Bài viết này Vted trình bày đến bạn đọc một số công thức nhanh hay được sử dụng và có tính hiệu quả trong quá trình học và làm bài Hình phẳng toạ độ Oxy

Công thức 1: Phương trình đoạn chắn

Đường thẳng qua hai điểm $A\left( a;0 \right),B\left( 0;b \right),\left( a,b\ne 0 \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1.$

Công thức 2: Công thức tính nhanh diện tích tam giác trong mặt phẳng toạ độ Oxy

Trong quá trình làm các bài toán về diện tích trong mặt phẳng toạ độ Oxy với một tam giác có sẵn toạ độ của ba đỉnh, ta thường sử dụng công thức tính nhanh sau:

Xét tam giác $ABC$ có $\overrightarrow{AB}({{x}_{1}};{{y}_{1}}),\overrightarrow{AC}({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ thì ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\left| {{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}} \right|.$

Chứng minh. Ta có

\(\begin{array}{c} {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {BAC}} \\ = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \\ = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sqrt {1 - \dfrac{{{{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{2}\sqrt {(x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2) - {{({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2})}^2}} \\ = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{({x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})}^2}} = \dfrac{1}{2}\left| {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right|. \end{array}\)

Công thức 3: Công thức phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ cắt nhau sẽ có hai đường thẳng là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này

Phương trình đường phân giác có phương trình xác định bởi: $\dfrac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \dfrac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.$

Công thức 4: Công thức phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Xét hai đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}.$ Khi đó nếu

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0$ thì \[\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng trên.

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}<0$ thì \[\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng trên.

Công thức 5: Công thức phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Xét hai đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}.$ Khi đó nếu

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0$ thì \[\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng trên.

$\overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}<0$ thì \[\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\dfrac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}\] là véctơ chỉ phương của đường thẳng phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng trên.

Công thức 6: Tính nhanh toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác khi biết toạ độ ba đỉnh

Xét tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$ và gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ khi đó xuất phát từ đẳng thức véctơ $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{a{x_A} + b{x_B} + c{x_C}}}{{a + b + c}}\\ {y_I} = \dfrac{{a{y_A} + b{y_B} + c{y_C}}}{{a + b + c}}\\ {z_I} = \dfrac{{a{z_A} + b{z_B} + c{z_C}}}{{a + b + c}} \end{array} \right.\)

>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy

>>Xem thêm [Vted.vn] - Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz

Combo X Luyện thi 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lực, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)

XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán

Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.

Tổng hợp các kiến thức cơ bản Hình toạ độ Oxy cần nhớ

Hệ số góc của đường thẳng

+ Đường thẳng $d:y=ax+b$ có hệ số góc ${{k}_{d}}=a.$

+ Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là ${{k}_{AB}}=\dfrac{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}.$

+ Đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình là $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}.$

Xét hai đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.$

+ Điều kiện để ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1.$

+ Điều kiện để ${{d}_{1}}||{{d}_{2}}\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}\wedge {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}}.$

Điều kiện để hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng

Hai điểm $A,B$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $d\Leftrightarrow AB\bot d$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $d.$

Điều kiện để hai điểm nằm về cùng một phía, nằm khác phía đối với đường thẳng

Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$

+ Hai điểm $A,B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $d\Leftrightarrow \left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)>0.$

+ Hai điểm $A,B$ nằm khác phía đối với đường thẳng $d\Leftrightarrow \left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)<0.$

Các trường hợp đặc biệt:

+ Hai điểm $A,B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $d$ và cách đều đường thẳng $d\Leftrightarrow AB||d.$

+ Hai điểm $A,B$ nằm khác phía đối với đường thẳng $d$ và cách đều đường thẳng $d\Leftrightarrow d$ qua trung điểm của $AB.$