A. $\min P=-80.$ |
B. $\min P=-91.$ |
C. $\min P=-83.$ |
D. $\min P=-63.$ |
Giải.Ta có $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right)\ge 2\sqrt{(x-3)+(y+3)}=2\sqrt{x+y}.$ Suy ra $x+y=0$ hoặc $x+y\ge 4.$
Và $x+y=2\left( \sqrt{x-3}+\sqrt{y+3} \right)\le 2\sqrt{\left( 1+1 \right)\left( x-3+y+3 \right)}=2\sqrt{2(x+y)}\Rightarrow x+y\le 8.$
Suy ra
\[\begin{array}{c} P = 4{x^2} + 4{y^2} + 15xy = 4{(x + y)^2} + 7xy \ge 4{(x + y)^2} + 7\left[ {3(y - x) + 9} \right]\\ = \left[ {4{{(x + y)}^2} - 21(x + y)} \right] + \left( {42y + 63} \right)\\ \ge \left( {{{4.4}^2} - 21.4} \right) + \left( {42.( - 3) + 63} \right) = - 83. \end{array}\]
Dấu bằng đạt tại $x=7,y=-3.$ Đối chiếu hai trường hợp ta Chọn đáp án C.
*Chú ý: Hàm số $y=4{{t}^{2}}-21t$ đồng biến trên đoạn $[4;8]$ nên ta có đánh giá $4{{(x+y)}^{2}}-21(x+y)\ge {{4.4}^{2}}-21.4.$
A. $\frac{3}{2}.$ |
B. $5.$ |
C. $4.$ |
D. $\frac{15}{4}.$ |
Giải. Chú ý ${{\log }_{a}}b=\dfrac{\ln b}{\ln a}.$ Vậy $\dfrac{\ln \left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)}{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}+\dfrac{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}{\ln \left( 4ab+1 \right)}=2.$
Sử dụng AM – GM có
$\dfrac{\ln \left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)}{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}+\dfrac{\ln \left( 2a+2b+1 \right)}{\ln \left( 4ab+1 \right)}\ge 2\sqrt{\dfrac{\ln (4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1)}{\ln (4ab+1)}}.$
Mặt khác $4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2\sqrt{4{{a}^{2}}.{{b}^{2}}}=4ab\Rightarrow 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge 4ab+1\Rightarrow \dfrac{\ln (4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1)}{\ln \left( 4ab+1 \right)}\ge 1.$
Do đó dấu bằng phải xảy ra tức \[\left\{ \begin{array}{l} 2a = b\\ \frac{{\ln \left( {2a + 2b + 1} \right)}}{{\ln \left( {4ab + 1} \right)}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \ln (6a + 1) = \ln (8{a^2} + 1)\\ b = 2a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{3}{4}\\ b = \frac{3}{2} \end{array} \right..\]
Do đó $a+2b=\frac{3}{4}+3=\frac{15}{4}.$ Chọn đáp án D.
A. $S=52.$ |
B. $S=207.$ |
C. $S=103.$ |
D. $S=205.$ |
Giải.Ta đánh giá ba số hạng đầu để mất biến y và z bằng cách sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
$\dfrac{{{z}^{2}}}{x}+\dfrac{{{y}^{2}}}{8z}+\dfrac{{{y}^{2}}}{8z}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}+\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}\ge 7\sqrt[7]{\dfrac{{{z}^{2}}}{x}{{\left( \dfrac{{{y}^{2}}}{8z} \right)}^{2}}{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}}{4y} \right)}^{4}}}=\dfrac{7x}{4}.$
Vậy $P\ge f(x)=\dfrac{7x}{4}+\dfrac{175\sqrt{{{x}^{2}}+9}}{4(x+1)}\ge \underset{(0;+\infty )}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(4)=\dfrac{203}{4}.$ Chọn đáp án B.
