Vted.vn - Giải đáp học sinh - Hai tiếp tuyến cùng đường thẳng tạo thành một tam giác đều

Dưới đây chúng tôi trình bày một bài toán vận dụng cao về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, trích từ khoá học PRO X TOÁN 2018 tại vted có nội dung như sau:http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

Câu 43. Cho hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1}$ có đồ thị $(C).$ Với mọi $m$ đường thẳng $d: y=x+m$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tiếp tuyến của $(C)$ tại $A,B$ tạo với đường thẳng $d$ một tam giác đều.

A. $m=1\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$

B. $m=1\pm \sqrt{2}.$

C. $m=-1\pm \frac{1}{\sqrt{2}}.$

D. $m=-1\pm \sqrt{2}.$

Giải.  Phương trình hoành độ giao điểm: \[\frac{-x+1}{2x-1}=x+m\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2mx-m-1=0.\] Theo vi – ét ta có

\[\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\frac{m+1}{2} \\ \end{align} \right..\]

Khi đó gọi ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt là các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A,B$ ta có hệ số góc của chúng lần lượt là:

${{k}_{1}}={y}'({{x}_{1}})=-\frac{1}{{{(2{{x}_{1}}-1)}^{2}}};{{k}_{2}}={y}'({{x}_{2}})=-\frac{1}{{{(2{{x}_{2}}-1)}^{2}}}.$ Và ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{1}{{{(2{{x}_{1}}-1)}^{2}}{{(2{{x}_{2}}-1)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( 4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( -2(m+1)+2m+1 \right)}^{2}}}=1.$ Với \[{{k}_{1}}=\frac{1}{{{k}_{2}}},\] ta có \[\tan ({{d}_{1}},d)=\left| \frac{{{k}_{1}}-1}{1+{{k}_{1}}} \right|=\left| \frac{\frac{1}{{{k}_{2}}}-1}{1+\frac{1}{{{k}_{2}}}} \right|=\left| \frac{{{k}_{2}}-1}{1+{{k}_{2}}} \right|=\tan ({{d}_{2}},d)\Rightarrow \Delta ABC\] cân tại $C.$

Do đó ta chỉ cần điều kiện: \[\begin{align} & \tan ({{d}_{1}},{{d}_{2}})=\left| \frac{{{k}_{1}}-{{k}_{2}}}{1+{{k}_{1}}{{k}_{2}}} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| \frac{1}{{{(2{{x}_{1}}-1)}^{2}}}-\frac{1}{{{(2{{x}_{2}}-1)}^{2}}} \right|=\sqrt{3} \\ & \Leftrightarrow 2\left| ({{x}_{2}}-{{x}_{1}})({{x}_{2}}+{{x}_{1}}-1) \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow 2\left| m+1 \right|\sqrt{{{m}^{2}}+2(m+1)}=\sqrt{3}\Leftrightarrow m=-1\pm \frac{1}{\sqrt{2}}. \\ \end{align}\] Chọn đáp án C.

*Chú ý. Góc $\alpha $ giữa hai đường thẳng có hệ số góc ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ là $\tan \alpha =\left| \frac{{{k}_{1}}-{{k}_{2}}}{1+{{k}_{1}}{{k}_{2}}} \right|.$ .

Vted thông báo chương trình Ưu đãi học phí các khoá học Vted dành cho K99 từ ngày 2 tháng 04 năm 2017 đến hết ngày 08 tháng 04 năm 2017 như sau:

(ÁP DỤNG TỪ 02/04/2017 ĐẾN HẾT NGÀY 08/04/2017)

*Chú ý: Các em muốn gia tăng điểm số đạt 9-10 nên đăng kí đồng thời khoá Tư duy trắc nghiệm và Luyện đề:

Riêng các em học sinh 2000 trở đi có thể tham khảo khoá học: PRO X TOÁN 2018 tại Vted được xây dựng dành riêng cho các em tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

(Video giới thiệu khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

(Video giới thiệu lộ trình Khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted)

Các em là học sinh 2000 hiện tại là lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 theo dõi cho thầy khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted sau đây:

Video giới thiệu khóa‼️ Pro X Toán 2018 tại Vted các em xem kĩ nhé! #vted

⚡️⚡️Khoá học dành riêng cho học sinh K2000 Luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán!

1️⃣HỌC TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

2️⃣ÔN TẬP HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 11 CÓ TRONG ĐỀ THI 2018

3️⃣ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA GIÚP BẠN ĐẠT ĐẾN 10 ĐIỂM

💯 KÈM 30 ĐỀ BÁM SÁT CẤU TRÚC CỰC CHẤT

▶️😮ƯU ĐÃI CỰC SỐC: 600.000đ so với học phí gốc: 1.200.000đ😮

---------------------------

➡️➡️CHƯƠNG TRÌNH ƯU ĐÃI CHỈ ÁP DỤNG TỪ NGÀY 05.04.2017 ĐẾN HẾT NGÀY 12.04.2017

▶️👉 👉Đăng kí học ngay tại links: https://goo.gl/m22862

Vted.vn - Học toán online chất lượng cao!