Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

>>Xem thêm: Véctơ trong không gian: Vận dụng điều kiện bốn điểm đồng phẳng dành cho HSG Toán lớp 11

3.1. Biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ và phép nhân vectơ với một số

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai vectơ $\vec{a}=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right)$ và $\vec{b}=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right).$ Ta có:

+ $\vec{a}+\vec{b}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}};{{y}_{1}}+{{y}_{2}};{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right);$

+ $\vec{a}-\vec{b}=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}};{{y}_{1}}-{{y}_{2}};{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right);$

+ $k\vec{a}=\left( k{{x}_{1}};k{{y}_{1}};k{{z}_{1}} \right)$ với $k$ là một số thực.

Như vậy $-\overrightarrow{a}=\left( -{{x}_{1}};-{{y}_{1}};-{{z}_{1}} \right)$ và \[m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\left( m{{x}_{1}}+n{{x}_{2}};m{{y}_{1}}+n{{y}_{2}};m{{z}_{1}}+n{{z}_{2}} \right)\] với $m,\text{ }n$ là các số thực.

Sử dụng MTCT CASIO 580 VNX thực hiện các phép toán (Máy tính hỗ trợ nhập liệu đến 4 véctơ)

B1: Vào môi trường tính Oxyz: MENU 5 AC

B2: Nhập dữ liệu các véctơ:

OPTN 1 1 3: Nhập vào vtA

OPTN 1 2 3: Nhập vào vtB

OPTN 1 3 3: Nhập vào vtC

OPTN 1 4 3: Nhập vào vtC

B3: Gọi các véctơ đã nhập để thực hiện tính toán:

OPTN 3: vtA

OPTN4: vtB

OPTN5: vtC

OPTN 6: vtD

B4: Các phép toán

+ Phép toán cộng trừ, nhân với một số thực các em thực hiện như tính toán đại số

+ Độ dài của véctơ: SHIFT ABS

+ Tích vô hướng: OPTN Kéo mũi tên xuống Chọn 2

+ Tính góc giữa hai véctơ: OPTN Kéo mũi tên xuống Chọn 3 :Gọi hai véctơ cần tính, ngăn cách bởi dấu , tức SHIFT )

+ Tích có hướng: Dùng dấu nhân

3.2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác, tọa độ trọng tâm tứ diện

a) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ ta có \[\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\] nên tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là

$\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} ; \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$

Viết $I=\dfrac{A+B}{2}\Leftrightarrow A+B=2I\Leftrightarrow B=2I-A$ để tìm toạ độ cho gọn.

b) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ ta có \[\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\] nên toạ độ trọng tâm của tam giác $ABC$ là

$\left( \dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \right)$

Viết $G=\dfrac{A+B+C}{3}\Leftrightarrow A+B+C=3G\Leftrightarrow C=3G-A-B$ để tìm toạ độ cho gọn.

Xét tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và tam giác ${A}'{B}'{C}'$ có trọng tâm ${G}'.$

Ta có $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right);\overrightarrow{O{G}'}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{C}'} \right)$

Trừ theo vế ta được: $3\overrightarrow{G{G}'}=\overrightarrow{A{A}'}+\overrightarrow{B{B}'}+\overrightarrow{C{C}'}.$

c) Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ ta có \[\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\] nên toạ độ trọng tâm của tứ diện $ABCD$ là

$\left( \dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}+{{x}_{D}}}{4};\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}+{{y}_{D}}}{4};\dfrac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}+{{z}_{D}}}{4} \right)$

Viết $G=\dfrac{A+B+C+D}{4}\Leftrightarrow A+B+C+D=4G\Leftrightarrow D=4G-A-B-C$ để tìm toạ độ cho gọn.

Xét tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$ và tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}'$ có trọng tâm ${G}'.$

Ta có \[\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \right);\overrightarrow{O{G}'}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{C}'}+\overrightarrow{O{D}'} \right)\]

Trừ theo vế ta được: $4\overrightarrow{G{G}'}=\overrightarrow{A{A}'}+\overrightarrow{B{B}'}+\overrightarrow{C{C}'}+\overrightarrow{D{D}'}.$

3.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

+ Trong không gian $Oxyz,$ tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right)$ và $\vec{b}=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right)$ (kết quả là một số) được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}.$

$\Rightarrow {{\overrightarrow{a}}^{2}}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}\Rightarrow \left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}}=\sqrt{{{\overrightarrow{a}}^{2}}}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$

$\Rightarrow AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right)}^{2}}}.$

Đặc biệt, khi $B$ trùng $O$ ta nhận được công thức $O A=\sqrt{x_A^2+y_A^2+z_A^2}.$

