[Vted.vn] - [Bài toán thực tế 04] - Mỗi ngày một bài toán thực tế hay và khó, con kiến bò quanh miệng cốc - Thầy Đặng Thành Nam


Vậy là thầy đã trao đổi với các em 3 bài toán có tính thực tế, bài viết này thầy đề cập tới một trường hợp giả định đường đi của một con kiến trong thành cốc dạng hình nón cụt. Bài toán này được thầy trích đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay của tỉnh Tuyên Quang năm học 2011 - 2012, một bài khá hay và tương đối khó đối với các em!!! 

Bài toán: Có một cái cốc úp ngược hình dạng nón cụt như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 20cm, bán kính đáy cốc là 3cm, bán kính miệng cốc là 4cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình.

>>Xem thêm Bài toán tính quãng đường ngắn nhất vòng quanh đỉnh núi hình nón khó nhất trong đề thi đại học năm 1997 ở Hàn Quốc (CSAT)

Lời giải: Đặt b, a, h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, α là góc kí hiệu như trên hình vẽ.

Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ $BB''=4\pi b$ và cung lớn $AA''=4\pi a$. Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”.

Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: $l=\sqrt{B{{O}^{2}}+OA{{''}^{2}}-2BO.OA''.\cos 2\alpha }\ \ (1).$ $B''A''=AB=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}.$ $\dfrac{a}{b}=\dfrac{4\pi a}{4\pi b}=\dfrac{l(\overset\frown{BB''})}{l(\overset\frown{\text{AA}''})}=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OB+AB}{OB}=1+\dfrac{AB}{\dfrac{2\pi b}{\alpha }}=1+\dfrac{AB.\alpha }{2\pi b}$ $\Rightarrow \alpha =\dfrac{2\pi (a-b)}{AB}=\dfrac{2\pi (a-b)}{\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}}\ \ (a).$ $\dfrac{AB}{OB}=\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a-b}{b}\Rightarrow OB=\dfrac{b\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}}{a-b}\ \ (b)$. $OA''=OB+BA=\dfrac{b\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}}{a-b}\ +\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+{{h}^{2}}}\ \ (c).$

Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được $l\approx 47,2714cm$

Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung $\overset\frown{BB''}$ tại điểm nào khác B, tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của $\overset\frown{BB''}$ tại B. Điều này tương đương với $2\alpha <c\text{o}{{\text{s}}^{-1}}(\dfrac{b}{a}).$ Tuy nhiên, trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).

Câu 44. Người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng là một elíp với độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng 2b(a>b>0)để được một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu được thành một hình trụ không có đáy như hình bên. Tính thể tích lớn nhất có thể được của khối trụ thu được.

A. 2a2b33π

B. 2a2b32π          

C. 4a2b32π    

D. 4a2b33π

Câu 48. Một khối gỗ hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó ta lấy hai điểm A,Bsao cho cung AB có số đo 1200. Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được.

A. S=20π+303‾√.

B. S=20π+253‾√.

C. S=12π+183‾√.

D. S=20π. .

>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Bình luận

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập
Vted
Xem tất cả