Dấu bằng đạt tại $\left\{ \begin{align}&\dfrac{{{z}^{2}}}{x}=\dfrac{{{y}^{2}}}{8z}=\dfrac{{{x}^{2}}}{4y}, \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow (x;y;z)=(4;4;2).$
A. $P=5.$ |
B. $P=\frac{7}{2}.$ |
C. $P=\frac{21}{4}.$ |
D. $P=\frac{9}{2}.$ |
Giải. Chú ý biến đổi logarit ${{\log }_{a}}xy={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y(x>0,y>0),0<a\ne 1.$
Vậy đẳng thức giả thiết tương đương với:
\[\begin{array}{l} {\log _a}b + {\log _a}c + {\log _b}c + {\log _b}a + 4\left( {{{\log }_c}a + {{\log }_c}b} \right) = 10\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_c}b} \right) + \left( {4{{\log }_c}a + {{\log }_a}c} \right) = 10. \end{array}\]
Do $a,b,c$ lớn hơn $1$ nên ${{\log }_{a}}b>0;{{\log }_{b}}c>0;{{\log }_{c}}a>0$ và để ý tính chất ${{\log }_{x}}y.{{\log }_{y}}x=1\left( 0<x,y\ne 1 \right)$
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\[\begin{array}{l} {\log _a}b + {\log _b}a \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.{{\log }_b}a} = 2\\ {\log _b}c + 4{\log _c}b \ge 2\sqrt {{{\log }_b}c.4{{\log }_c}b} = 4\\ 4{\log _c}a + {\log _a}c \ge 2\sqrt {4{{\log }_c}a.{{\log }_a}c} = 4 \end{array}\]
Cộng lại theo vế ta có: \[\left( {{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a \right)+\left( {{\log }_{b}}c+4{{\log }_{c}}b \right)+\left( 4{{\log }_{c}}a+{{\log }_{a}}c \right)\ge 10.\]
Điều đó chứng tỏ phải xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức AM – GM
Dấu bằng đạt tại \[\left\{ \begin{array}{l} {\log _a}b = {\log _b}a = 1\\ {\log _b}c = 4{\log _c}b = 2\\ 4{\log _c}a = {\log _a}c = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _a}b = 1\\ {\log _b}c = 2\\ {\log _c}a = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = b\\ c = {b^2}\\ a = \sqrt c \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b,c = {b^2}.\] Chọn đáp án B.
A. $8.$ |
B. $4.$ |
C. $3.$ |
D. $2.$ |
Giải. Ta có \[{{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}=128\Leftrightarrow {{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}={{2}^{7}}\Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}=7.\]
Khai thác điều kiện số 2, ta có
\[{{x}^{2}}{{y}^{4}}+2x{{y}^{2}}{{z}^{4}}+{{z}^{8}}=4+{{x}^{2}}{{y}^{4}}-2x{{y}^{2}}{{z}^{4}}+{{z}^{8}}\Leftrightarrow x{{y}^{2}}{{z}^{4}}=1.\]
Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM cho 7 số thực dương ta có
\[\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}\ge 7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}{{\left( \sqrt[3]{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}{{\left( \sqrt[3]{{{z}^{2}}} \right)}^{4}}}=7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{4}}{{z}^{8}}}}=7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{\left( x{{y}^{2}}{{z}^{4}} \right)}^{2}}}}=7.\]
Do đó dấu bằng phải xảy ra tức \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\\ x{y^2}{z^4} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1;y,z \in \left\{ { - 1;1} \right\}.\]
Mỗi số $y,z$ có 2 cách vậy có tất cả ${{1.2}^{2}}=4$ bộ số thực thoả mãn. Chọn đáp án B.
Ta hay sử dụng: $-\sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}\le ax+by\le \sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}.$
Dấu bằng bên phải đạt tại $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k>0;$ dấu bằng bên trái đạt tại $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k<0.$
A. $\frac{19+\sqrt{19}}{2}.$ |
B. $\frac{7+\sqrt{65}}{2}.$ |
C. $\frac{11+10\sqrt{2}}{3}.$ |
D. $\frac{7-\sqrt{10}}{2}.$ |
Giải. Ta có biến đổi giả thiết: ${{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-3y\le 0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\le \frac{13}{4}.$
Khi đó $2x+y=2(x-1)+\left( y-\frac{3}{2} \right)+\frac{7}{2}\le \sqrt{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( {{(x-1)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}} \right)}+\frac{7}{2}\le \sqrt{5.\frac{13}{4}}+\frac{7}{2}=\frac{7+\sqrt{65}}{2}.$
Dấu bằng đạt tại \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - \frac{3}{2}}}{1} = k>0\\ 2x + y = \frac{{7 + \sqrt {65} }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{5 + \sqrt {65} }}{5};y = \frac{{15 + \sqrt {65} }}{{10}}.\) Chọn đáp án B.
A. $17.$ |
B. $25.$ |
C. $21.$ |
D. $24.$ |
Giải. Biến đổi giả thiết có ${{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{z}^{2}}\le 17.$
Khi đó
\(\begin{array}{c} 2x + 3y - 2z = \left( {2(x - 2) + 3(y + 1) - 2z} \right) + 4\\ \le \sqrt {\left( {{2^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} \right)\left( {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}} \right)} + 4 \le \sqrt {17.17} + 4 = 21. \end{array}\)
Dấu bằng đạt tại \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ - 2}}\\ 2x + 3y - 2z = 21 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{74}}{{17}},y = \frac{{43}}{{17}},z = - \frac{{40}}{{17}}.\) Chọn đáp án C.
