Trong bài viết này, Chúng ta cùng xét bài toán sau: Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo môđun của số phức có thể giải nhanh bằng kĩ thuật sử dụng số phức dạng lượng giác, được trích từ Khoá học Tư duy giải toán trắc nghiệm do thầy Đặng Thành Nam trực tiếp giảng dạy tại đây: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html

Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|=1.$ Kí hiệu $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}^{3}}+3z+\overline{z} \right|-\left| z+\overline{z} \right|.$ Tính môđun của số phức $w=M+mi.$

A. $\frac{3\sqrt{5}}{4}.$

B. $\frac{3\sqrt{17}}{4}.$

C. $\frac{15}{4}.$

D. $\frac{3\sqrt{13}}{4}.$

Giải. Theo giả thiết, ta có $z=\cos x+i\sin x$ và khi đó

\[\begin{align} & P=\left| \left( \cos 3x+i\sin 3x \right)+3\left( \cos x+i\sin x \right)+\left( \cos x-i\sin x \right) \right|-\left| 2\cos x \right| \\ & =\left| \left( \cos 3x+4\cos x \right)+i\left( \sin 3x+2\sin x \right) \right|-2\left| \cos x \right| \\ & =\sqrt{{{\left( \cos 3x+4\cos x \right)}^{2}}+{{\left( \sin 3x+2\sin x \right)}^{2}}}-2\left| \cos x \right| \\ & =\sqrt{{{\left( 4{{\cos }^{3}}x+\cos x \right)}^{2}}+{{\sin }^{2}}x{{\left( 4{{\cos }^{2}}x+1 \right)}^{2}}}-2\left| \cos x \right| \\ & =4{{\cos }^{2}}x+1-2\left| \cos x \right|={{\left( 2\left| \cos x \right|-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}. \end{align}\] và

\[P\le {{\left( 2-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}=3.\]

Do đó $m=\frac{3}{4},M=3\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{17}}{4}.$

Chọn đáp án B.

Nhận xét: Trên đây là lời giải nhờ một ứng dụng về dạng lượng giác của số phức, chi tiết bài giảng cũng như hệ thống bài tập vận dụng kĩ thuật này các em có tham khảo ở hai khoá học: Tư duy trắc nghiệm Toán do thầy Đặng Thành Nam trình bày tại đây http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html

Các em là học sinh 2000 hiện tại là lớp 11 chuẩn bị lên lớp 12 theo dõi cho thầy khoá PRO X TOÁN 2018 tại Vted sau đây:

Video giới thiệu khóa‼️ Pro X Toán 2018 tại Vted các em xem kĩ nhé! #vted

⚡️⚡️Khoá học dành riêng cho học sinh K2000 Luyện thi THPT Quốc Gia Môn Toán!

1️⃣HỌC TOÀN BỘ CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

2️⃣ÔN TẬP HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 11 CÓ TRONG ĐỀ THI 2018

3️⃣ĐỊNH HƯỚNG NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA GIÚP BẠN ĐẠT ĐẾN 10 ĐIỂM

💯 KÈM 30 ĐỀ BÁM SÁT CẤU TRÚC CỰC CHẤT

▶️😮ƯU ĐÃI CỰC SỐC: 600.000đ so với học phí gốc: 1.200.000đ😮

---------------------------

➡️➡️CHƯƠNG TRÌNH ƯU ĐÃI CHỈ ÁP DỤNG TỪ NGÀY 15.03.2017 ĐẾN HẾT NGÀY 31.03.2017

▶️👉 👉Đăng kí học ngay tại links: https://goo.gl/m22862