+ Góc giữa hai véctơ: Ta có \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)\] nên góc giữa hai véc tơ được xác định bởi công thức

\[\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\dfrac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}.\]

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)={{90}^{0}}\Leftrightarrow \cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0$

$\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)$ (tính góc tam giác khi biết tọa độ các đỉnh)

Như vậy góc $\widehat{BAC}$

- nhọn khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}>0\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}>B{{C}^{2}}.$

- vuông khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}.$

- tù khi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}<0\Leftrightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}<B{{C}^{2}}.$

+ Công được sinh ra bởi lực $\overrightarrow{F}$ tác động vào một vật làm vật dịch chuyển từ $M$ đến $N$ là $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{MN}$ (được tính bằng Jun) trong đó lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn tính bằng Newtơn và quãng đường $MN$ được tính bằng mét.

Sử dụng MTCT tính tích vô hướng của hai vectơ

Hai vectơ $\vec{u}$ (được nhập vào vtA) và $\vec{v}$(được nhập vào vtB) trong MTCT (Casio 580).

Để tính tích vô hướng: OPTN 3 OPTN Kéo mũi tên xuống Chọn 2 OPTN 4 =

Để tính góc: OPTN Kéo mũi tên xuống Chọn 3 OPTN 3 SHIFT ) OPTN 4 =

Để tính độ dài vectơ $\vec{u}$: SHIFT ABS OPTN 3 =

3.4. Tìm điểm thỏa mãn điều kiện góc và độ dài

3.5. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng (Vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước)

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai vectơ $\vec{u}=\left( {{x}_{1}};\text{ }{{y}_{1}};\text{ }{{z}_{1}} \right)$ và $\vec{v}=\left( {{x}_{2}};\text{ }{{y}_{2}};\text{ }{{z}_{2}} \right).$

Khi đó vectơ \[\vec n = \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{\rm{ }}{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{\rm{ }}{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\] vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$, được gọi là tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$(kết quả là một vectơ – là vectơ vuông góc với hai vectơ thành phần), kí hiệu là $[\vec{u},\vec{v}].$

Sử dụng MTCT tính tích có hướng của hai vectơ

Để tính tích có hướng của hai vectơ $\vec{u}$ (được nhập vào vtA) và $\vec{v}$(được nhập vào vtB) trong MTCT.

Các em thao tác: OPTN 3 $\times $ OPTN 4 =

Ứng dụng tìm vectơ khi vuông góc với hai vectơ khác được dùng nhiều trong viết pt mặt phẳng; pt đường thẳng

Ta có $\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{a},\text{ }\overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{n}||\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right].$

+ Điều kiện bốn điểm đồng phẳng

+ Nhận diện xem bốn điểm có bốn đỉnh của một tứ giác hay không

+ Diện tích tam giác: \[{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|.\]

+ Thể tích tứ diện: ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}.\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|.$

+ Thể tích khối hộp: ${{V}_{ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right].\overrightarrow{A{{A}_{1}}} \right|.$

3.6. Hai vectơ cùng phương và ứng dụng

+ Hai vectơ cùng phương $\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right)=k\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}};{{z}_{2}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}}=\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}$ (nếu dưới mẫu = 0 thì tử tương ứng = 0)

$\Rightarrow \overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b},\left( k>0 \right);$ ngược hướng thì $\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b},\left( k<0 \right)$

+ Đổi độ dài sang vectơ:

- Nếu $\overrightarrow{AB},\text{ }\overrightarrow{AC}$ là hai vectơ cùng hướng thì $\overrightarrow{AB}=\dfrac{AB}{AC}.\overrightarrow{AC};$

- Nếu $\overrightarrow{AB},\text{ }\overrightarrow{AC}$ là hai vectơ ngược hướng thì $\overrightarrow{AB}=-\dfrac{AB}{AC}.\overrightarrow{AC}.$

+ Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}$

+ Điều kiện ABCD là hình bình hành (dùng hai vectơ bằng nhau) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

+ Điều kiện ABCD là một hình thang có hai đáy là AB, CD là $\overrightarrow{DC}=k.\overrightarrow{AB},\left( k>0 \right)$

+ Điều kiện ABCD là một hình thang cân có hai đáy AB, CD (là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau)

Bước 1: $\overrightarrow{DC}=k.\overrightarrow{AB},\left( k>0 \right)$ (là hình thang)

Bước 2: Cách 1: Giải $\overrightarrow{MN}\bot \overrightarrow{AB}$ với M, N lần lượt là trung điểm AB, CD

Cách 2: Giải phương trình $AC=BD.$

Cách 3: Giải phương trình $\cos \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right)=\cos \left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right).$

3.7. Vận dụng kiến thức vectơ trong không gian xử lý bài toán hợp lực gắn tọa độ Oxyz

[PRO X] - Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Đề số 01)

[PRO X] - Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (Đề số 02)

Một số câu hỏi có trong đề thi:

Câu 15 [Q066386676] Trong không gian $O x y z$, cho bốn điểm $A(2 ; 3 ;-3), B(-2 ; 1 ; 3), C(-2 ; 2 ; 2), D(1 ; 0 ; 1)$. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
a) Bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng.
b) Bốn điểm $A, B, C, D$ tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 12,1 .
c) Có thể lập được 7 mặt phẳng từ năm điểm $O, A, B, C, D$.
d) Với điểm $M$ di động trong không gian, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A+M B+M C+M D$ bằng 10,2 .

Câu 16 [Q606917888] Trong không gian $O x y z$, cho bốn diểm
$A(2 ; 3 ;-3), B(-2 ; 1 ; 3), C(-2 ; 2 ; 2), D(-1 ; 2 ; 1)$. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
a) Bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng.
b) Bốn điểm $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của một tứ giác.
c) Với điểm $M$ di động trong không gian, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A+M C+M D-M B$ bằng 4,03 .
d) Với điểm $M$ di động trong không gian, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A+M B+M C+0,94 M D$ bằng 8,96 .

Câu 26 [Q623683382] Trong không gian $O x y z$, mắt một người quan sát đặt ở điểm $M(2 ; 3 ;-4)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N(-1 ; 0 ; 8)$. Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm $O(0 ; 0 ; 0)$, bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng $(O x y)$.
a) $\overrightarrow{M N}(-3 ;-3 ; 12)$.
b) Đường thắng $M N$ cắt mặt phẳng $(O x y)$ tại điểm $P(1 ; 2 ; 0)$.
c) Tấm bìa che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm $N$.
d) Nếu người quan sát nhìn thẳng về phía mặt phẳng $(O x y)$ và mắt người này có góc quan sát là $130^{\circ}$ thì vùng quan sát được trên mặt phẳng $(O x y)$ của người này là hình tròn có diện tích bằng 231,2 (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 29 [Q363729993] Bạn An đang nằm nghe nhạc trong phòng hình hộp chữ nhật $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, chiều dài $A D=6 \mathrm{~m}$, chiều rộng $A B=4 \mathrm{~m}$ và chiều cao của phòng là $3,2 \mathrm{~m}$ phát hiện ra hai con nhện đang chăng tơ trong căn phòng của $A n$. Con nhện thứ nhất được coi như điểm $E$ di chuyển trên đường dây tơ nối tử đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C C^{\prime}$; con nhện thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên đường dây tơ nối từ $D^{\prime}$ đến tâm $I$ của mặt $A B B^{\prime} A^{\prime}$. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
$\square$
a) Dây tơ của con nhện thứ nhất dài hơn dây tơ của con nhện thứ hai.
b) Dây tơ của hai con nhện tạo với nhau góc $50,64^{\circ}$.
c) Khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà là $1,60 \mathrm{~m}$.
d) Khoảng cách ngắn nhất giữa hai con nhện là $1,55 \mathrm{~m}$.

Câu 34 [Q999561886] Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương $A B C D$. $A_1 B_1 C_1 D_1$ với độ dài các cạnh bằng 5 m . Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm $M$ trên đoạn thẳng $A D_1$ xuống một điểm $N$ trên đoạn thẳng $B D$ thỏa mãn $A M=D N$. Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Câu 35 [Q837687736] Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm $P(-2 ; 0 ; 0), Q(1 ; \sqrt{3} ; 0), R(1 ;-\sqrt{3} ; 0)$ còn đầu kia gắn với vật tại điểm $S(0 ; 0 ;-2 \sqrt{3})$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 1 N ). Gọi $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ tương ứng là lực căng trên các sợi dây cáp $R S, Q S, P S$. Giá trị $\left|\overrightarrow{F_1}\right|+2\left|\overrightarrow{F_2}\right|+\left|\overrightarrow{F_3}\right|$ bằng bao nhiêu N? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 38 [Q557539765] Trong không gian $O x y z$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $A B C D$ tâm $I(0 ; 0 ; 5)$ được treo nghiêng bởi bốn sợi dây cáp không giãn $S A, S B, S C, S D$ gắn cố định tại điểm $S(0 ; 0 ; 9)$ (tham khảo hình vẽ).

Biết $A(-\sqrt{2} ; \sqrt{2} ; 5), D(a ; b ; c)$ với $a>0, c>5$ và góc $\widehat{D S I}$ lớn nhât. Gọi $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}, \overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng trên các sợi dây $S A, S B, S C, S D$ với $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=50 \mathrm{~N},\left|\overrightarrow{F_3}\right|=40 \mathrm{~N}$. Khối lượng của tấm bảng là bao nhiêu kg? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Cho biết trọng lực tác dụng lên một vật có khối lượng $m \mathrm{~kg}$ là $\vec{P}=m \cdot \vec{g}$ với $\vec{g}$ là gia tốc rở tự do (lấy giá trị $9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ).

Câu 39 [Q317691871] Trong không gian $O x y z$, một tấm thép trọng lượng $100 \sqrt{3} \mathrm{~N}$ phân bố không đồng đều có dạng hình tam giác $P Q R$ được treo nghiêng bằng ba sợi dây cáp không dãn $S P, S Q, S R$ gắn cố định tại điểm $S(4 ; 5 ; 6)$ (tham khȧo hình vẽ).

Biết $P(3 ; 4 ; 5), Q(6 ; 4 ; 5), R(3 ; 8 ; 5)$ và trọng tâm của tẩm thép (điểm đặt của trọng lực tác dưng lên tấm thép) trùng với tâm đươong tròn nội tiếp tam giác $P Q R$. Gọi $\vec{F}_1, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ tương ứng là lực căng trên các sợi dây cáp $S P, S Q, S R$. Höi lực $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là bao nhiêu $N$ ?

Combo X Luyện thi 2026 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K8 – Chương trình SGK mới)

Link đăng ký: https://bit.ly/Combox2026

PRO X: Luyện thi THPT 2026 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 10 điểm)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề thi THPT 2026 Môn Toán (100 ngày)

KIẾN THỨC BỔ SUNG DÀNH CHO CÁC KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC, ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐƯỢC PHÁT HÀNH TRONG CHƯƠNG X KHÓA PRO X VÀ MỘT PHẦN KHÓA XMAX

Trong quá trình học, các em hỏi mọi bài tập tại địa chỉ: https://askmath.vn/ (chỉ ưu tiên trả lời 100% học sinh vted)

Hệ thống câu hỏi bài tập trong đề thi, đính kèm mỗi bài học cũng như giải đáp tất cả các thắc mắc câu hỏi bài tập đi kèm của khóa học quý thầy cô/phụ huynh/học sinh tham tại đây: https://askmath.vn/cau-hoi (qua tra ID hoặc QR code).

So với Combo X các năm về trước, Vted đã rút gọn lại chỉ gồm hai khóa học:

Khóa học PRO X 2026, được rút gọn lại là tổng hợp của khóa học chuyên đề PRO X đến 9 điểm và khóa học chuyên đề vận dụng cao XMAX nội dụng 9 đến 10 điểm. Điều này cũng phù hợp hơn khi hiện tại các em có thể tham gia nhiều kì thi khác nhau. Các em theo dõi bài học tại website, kết hợp học Live nhóm Facebook chữa bài tập một số dạng toán đáng chú ý (Yêu cầu đăng ký cả Combo X để tham gia).

Khóa học LIVE X vẫn giữ nguyên theo định hướng Tổng ôn và Luyện đề tổng hợp giai đoạn cuối. Các em học Live trực tiếp trong nhóm Facebook.

Khoá học PRO X khai giảng từ ngày 01/03/2025 và Khoá học LIVE X khai giảng dự kiến 100 ngày trước thi hoặc sớm hơn vào tháng 12/2025.

Tất cả các khóa học tại Vted, các em có thể tải đề thi PDF đính kèm bài học (có thể bao gồm phần tóm tắt lý thuyết đi kèm đề thi). Trong quá trình học, phần bài tập các em xem hướng dẫn giải chi tiết thông qua tra ID hoặc QR code rất tiện lợi. Chỉ cần có thiết bị kết nối mạng.

Vted dành tặng tất cả các em học sinh đăng ký COMBO X 2026 khóa học: XMAX: TỔ HỢP – XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Khóa học cung cấp kiến thức, các dạng bài và phương pháp giải của chủ đề Tổ hợp – Xác suất và thống kê (dành cho các em học sinh 10 – 11 – 12)

Mục lục khóa học cũng như các kiến thức bổ trợ Toán 10 - 11 có trong các kì thi các em xem chi tiết tại đây

Các con số thống kê về số lượng câu hỏi đi kèm học:

Khoá học Biên soạn dựa trên:

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 12 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2026 kết thúc.