Bài toán phi hành gia trong không gian nhìn về trái đất và mặt trăng

Giả sử một phi hành gia đang lơ lửng trên đường nối liền giữa A là tâm của trái đất (bán kính a) và B là tâm của mặt trăng (bán kính b). Cho $l=AB.$ Xác định khoảng cách từ phi hành gia đến A sao cho tổng diện tích của phần trái đất và mặt trăng mà phi hành gia có thể quan sát được là lớn nhất. Biết rằng diện tích của một chỏm cầu nhìn thấy được là $2\pi rh$ với $r$ là bán kính của hình tinh quan sát và $h$ là chiều cao của chỏm cầu. Cho bán kính trái đất là $a=6400km,$ bán kính của mặt trăng là $b=1740km,$ khoảng cách từ mặt trăng đến trái đất là $384000km$ (tức là khoảng cách ngắn nhất từ một điểm trên mặt đất đến một điểm trên bề mặt của mặt trăng, hai điểm này nằm trên đường thẳng $AB$).

*Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng, ta được hai chỏm cầu ở hai phía của mặt cắt. Chiều cao của chỏm cầu bằng khoảng cách giữa mặt phẳng cắt và mặt tiếp diện của chỏm cầu song song với mặt cắt.

Lời giải chi tiết:

Đặt $AM=x,$ ta có \[\frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AM}=\cos \alpha \Rightarrow AH=\frac{{{a}^{2}}}{x},h=a-\frac{{{a}^{2}}}{x}.\]

Suy ra diện tích khối chỏm cầu mà phi hành gia nhìn thấy được của trái đất là \[{{S}_{1}}=2\pi ah=2\pi a\left( a-\frac{{{a}^{2}}}{x} \right).\]

Tương tự, diện tích khối chỏm cầu mà phi hành gia nhìn thấy được của mặt trăng là \[{{S}_{2}}=2\pi b\left( b-\frac{{{b}^{2}}}{l-x} \right).\]

Suy ra tổng diện tích phần trái đất và mặt trăng phi hành gia quan sát được là \[S(x)={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=2\pi a\left( a-\frac{{{a}^{2}}}{x} \right)+2\pi b\left( b-\frac{{{b}^{2}}}{l-x} \right).\]

Ta có ${S}'(x)=\frac{2\pi {{a}^{3}}}{{{x}^{2}}}-\frac{2\pi {{b}^{3}}}{{{(l-x)}^{2}}};{S}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{l-x}{x}=\sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{a}^{3}}}}\Leftrightarrow x=\frac{l\sqrt{{{a}^{3}}}}{\sqrt{{{a}^{3}}}+\sqrt{{{b}^{3}}}}.$

Với $a=6400,b=1740,l=6400+1740+384000=392140.$ Ta có \[x=\frac{392140\sqrt{{{6400}^{3}}}}{\sqrt{{{6400}^{3}}}+\sqrt{{{1740}^{3}}}}=\frac{392140}{1+\sqrt{{{\left( \frac{1740}{6400} \right)}^{3}}}}\approx 343452,193\text{km.}\]