A. $P=44.$ |
B. $P=41.$ |
C. $P=43.$ |
D. $P=42.$ |
Giải. Ta có $x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2(y+1)}\le \sqrt{3(x+y)}\Rightarrow t=x+y\in [0;3].$
Khi đó
$\begin{align}& S={{(x+y)}^{2}}+2(x+y)+8\sqrt{4-x-y}+2 \\& =f(t)={{t}^{2}}+2t+8\sqrt{4-t}+2\in [18;25],\forall t\in [0;3]\Rightarrow P=18+25=43. \end{align}$
Chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Số phức $z$ thoả mãn $\left| z+1-2i \right|=2\sqrt{2},$ giá trị lớn nhất của biểu thức $a\left| z-1 \right|+b\left| z+3-4i \right|,\left( a,b>0 \right)$ bằng
Giải. Đặt $z=x+yi\Rightarrow \left| z+1-2i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=8.$
Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có
$\begin{gathered} P = a\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + b\sqrt {{{(x + 3)}^2} + {{(y - 4)}^2}} \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \right)} \\ = \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 8y + 26} \right)} = \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + 8} \right)} \\ = \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {8 + 8} \right)} = 4\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} . \\ \end{gathered} $
Chọn đáp án B.
Với các số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ ta luôn có $\dfrac{a_{1}^{2}}{{{x}_{1}}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{{{x}_{2}}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{{{x}_{n}}}\ge \frac{{{({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}})}^{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}.$ Dấu bằng đạt tại $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{x}_{1}}}=\dfrac{{{a}_{2}}}{{{x}_{2}}}=...=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{x}_{n}}}.$
A. $\frac{12}{11}.$ |
B. $\frac{96}{11}.$ |
C. $\frac{48}{11}.$ |
D. $\frac{24}{11}.$ |
Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến là
$k={y}'=3{{(x+m)}^{2}}+3{{(x+n)}^{2}}+3{{(x+p)}^{2}}-3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}+6(m+n+p)x+3{{m}^{2}}+3{{n}^{2}}+3{{p}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=-\frac{6(m+n+p)}{2.6}=-\frac{m+n+p}{2}.$ Theo giả thiết có $-\frac{m+n+p}{2}=1\Leftrightarrow m+n+p=-2.$
Khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:
${{m}^{2}}+2{{n}^{2}}+3{{p}^{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}}{1}+\dfrac{{{n}^{2}}}{\frac{1}{2}}+\dfrac{{{p}^{2}}}{\dfrac{1}{3}}\ge \dfrac{{{(m+n+p)}^{2}}}{1+\dfrac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\dfrac{4}{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{24}{11}.$
Dấu bằng đạt tại \(\left\{ \begin{array}{l} m + n + p = - 2\\ \dfrac{m}{1} = \dfrac{n}{{\frac{1}{2}}} = \dfrac{p}{{\dfrac{1}{3}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \dfrac{{12}}{{11}},n = - \dfrac{6}{{11}},p = - \dfrac{4}{{11}}.\) Chọn đáp án D.
A. $1,33.$C. $3,89.$ |
B. $1,94.$D. $2,67.$ |
Giải. Ta đánh giá: $3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}\ge 2k(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (k+3){{x}^{2}}+(k+4){{y}^{2}}+(k+5){{z}^{2}}\ge k{{(x+y+z)}^{2}}.$
Trong đó $k$ là một hằng số dương được chọn sau, khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+5{{z}^{2}}$ bằng $2k.$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có:
$(k+3){{x}^{2}}+(k+4){{y}^{2}}+(k+5){{z}^{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\frac{1}{k+3}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\frac{1}{k+4}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{\frac{1}{k+5}}\ge \dfrac{{{(x+y+z)}^{2}}}{\dfrac{1}{k+3}+\dfrac{1}{k+4}+\dfrac{1}{k+5}}.$
Vậy hằng số $k$ cần tìm là nghiệm dương của phương trình $\dfrac{1}{\dfrac{1}{k+3}+\dfrac{1}{k+4}+\dfrac{1}{k+5}}=k\Leftrightarrow {{k}^{3}}+6{{k}^{2}}-30=0\Rightarrow k\approx 1,9434.$ Do vậy chọn đáp án C.
A. $\sqrt{5}.$ |
B. $2.$ |
C. $2+\sqrt{3}.$ |
D. $\frac{4+\sqrt{3}}{2}.$ |
Giải.Sử dụng bất đẳng thức Mincopsky ta có
\(\begin{array}{c} \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{( - x - 1)}^2} + {y^2}} \\ \ge \sqrt {{{(x - 1 - x - 1)}^2} + {{(y + y)}^2}} = \sqrt {4{y^2} + 4} = 2\sqrt {{y^2} + 1} . \end{array}\)
Do đó $\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left| y-2 \right|\ge f(y)=2\sqrt{{{y}^{2}}+1}+\left| y-2 \right|\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f(y)=f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)=2+\sqrt{3}.$
Dấu bằng đạt tại \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 1}}{{ - x - 1}} = \frac{y}{y}\\ y = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0;y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\) Chọn đáp án C.
Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn
Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.
Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.
XEM TRỰC TUYẾN
Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020 có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.
Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.
Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:
cho e xin file với ạ
ln533413@gmail.com
Cho em xin file PDF với ạ. Em cảm ơn nhiều ạ
minhanhhl2k4@gmail.com
Cho em xin file PDF với ạ
thinhngocvan@gmail.com