in \left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right)$ do $\dfrac{x}{8}+\dfrac{2y}{8}+\dfrac{z}{8}=1.$

Mặt khác $\overrightarrow{SA}+2\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC} \right)+2\overrightarrow{SB}=2\left( \overrightarrow{SE}+\overrightarrow{SB} \right)=4\overrightarrow{SF}\Rightarrow \overrightarrow{SM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{SF}$ trong đó $E,F$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BE.$

Do $F$ cố định nên $M$ cố định. Ta có điều phải chứng minh.

 

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Ví dụ 5: Trong không gian cho 3 tia $Ox,Oy,Oz$ thoả mãn $\widehat{xOy}={{60}^{0}},\widehat{yOz}={{90}^{0}},\widehat{zOx}={{120}^{0}}.$ Trên 3 tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt lấy 3 điểm $A,B,C$ khác $O$ sao cho $\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}+\dfrac{1}{OC}=1.$ Chứng minh rằng mặt phẳng $(ABC)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Giải. Trên 3 tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt lấy 3 điểm $M,N,P$ sao cho $OM=ON=OP=1.$

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP$ ta có $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\dfrac{OM}{OA}\overrightarrow{OA}+\dfrac{ON}{OB}\overrightarrow{OB}+\dfrac{OP}{OC}\overrightarrow{OC}$

$=\dfrac{1}{OA}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{OB}\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{OC}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\Rightarrow H\in \left( ABC \right)$ vì $\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}+\dfrac{1}{OC}=1.$

Do $O,G$ cố định nên mặt phẳng $(ABC)$ luôn qua điểm cố định $H$ vì $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}.$

Ví dụ 6: Cho ba tia Oa, Ob, Oc không đồng phẳng. Đặt $\alpha =\widehat{aOb},\beta =\widehat{bOc},\gamma =\widehat{cOa}.$

a) Chứng minh rằng $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma >-\dfrac{3}{2}.$

b) Gọi $O{{a}_{1}},O{{b}_{1}},O{{c}_{1}}$ lần lượt là các tia phân giác của $\widehat{aOb},\widehat{bOc},\widehat{cOa}.$ Chứng minh rằng nếu $O{{a}_{1}}\bot O{{b}_{1}}$ thì $O{{b}_{1}}\bot O{{c}_{1}},O{{c}_{1}}\bot O{{a}_{1}}.$

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD.$ Trên các đường thẳng $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm ${{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$ sao cho $\overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{A{{B}_{1}}},\overrightarrow{AC}=\beta \overrightarrow{A{{C}_{1}}},\overrightarrow{AD}=\gamma \overrightarrow{A{{D}_{1}}}.$

a) Chứng minh rằng nếu \[\alpha +\beta +1=\gamma \] thì mặt phẳng $\left( {{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}} \right)$ luôn đi qua một điểm cố đinh, xác định điểm cố định đó.

b) Chứng minh rằng nếu $\alpha =\beta -1=\gamma -2$ thì mặt phẳng $\left( {{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}} \right)$ luôn đi qua một đường thẳng cố định, xác định đường thẳng cố định đó.

Ví dụ 8: Cho tứ diện $ABCD,$ các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ sao cho $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB},\overrightarrow{NB}=k\overrightarrow{NC},\overrightarrow{PC}=k\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QD}=k\overrightarrow{QA}.$ Với giá trị nào của $k$ để bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng?

Ví dụ 9: Cho hình chóp $S.ABC.$ Trên các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}.$ Gọi $M$ là điểm chung của các mặt phẳng $\left( AB{{C}_{1}} \right),\left( BC{{A}_{1}} \right),\left( CA{{B}_{1}} \right).$ Đường thẳng $SM$ cắt các mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right),\left( ABC \right)$ lần lượt tại ${{M}_{1}}$ và ${{M}_{2}}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{SM}{S{{M}_{1}}}=3\dfrac{M{{M}_{2}}}{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}.$

Ví dụ 10: Cho bốn tia Oa, Ob, Oc, Od sao cho góc tạo thành giữa chúng đôi một bằng nhau và khác 00. Tia thứ năm Ot tạo với các tia Oa, Ob, Oc, Od lần lượt các góc ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}},{{\alpha }_{4}}.$ Chứng minh rằng $\cos {{\alpha }_{1}}+\cos {{\alpha }_{2}}+\cos {{\alpha }_{3}}+\cos {{\alpha }_{4}}=0.$

 

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả